推荐系统排序算法--FM模型

在计算广告和推荐系统中，CTR预估(click-through rate)是非常重要的一个环节，判断一个商品的是否进行推荐需要根据CTR预估的点击率来进行。在进行CTR预估时，除了单特征外，往往要对特征进行组合。对于特征组合来说，业界常用的方法有人工特征工程 + LR（Logistic Regression）、GBDT（Gradient Boosting Decision Tree） + LR、FM（Factorization Machine）和FFM（Field-aware Factorization Machine）模型。最近几年也出现了很多基于FM改进的方法，如deepFM，FNN，PNN，DCN，xDeepFM等。

FM(Factorization Machine)主要是为了解决数据稀疏的情况下，特征怎样组合的问题。已一个广告分类的问题为例，根据用户与广告位的一些特征，来预测用户是否会点击广告。数据如下：(本例来自美团技术团队分享的paper)

clicked是分类值，表明用户有没有点击该广告。1表示点击，0表示未点击。而country,day,ad_type则是对应的特征。对于这种categorical特征，一般都是进行one-hot编码处理。

将上面的数据进行one-hot编码以后，就变成了下面这样 ：

因为是categorical特征，所以经过one-hot编码以后，不可避免的样本的数据就变得很稀疏。举个非常简单的例子，假设淘宝或者京东上的item为100万，如果对item这个维度进行one-hot编码，光这一个维度数据的稀疏度就是百万分之一。由此可见， 数据的稀疏性 ，是我们在实际应用场景中面临的一个非常常见的挑战与问题。

one-hot编码带来的另一个问题是 特征空间变大 。同样以上面淘宝上的item为例，将item进行one-hot编码以后，样本空间有一个categorical变为了百万维的数值特征，特征空间一下子暴增一百万。所以大厂动不动上亿维度，就是这么来的。

普通的线性模型，我们都是将各个特征独立考虑的，并没有考虑到特征与特征之间的相互关系。但实际上，大量的特征之间是有关联的。最简单的以电商为例，一般女性用户看化妆品服装之类的广告比较多，而男性更青睐各种球类装备。那很明显，女性这个特征与化妆品类服装类商品有很大的关联性，男性这个特征与球类装备的关联性更为密切。如果我们能将这些有关联的特征找出来，显然是很有意义的。

一般的线性模型为：

                     

从上面的式子很容易看出，一般的线性模型压根没有考虑特征间的关联。为了表述特征间的相关性，我们采用多项式模型。在多项式模型中，特征 与 的组合用 表示。为了简单起见，我们讨论二阶多项式模型。具体的模型表达式如下：

为了简单起见，我们只考虑二阶交叉的情况，具体的模型如下：

                     

式中， 表示样本的特征数量, 表示第 个特征，与线性模型相比，FM的模型就多了后面特征组合的部分。

从FM公式可以看出，组合特征的参数一共有 n(n−1)/2个，任意两个参数都是独立的。然而，在数据稀疏性普遍存在的实际应用场景中，二次项参数的训练是很困难的。其原因是，每个参数 的训练需要大量 和 都非零的样本；由于样本数据本来就比较稀疏，满足 和 都非零”的样本将会非常少。训练样本的不足，很容易导致参数  不准确，最终将严重影响模型的性能。

那么，如何解决二次项参数的训练问题呢？矩阵分解提供了一种解决思路。在model-based的协同过滤中，一个rating矩阵可以分解为user矩阵和item矩阵，每个user和item都可以采用一个隐向量表示。比如在下图中的例子中，我们把每个user表示成一个二维向量，同时把每个item表示成一个二维向量，两个向量的点积就是矩阵中user对item的打分。

类似地，所有二次项参数 可以组成一个对称阵 （为了方便说明FM的由来，对角元素可以设置为正实数），那么这个矩阵就可以分解为 ， 的第 列便是第 维特征的隐向量。换句话说，每个参数 ，这就是FM模型的核心思想。因此，FM的模型方程为（本文不讨论FM的高阶形式）

                    

其中， 是第 维特征的隐向量， 代表向量点积。隐向量的长度为 ，二次项的参数数量减少为 个，远少于多项式模型的参数数量。另外，参数因子化使得 的参数和 的参数不再是相互独立的，因此我们可以在样本稀疏的情况下相对合理地估计FM的二次项参数。具体来说， 和 的系数分别为 和 ，它们之间有共同项 。也就是说，所有包含“ 的非零组合特征”（存在某个 ，使得 ）的样本都可以用来学习隐向量 vivi，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。而在多项式模型中， 和 是相互独立的。

显而易见，FM的模型公式是一个通用的拟合方程，可以采用不同的损失函数用于解决回归、二元分类等问题，比如可以采用MSE（Mean Square Error）损失函数来求解回归问题，也可以采用Hinge/Cross-Entropy损失来求解分类问题。当然，在进行二元分类时，FM的输出需要经过sigmoid变换，这与Logistic回归是一样的。直观上看，FM的复杂度是 。但是，通过下面的等式，FM的二次项可以化简，其复杂度可以优化到  。由此可见，FM可以在线性时间对新样本作出预测。        

                    

我们再来看一下FM的训练复杂度，利用SGD（Stochastic Gradient Descent）训练模型。模型各个参数的梯度如下：

其中， 是隐向量 的第 个元素。由于 只与 有关，而与 无关，在每次迭代过程中，只需计算一次所有 的 ，就能够方便地得到所有 的梯度。显然，计算所有 的 的复杂度是 ；已知 时，计算每个参数梯度的复杂度是 ；得到梯度后，更新每个参数的复杂度是 ；模型参数一共有 个。因此，FM参数训练的复杂度也是 。综上可知，FM可以在线性时间训练和预测，是一种非常高效的模型。

libFM

论文： Factorization Machines

论文： Factorization Machines with Follow-The-Regularized-Leader for CTR prediction in Display Advertising

推荐系统遇上深度学习(一)--FM模型理论和实践

FM（Factorization Machines）的理论与实践

深入FFM原理与实践-美团

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（1）在特征极其稀疏的情况下也能进行参数预估

（2）时间复杂度低，在线性时间复杂度下即可完成模型的训练和预估

（3）FM是一个通用预测器，可用于任何实数值特征向量的场景下，不依赖特定的输入数据

当拥有多个特征时，构建预估模型的最直观想法是将多个特征直接进行线性组合，求解损失函数最小时，特征对应的权重值。具体公式如下：

在我们的直观感受中，特征与特征之间也存在一定的相关性。以购物为例，不同年龄和不同性别的人群可能会拥有不同的购物偏好，因此可以考虑在模型中加入组合特征。以二阶组合特征为例，具体模型公式如下：

使用上述公式在训练时存在一定的缺点，一是训练的时间复杂度为 ，二是只有在 和 不全为0的情况下，组合特征的权重才能训练充分。

为了解决上述问题，FM模型在构建时引入了矩阵分解的思想，组合特征相应权重由一对向量的内积得到而非仅使用单一的权重值。

其中， 和 向量维度为 。

FM模型性能极其良好，在 时间复杂度下即可完成模型的训练和预估。论文中对其二阶组合部分公式做了推导，推导过程如下：

第一步，原始公式计算的是下图右上三角部分的值，所以可将原始公式先扩展为下图矩阵中所有元素的累加和，去除对角线上的元素后，由于 和 计算得到的值相等，将公式直接除以2即可。

第二步，由于下标 与 无关，交换求和符号的位置得到 ，将 提到括号外。

第三步， 这两项仅与下标 相关， 仅与下标 相关，所以可以将其分别拆分并整理得到两个求和项的乘积。

第四步，由于两个求和项只是下标不同，更换下标后，写成同一求和项的平方，得到最终的式子。

从推导完成的式子中可以得出，预估模型的时间复杂度为 ，且每项向量 的计算仅与 相关，不会出现在计算组合特征时，必须被组合的两个特征不全为0才能计算权重的情况，这也是FM模型泛化性能较强的原因。

4、更新参数

FM模型参数更新可以通过随机梯度下降实现，具体公式中的每项梯度如下图所示， 对应梯度可以通过上述推导得到的公式计算得到。

参考资料：

https://www.csie.ntu.edu.tw/~b97053/paper/Rendle2010FM.pdf

https://zhuanlan.zhihu.com/p/50426292

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