数学模型反演解法概述

数值模拟反问题常常转化为优化问题，函数优化就是求一个函数的最优值以及达到该最优值的最优点，而最优化算法本质上是一个最优值的搜索过程。经典的优化算法如牛顿法、单纯形法、共轭方向法、最速下降法和罚函数法等，一般对目标函数要求连续、可微甚至于高阶可微、单峰等；需要对函数求一阶、二阶导数；受初值影响较大，算法容易陷入局部最小值，对于多峰函数优化问题具有较大局限性。

20世纪80年代初期以来，地下水水流与溶质迁移模型和数值优化方法相结合越来越普遍，目前常用的主要有以下两种方法。

3471 数学规划方法

主要包括线性规划（LP），该方法广泛应用于线性目标函数及流量约束的地下水管理问题，解线性规划的软件主要有AQMAN，MODMAN，MODOFC，MODFLIP；非线性规划（NLP）；混合整数线性规划（MILP）；混合整数非线性规划（MINLP）。其中线性规划法计算效率较高，但仅适用于承压含水层，通常不能有效地处理溶质运移问题。非线性规划与动态规划的应用较广泛，计算效率上有优势，但需要计算目标函数对决策变量的导数即梯度，因此，该方法又被称为梯度法，在目标函数很复杂，而且为非线性时，结果往往会陷于一个局部最优解而不能识别全局最优解。

3472 全局优化方法

主要以启发式搜索技术为根据的一类优化方法，包括模拟退火法、遗传算法、禁忌搜索法、人工神经网络法、外围近似法等，这些方法有识别全局或接近全局范围内最优解的能力。全局优化法能够模仿一定的自然系统，通常计算量很大。本书主要介绍4种现阶段应用广泛发展较为迅速的优化算法。

遗传算法（Genetic Algorithms，GA）是一类借鉴生物界自然选择（Natural Selection）和自然遗传机制的随机搜索算法（Random Searching Algorithms），求解问题一般包括编码、计算适应度、选择、交叉、变异、循环回到计算适应度，反复进行直到满足终止条件。该算法是处理一般非线性数学模型优化的一类新的优化方法，对模型是否线性、连续、可微等不作限制，也较少受优化变量数目和约束条件的束缚，其本质是一种高效、并行、全局搜索的方法，能在搜索过程中自动获取和积累相关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最优解。目前已广泛用于函数优化、参数辨识、机器学习、神经网络训练、结构设计和模糊逻辑系统等方面。常用的GA计算程序有MGO（Modular Groundwater Optimizer），模块化地下水优化程序，该程序是地下水水质管理的通用优化模型。将水流和迁移模拟程序与遗传算法相结合，能适应非线性复杂目标函数，能够处理水头、梯度、水流以及浓度等约束条件。SOMOS程序，实现了包括遗传算法和人工神经网络的优化算法，能处理经济、环境以及地下水管理体积等问题，同时SOMOS可以将MODFLOW和MT3DMS作为模型的组成部分进行运算。但是目前遗传算法的应用还存在明显的不足，主要表现为以下几点：

1）GA的算法设计和关键控制参数选择对优化性能的影响明显，直接影响算法的搜索效率和优化性能，甚至导致“早熟”收敛；

2）参数识别研究中的编码方案以二进制编码为主，计算量和存储量大。

人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）是由大量神经元通过极其丰富和完善的联结而构成的自适应非线性动态系统，它使用大量简单的相连的人工神经元来模仿生物神经网络的能力，从外界环境或其他神经元获得资讯，同时加以简单的运算，将结果输出到外界或其他人工神经元。神经网络在输入资讯的影响下进入一定状态，由于神经元之间相互联系以及神经元本身的动力学特性，这种外界刺激的兴奋模式会自动地迅速演变成新的平衡状态。人工神经网络是一种计算系统，包括软件与硬件，它使用大量简单相连的人工神经元来模仿生物神经网络的能力。人工神经网络是生物神经元的简单模拟，它从外界环境或者其他神经元取得资讯，同时加以非常简单的运算，输出其结果到外界环境或者其他人工神经元。人工神经网络系统反映了人脑功能的许多基本特性，但它并不是人脑神经系统的真实写照，而只是对其作某种简化、抽象和模拟，这也是当前的现实情况。是目前对人脑神经及其智能机理的研究水平所能做到的，对人脑智能机理的简化、抽象和模拟是人工神经网络研究的基本出发点。

支持向量机是基于统计学理论的VC维理论和结构风险最小化原理而提出的一种新的机器学习方法。与传统的神经网络学习方法相比，支持向量机从结构风险最小化原则出发，求解的是一个二次规划问题而得到全局最优解，有效地解决了模型选择与过学习问题、非线性和维数灾难以及局部极小等问题，在解决小样本、非线性、高维模式识别问题中表现出许多特有的优势。

模拟退火算法是对固体退火过程的模拟。在金属热加工工艺中，将金属材料加热到某一高温状态后，让其慢慢冷却，随着温度的降低，物质的能量将逐渐趋近于一个较低的状态，并最终达到某种平衡。模拟退火算法是基于金属退火的机理而建立的一种全局最优化方法，它能够以随机搜索技术从概率的意义上找出目标函数的全局最小点。模拟退火算法的主要缺点是解的质量与求解时间之间存在矛盾，该算法对于多应力期模型和大量水文地质参数的反演，收敛缓慢，得不到满意的结果。

#include<stdioh>

main()

{

int a;

printf("请输入\n");

scanf("%d",&a);

printf("输出值=%d\n",a-4);

}

最基本的反演方法可以分为基于道的反演方法和基于模型的方法（姚逢昌等，2000）。基于道的算法是最早研究的波阻抗反演方法，包括基于递归或道积分的算法。这些方法中地震道是唯一的输入，因而计算简单且速度很快，但是其结果局限于地震数据带宽的范围内，因为隐含的子波没有被消除，调谐和子波旁瓣效应没有降低，因而其使用具有很大的局限性。基于模型的波阻抗方法实际上就是以测井资料特别是声阻抗资料（一般从密度及速度测井资料获得）作为约束，以地质模型为基础，通过不断修改模型，使模型正演合成的地震资料与地震数据最佳匹配，所修改的最终模型就是反演结果。常见的基于模型的反演算法主要分为下述几种。

（1）地层或块的反演

这种算法假定地层是由波阻抗和时间构成的层块结构，通过褶积模型与地震建立联系。通过限制与地震样点数目相关的层的数目来抵消非唯一性。当地层变得薄于地震分辨率时，反演结果变得不唯一，为了降低这种多解性，通常以初始模型来作为约束。

（2）稀疏脉冲反演

这种算法假设地震反射系数序列是稀疏的，将地震道数据样点进行重新采样而得到少于地震道样点数目的反射系数序列，与块反演相同的是通过褶积模型来与地震相联系，并且也可使用外部模型作为约束并用于恢复高频及低频成分，因此稀疏脉冲反演也是宽带的。

（3）最小平方反演

这种方法也是建立一个初始模型并使反演结果最大限度地逼近初始模型，同样可作地震频谱以外的频率补偿，因而也是宽带的。

（4）地质统计学反演

这是一种全新的方法，该方法首先在地震时间域内建立储层的地质模型，然后建立三维地层网格，利用井和地震数据来确定地质统计学参数，进行地质统计学建模，将生成的可能的波阻抗与地震道进行比较。在地质统计反演中，当产生井间的储层参数的估算值时，模拟算法同时满足井和地震数据。利用井控和地质控制对波阻抗空间分布的影响，地质统计反演提供了一种强有力的从地震频带以外获得信息的方法。

（5）非线性反演

非线性反演方法是近年兴起的实用性较强、效果较好的一种反演方法，在这里作较为详细的介绍。

常用的波阻抗反演方法大多基于模型反演，即首先根据地质和测井等实际信息建立反演的初始模型，然后将模型正演计算得到的地震记录与实际观测得到的地震记录进行比较，用偏差反复修改模型，当偏差很小时，认为当前的模型即为反演结果。模型反演又分为线性反演与非线性反演两种，以模型为基础的反演方法大都基于线性褶积的思想。

由于实际地震记录是带限的，并不可避免地含有噪音，又由于该类方法涉及到诸如地震子波的不确定性、噪音干扰及层位标定不准等问题，在求解反问题中，还不能完全保证反演条件的最优化，使计算得到的波阻抗剖面带有多解性，阻碍了反演的大量使用及对反演结果的正确认识。对非线性反演的研究已经经历了多年，从方法上研究的非线性反演有模拟退火法、遗传算法、人工神经网络法和混沌算法等，这些方法在国内石油地球物理勘探中已经见到了明显的效果，其反演结果大多优于以褶积模型为基础的线性反演方法，具体表现在能进一步提高反演的纵向分辨率，与井的匹配最好，但都有一个共同的缺点，就是运行时间很长，还不能完全大批量处理二维地震资料及三维数据体。

针对线性反演与非线性反演存在的问题，笔者采用改进的约束模拟退火反演方法，在提高反演分辨率的同时又提高了处理效率。

在地震约束反演算法中，一般是由已知井给出属性参数的初始值，当由井外推时，将初始值合成地震记录，求其与实际地震信号的差值，然后由此差值计算初始值的修改值，经过反复迭代计算使其差值达到极小，则由最终的修改结果获得相应的属性参数。以上迭代计算属极小值的最优化问题，对此一般采用线性梯度法，而在地震反演中目标函数与模型之间的关系往往是高度非线性的，因而线性算法就很难得到最优解。常规的线性优化法得到的最终结果对初始值依赖很大，当钻井很少或井位偏开一定距离时，初始模型与实际模型相差较大，反演结果往往只能得到局部最优解，导致反演结果不理想。

在川东南地区地震反演中使用了新的模拟退火改进算法能克服上述缺点，获得全局最优解，并且比一般模拟退火算法优化的速度快、效率高，对约束的条件要求不严格，只要给出反演参数的取值范围，即可利用测井和地震资料形成合理的初始模型，这对于钻井资料较少的地震工区是比较合适的，下面简要介绍其方法原理。

设合成记录的理论正演记录为

y=f（m）

实际信号d与理论值f（m）之误差为：

复杂储层识别及预测

设e（m）符合Gauss分布，则期望值为零，设Ce为协方差矩阵，则有如下条件的概率密度函数：

复杂储层识别及预测

上式中，A1为非负常数，eT为误差e的转置。将（51）式代入得

复杂储层识别及预测

设用先验信息形成的初始模型为m。当采用Gauss分布时，其先验概率密度函数为：

复杂储层识别及预测

上式中，A2为非负常数，Cm为协方差矩阵，m0为初始模型。根据Gages公式，已知实际资料d时，m的后验概率密度函数为：

复杂储层识别及预测

式中P（y）与m无关，可取常数，将（51）、（52）两式代入（54）式中，得：

复杂储层识别及预测

在模拟退火中，（55）式还有如下定义，即

复杂储层识别及预测

其中A为非负的常数，S（m）为反演误差的目标函数，T为温度参数，由（55）（、56）式，可得目标函数：

复杂储层识别及预测

在模拟退火中采用使后验概率密度值最大化估计最优化解，这就等于使目标函数S（m）出现极小值，或相当于温度参数T的减小，即不断“降温”或“退火”。在这一过程中对解空间进行随机搜索，从而获得目标函数全局极小所对应的最优解。同时，对突破局部极小加以限制，引入接受函数：

复杂储层识别及预测

式中△S是相邻两次迭代的目标函数增量，令

复杂储层识别及预测

对属性参数的反演处理中，以时间平均方程作为密度、孔隙度、速度与波阻抗的桥梁，由目标函数可得反演的属性参数。

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