高斯拉普拉斯算子LOG

高斯拉普拉斯算子（LOG，Laplacian of Gaussian）常用于边缘/角点检测。其原理是利用拉普拉斯算子识别图像中灰度值变化速度极大值点，利用高斯核平滑图像、以降低拉普拉斯算子对噪声敏感带来的问题。

所以，LOG是由高斯函数和拉普拉斯算子组成的。以下将介绍

1）高斯函数

2）拉普拉斯算子

3）二者结合的必要性

4）LOG的平替

高斯函数卷积核与图像进行卷积，目的是为了 平滑图像 ，这个卷积过程也常被成为高斯平滑。实质是 以高斯函数的积分值作为权重对卷积区域的点进行加权求和 ，卷积区域的中心点对应的权重对应高斯函数对称轴附件区域的积分值，权重最高。所以此平滑方法能够有效地刻画边缘效应。

高斯函数公式：

其中， 为标准差，其值越大，平滑程度越大 。可以根据高斯函数曲线去理解，标准差越大，曲线越矮胖，邻域像素值的权重也就越大。

如何确定高斯核的大小呢？研究表明，距离中心点 范围外的点一般作用很小，所以 高斯核尺寸通常为 。

拉普拉斯算子是对图像 求两个方向的二阶导数之和 ，其中 为图像像素的灰度值 。

求导，可以获得局部区域的灰度值变化幅度，从而检测出边缘/角点。至于为什么求二阶导而不是一阶导，是因为一阶导之后求的是极值，二阶导之后求的是零点，零点比极值更方便获得。

首先， 求导使计算对噪点变得很敏感 ，需要在求导之前先进行图像平滑。

其次，先对图像进行高斯卷积，再进行拉普拉斯算子卷积，两次卷积会产生较大计算量。而根据卷积运算的结合律，可以先计算高斯函数与拉普拉斯算子，形成一个卷积核，然后对图像进行一次卷积，大大 减小计算量 。

我们常用DOG（Difference of Gaussian）来近似LOG，这是将两个大小不同的高斯核与图像分别卷积后进行差分，可以产生一种LOG的平方近似。在 计算速度上有较大的提高 。

参考文献

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拉普拉斯算子作用在某个函数f(x,y,z)上（拿三维举个例子），就是将这个函数对每个变量求二阶偏导数，然后求和，仅此而已。

有时Δf=0用直角坐标不好解，就换成圆柱坐标或球坐标来解，那几个公式就是坐标变换后的拉普拉斯算子。

还有应该没有一维问题，至少是二维才有拉普拉斯算子。

对其所有变量求二阶偏导再求和，当然是对直角坐标而言。

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