多元统计学有经典统计学和什么学

元统计分析

从经典统计学中发展起来的一个分支

本词条

是多义词，共11个义项

多元统计分析是从经典统计学中发展起来的一个分支，是一种综合分析方法，它能够在多个对象和多个指标互相关联的情况下分析它们的统计规律，很适合农业科学研究的特点。主要内容包括多元正态分布及其抽样分布、多元正态总体的均值向量和协方差阵的假设检验、多元方差分析、直线回归与相关、多元线性回归与相关(Ⅰ)和(Ⅱ)、主成分分析与因子分析、判别分析与聚类分析、Shannon信息量及其应用。简称多元分析。当总体的分布是多维（多元）概率分布时，处理该总体的数理统计理论和方法。数理统计学中的一个重要的分支学科。

中文名

多元统计分析

外文名

Multivariate statistical analysis

内容

经典统计学

特点

适合农业科学研究的特点

简介图书信息图书信息多元统计分析TA说

简介

多元统计分析

multivariate statistical analysis

研究客观事物中多个变量（或多个因素）之间相互依赖的统计规律性。它的重要基础之一是多元正态分析。又称多元分析 。 如果每个个体有多个观测数据，或者从数学上说， 如果个体的观测数据能表为 P维欧几里得空间的点，那么这样的数据叫做多元数据，而分析多元数据的统计方法就叫做多元统计分析 。 它是数理统计学中的一个重要的分支学科。20世纪30年代，RA费希尔，H霍特林，许宝碌以及SN罗伊等人作出了一系列奠基性的工作，使多元统计分析在理论上得到迅速发展。50年代中期，随着电子计算机的发展和普及 ，多元统计分析在地质 、气象、生物、医学、图像处理、经济分析等许多领域得到了广泛的应用 ，同时也促进了理论的发展。各种统计软件包如SAS，SPSS等，使实际工作者利用多元统计分析方法解决实际问题更简单方便。重要的多元统计分析方法有：多重回归分析（简称回归分析）、判别分析、聚类分析、主成分分析、对应分析、因子分析、典型相关分析、多元方差分析等。

早在19世纪就出现了处理二维正态总体（见正态分布）的一些方法，但系统地处理多维概率分布总体的统计分析问题，则开始于20世纪。人们常把1928年维夏特分布的导出作为多元分析成为一个独立学科的标志。20世纪30年代，RA费希尔、H霍特林、许宝禄以及SN罗伊等人作出了一系列奠基性的工作，使多元统计分析在理论上得到了迅速的进展。40年代，多元分析在心理、教育、生物等方面获得了一些应用。由于应用时常需要大量的计算，加上第二次世界大战的影响，使其发展停滞了相当长的时间。50年代中期，随着电子计算机的发展和普及，它在地质、气象、标准化、生物、图像处理、经济分析等许多领域得到了广泛的应用，也促进了理论的发展。

多元分析发展的初期，主要讨论如何把一元正态总体的统计理论和方法推广到多元正态总体。多元正态总体的分布由两组参数，即均值向量μ（见数学期望）和协方差矩阵（简称协差阵）∑ （见矩）所决定，记为Np(μ,∑)(p为分布的维数,故又称p维正态分布或p 维正态总体)。设X1,X2,…,Xn为来自正态总体Np(μ,∑)的样本，则μ和∑的无偏估计（见点估计）分别是

和

公式

分别称之为样本均值向量和样本协差阵，它们是在各种多元分析问题中常用的统计量。样本相关阵R 也是一个重要的统计量，它的元素为

公式

其中υij为样本协差阵S的元素。S的分布是维夏特分布，它是一元统计中的Ⅹ2分布的推广。

公式

另一典型问题是：假定两个多维正态分布协差阵相同,检验其均值向量是否相同。设样本X1，X2，…，Xn抽自正态总体Np（μ1，∑）,而Y1，Y2，…，Ym抽自Np（μ2，∑），要检验假设H 0:μ1=μ2(见假设检验)。在一元统计中使用t统计量（见统计量）作检验;在多元分析中则用T2统计量,

,其中,

公式

,

公式

公式

公式

·

公式

公式

,T2的分布称为T2分布。这是H霍特林在1936年提出来的。

在上述问题中的多元与一元相应的统计量是类似的，但并非都是如此。例如,要检验k个正态总体的均值是否相等，在一元统计中是导致F统计量,但在多元分析中可导出许多统计量，最著名的有威尔克斯Λ统计量和最大相对特征根统计量。研究这些统计量的精确分布和优良性是近几十年来多元统计分析的重要理论课题。

多元统计分析有狭义与广义之分，当假定总体分布是多元正态分布时，称为狭义的，否则称为广义的。近年来，狭义多元分析的许多内容已被推广到更广的分布之中，特别是推广到一种称为椭球等高分布族之中。

按多元分析所处理的实际问题的性质分类，重要的有如下几种。

多重回归分析

简称回归分析。其特点是同时处理多个因变量。回归系数和常数的计算公式与通常的情况相仿，只是由于因变量不止一个，原来的每个回归系数在此都成为一个向量。因此，关于回归系数的检验要用T2统计量；对回归方程的显著性检验要用Λ统计量。

回归分析在地质勘探的应用中发展了一种特殊的形式，称为趋势面分析，它以各种元素的含量作为因变量，把它们对地理坐标进行回归（选用一次、二次或高次的多项式）,回归方程称为趋势面,反映了含量的趋势。残差分析是趋势面分析的重点，找出正的残差异常大的点，在这些点附近，元素的含量特别高，这就有可能形成可采的矿位。这一方法在其他领域也有应用。

判别分析

由 k个不同总体的样本来构造判别函数，利用它来决定新的未知类别的样品属于哪一类，这是判别分析所处理的问题。它在医疗诊断、天气预报、图像识别等方面有广泛的应用。例如，为了判断某人是否有心脏病，从健康的人和有心脏病的人这两个总体中分别抽取样本，对每人各测两个指标X1和X2，点绘如图1 。可用直线A将平面分成g1和g2两部分，落在g1的绝大部分为健康者，落在g2的绝大部分为心脏病人,利用A的垂线方向l=(l1,l2)来建立判别函数

图1 判别分析图

y=l1X1+l2X2,可以求得一常数с，使 y<с 等价于（X1，X2）落在g1，y>с等价于（X1，X2）落在g2。由此得判别规则：若，l1X1+l2X2

判,即此人为健康者;若，l1X1+l2X2>C

判，

即此人为心脏病人;若，l1X1+l2X2=c则为待判。此例的判别函数是线性函数,它简单方便,在实际问题中经常使用。但有时也用非线性判别函数，特别是二次判别函数。建立判别函数和判别规则有不少准则和方法，常用的有贝叶斯准则、费希尔准则、距离判别、回归方法和非参数方法等。

无论用哪一种准则或方法所建立的判别函数和判别规则，都可能产生错判，错判所占的比率用错判概率来度量。当总体间区别明显时，错判概率较小；否则错判概率较大。判别函数的选择直接影响到错判概率，故错判概率可用来比较不同方法的优劣。

变量（如上例中的X1和X2）选择的好坏是使用判别分析的最重要的问题，常用逐步判别的方法来筛选出一些确有判别作用的变量。利用序贯分析的思想又产生了序贯判别分析。例如医生在诊断时,先确定是否有病,然后确定是哪个系统有病，再确定是什么性质的病等等。

聚类分析

又称数值分类。聚类分析和判别分析的区别在于，判别分析是已知有多少类和样本来自哪一类，需要判别新抽取的样本是来自哪一类；而聚类分析则既不知有几类,也不知样本中每一个来自哪一类。例如,为了制定服装标准，对 N个成年人，测量每人的身高(x1)、胸围(x2)、肩宽(x3)、上体长(x4)、手臂长(x5)、前胸(x6)、后背(x7)、腰围(x8)、臀围(x9)、下体长(x10)等部位，要将这N个人进行分类,每一类代表一个号型；为了使用和裁剪的方便，还要对这些变量(x1,x2,…,x10)进行分类。聚类分析就是解决上述两种分类问题。

设已知N个观测值X1,X2,…,Xn,每个观测值是一个p维向量（如上例中人的身高、胸围等）。聚类分析的思想是将每个观测值Xi看成p维空间的一个点,在p维空间中引入“距离”的概念，则可按各点间距离的远近将各点（观测值）归类。若要对 p个变量（即指标）进行分类，常定义一种“相似系数”来衡量变量之间的亲密程度，按各变量之间相似系数的大小可将变量进行分类。根据实际问题的需要和变量的类型，对距离和相似系数有不同的定义方法。

按距离或相似系数分类,有下列方法。①凝聚法:它是先将每个观察值{Xi}看成一类，逐步归并，直至全部观测值并成一类为止，然后将上述并类过程画成一聚类图（或称谱系图），利用这个图可方便地得到分类。②分解法：它是先将全部观测值看成一类，然后逐步将它们分解为2类、3类、…、N类,它是凝聚法的逆过程。③动态聚类法：它是将观测值先粗糙地分类，然后按适当的目标函数和规定的程序逐步调整，直至不能再调为止。

若观察值X1,X2,…,Xn之间的次序在分类时不允许打乱，则称为有序分类。例如在地质学中将地层进行分类，只能将互相邻接的地层分成一类，不能打乱上下的次序。用于这一类问题中的重要方法是费希尔于1958年提出的最优分割法。

聚类分析也能用于预报洪水、暴雨、地震等灾害性问题，其效果比其他统计方法好。但它在理论上还很薄弱，因为它不象其他方法那样有确切的数学模型。

主成分分析

又称主分量分析，是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种方法。设原来有p个变量x1,x2,…,xp,为了简化问题，选一个新变量z，

,

公式

要求z尽可能多地反映p个变量的信息，以此来选择l1,l2,…,lp,当l1,l2,…,lp选定后,称z为x1,x2,…,xp的主成分（或主分量）。有时仅一个主成分不足以代表原来的p个变量，可用q(

的约束下，选择l1,l2,…,lp使z的方差达到最大。

公式

在根据样本进行主成分分析时又可分为R型分析与Q型分析。前者是用样本协差阵（或相关阵）的特征向量作为线性函数的系数来求主成分；后者是由样品之间的内积组成的内积阵来进行类似的处理，其目的是寻找出有代表性的“典型”样品，这种方法在地质结构的分析中常使用。

对应分析

这是70年代地质学家提出的方法。对非负值指标的样本资料矩阵作适当的处理后,同时进行R型与Q型的主成分分析,将结果综合在图上进行解释，可以得到指标随时间、空间位置变化的规律。它的理论正在引起多方面的重视。

因子分析

它是由样本的资料将一组变量

y2，……yp）

公式

分解为一些公共因子f与特殊因子s的线性组合,即有常数矩阵A使у=Af+s。公共因子f 的客观内容有时是明确的,如在心理研究中,根据学生的测验成绩（指标）来分析他的反应快慢、理解深浅（公共因子）；有时则是不明确的。为了寻求易于解释的公共因子，往往对因子轴进行旋转，旋转的方法有正交旋转,斜旋转,极大变差旋转等。

从样本协差阵或相关阵求公共因子的方法有广义最小二乘法、最大似然法与不加权的最小二乘法等。通常在应用中，最方便的是直接利用主成分分析所得的头几个主成分，它们往往是对各个指标影响都比较大的公共因子。

典型相关分析

它是寻求两组变量各自的线性函数中相关系数达到最大值的一对，这称为第一对典型变量，还可以求第二对，第三对，等等，这些成对的变量，彼此是不相关的。各对的相关系数称为典型相关系数。通过这些典型变量所代表的实际含意，可以找到这两组变量间的一些内在联系。典型相关分析虽然30年代已经出现，但至今未能广泛应用。

上述的各种方法可以看成广义多元分析的内容，在有些方法中，如加上正态性的假定，就可以讨论一些更深入的问题，例如线性模型中有关线性假设检验的问题，在正态的假定下，就有比较系统的结果。多元分析也可按指标是离散的还是连续的来区分，离散值的多元分析实质上与列联表分析有很大部分是类似的，甚至是一样的。

非数量指标数量化的理论和方法也是广义多元分析的一个重要的研究课题。

首先说明一下，OSI七层模型 是一种思想、思路，是各厂商开发软件时遵循的通用标准。它诠释了数据通信的过程。它是个抽象的概念。

回答1：既不是 *** 作系统的TCP/IP协议也不是是网络设备。因为这两个只是完成7层中的某个功能。tcp（a和b两台电脑的虚通道建立）工作在传输层，ip（路由转发）工作在网络层。而网络设备。比如路由器（三层交换机也有这个功能，只是和路由器的侧重点不一样）只把数据解析到第三层，在第三层封装后的数据叫做包。而二层交换机只把数据解析到第二层，在第二层封装后的数据包叫做帧。

回答2：物理层也就是第一层，处理的数据是比特流。而“本地连接”是工作在应用层也就是第7层。一块以太网网卡包括OSI（开方系统互联）模型的两个层。物理层和数据链路层。物理层定义了数据传送与接收所需要的电与光信号、线路状态、时钟基准、数据编码和电路等，并向数据链路层设备提供标准接口。数据链路层则提供寻址机构、数据帧的构建、数据差错检查、传送控制、向网络层提供标准的数据接口等功能。

回答3：其实数据链路层是把网络层的数据加上头和尾形成帧再交付给物理层。这就是封装。

之所以要加上头和尾是因为物理层只管电信号，必须要有一个特殊的电信号告诉物理层这是一个帧的开始和结尾。

一般头和尾的电信号是连续的10101010这样的形式，当物理层接收到信号后，知道这是一个帧来了，经过模数转换后交付给数据链路层，数据链路层剥离头和尾把数据交付给上面的网络层，这就是解封装的过程。

其实网络的七层结构基本上都是封装和解封装的过程，上层数据下来的时候就给他加特定的头，相当于装了个信封，就这样一层层的装下来。下层的数据送到上层就一层层的剥离头（信封），直到最后没有信封得到最终的数据为止。

数据封装的原理：

数据封装是指将协议数据单元（PDU）封装在一组协议头和尾中的过程。在 OSI 7层参考模型中，每层主要负责与其它机器上的对等层进行通信。该过程是在“协议数据单元”（PDU）中实现的，其中每层的 PDU 一般由本层的协议头、协议尾和数据封装构成。

每层可以添加协议头和尾到其对应的 PDU 中。协议头包括层到层之间的通信相关信息。协议头、协议尾和数据是三个相对的概念，这主要取决于进行信息单元分析的各个层。例如，传输头（TH）包含只有传输层可以看到的信息，而位于传输层以下的其它所有层将传输头作为各层的数据部分进行传送。在网络层，一个信息单元由层3协议头（NH）和数据构成；而数据链路层中，由网络层（层3协议头和数据）传送下去的所有信息均被视为数据。换句话说，特定 OSI 层中信息单元的数据部分可能包含由上层传送下来的协议头、协议尾和数据。

例如，如果计算机 A 要将应用程序中的某数据发送至计算机 B 应用层。计算机 A 的应用层联系任何计算机 B 的应用层所必需的控制信息，都是通过预先在数据上添加协议头。结果信息单元，其包含协议头、数据、可能包含协议尾，被发送至表示层，表示层再添加为计算机 B 的表示层所理解的控制信息的协议头。信息单元的大小随着每一层协议头和协议尾的添加而增加，这些协议头和协议尾包含了计算机 B 的对应层要使用的控制信息。在物理层，整个信息单元通过网络介质传输。

计算机 B 中的物理层接收信息单元并将其传送至数据链路层；然后 B 中的数据链路层读取包含在计算机 A 的数据链路层预先添加在协议头中的控制信息；其次去除协议头和协议尾，剩余部分被传送至网络层。每一层执行相同的动作：从对应层读取协议头和协议尾，并去除，再将剩余信息发送至高一层。应用层执行完后，数据就被传送至计算机 B 中的应用程序接收端，最后收到的正是从计算机 A 应用程所发送的数据。

网络分层和数据封装过程看上去比较繁杂，但又是相当重要的体系结构，它使得网络通信实现模块化并易于管理。

解封装正好是封装的反向 *** 作,把封装的数据包还原成数据

希望对你有帮助，如果你还困惑，建议你看一下网络工程师教程。

数学分析是数学中的一门基础课程，它主要研究实数、函数、极限、连续、微积分等概念和方法。相对于初等数学而言，数学分析更加抽象和理论化，因此对于很多人来说，数学分析是一门比较难学的课程。

数学分析难在以下几个方面：

1 抽象性：数学分析是一门比较抽象的学科，其中的概念和定义都比较抽象。因此，学生需要具备较强的逻辑思维和抽象思维能力。

2 理论性：数学分析是一门比较理论化的学科，其中的定理和证明都比较多。因此，学生需要具备较强的数学推理和证明能力。

3 知识量：数学分析的知识点比较多，而且知识点之间有很强的关联性。因此，学生需要花费较多的时间和精力来掌握这些知识点。

要学好数学分析，需要注重以下几个方面：

1 理解概念：数学分析中的概念非常重要，因此学生需要花费时间来理解和掌握这些概念。可以通过看书、听课、做题等方式来加深对概念的理解。

2 掌握方法：数学分析中的方法也非常重要，学生需要掌握各种方法的使用和运用。可以通过看书、听课、做题等方式来掌握这些方法。

3 做题练习：数学分析是一门需要练习的学科，学生需要通过大量的做题来巩固所学知识。可以通过做习题、做考试题、参加竞赛等方式来进行练习。

4 总结归纳：数学分析的知识点比较多，学生需要进行总结和归纳，才能更好地掌握这些知识点。可以通过制作笔记、整理思维导图等方式来进行总结和归纳。

总之，学好数学分析需要付出较多的时间和精力，学生需要注重理解概念、掌握方法、做题练习和总结归纳。同时，也需要保持良好的学习态度和习惯，不断提高自己的数学素养。

希尔伯特23个问题及解决情况 1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。 在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想： 正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。 正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。 希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。 ” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。 只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。” 他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征： 清晰性和易懂性； 虽困难但又给人以希望； 意义深远。 同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。 就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。 编号 问题 推动发展的领域 解决的情况 1 连续统假设 公理化 论 1963年，Paul JCohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。 即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。 2 算术公理的相容性 数学基础 希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。 数学的相容性问题至今未解决。 3 两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生MDehn给出了肯定的解答。 4 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提得过于一般。 希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。 5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论 经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的。 6 物理公理的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。 概率论的公理化已由AHKonmoropob等人建立。 7 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年AOtemohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。 8 素数问题 数论 一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。 包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。 中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。 9 任意数域中最一般的互反律之证明 类域论 已由高木贞治(1921)和EArtin(1927)解决 10 Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。 11 系数为任意代数数的二次型 二次型理论 HHasse(1929)和C LSiegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果。 12 Abel域上 kroneker定理推广到任意代数有理域。 复乘法理论 尚未解决。 13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。 方程论与实函数论 连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决。 14 证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论 1958年永田雅宜给出了否定解决。 15 Schubert记数演算的严格基础 代数几何学 由于许多数学家的努力，Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解决。 至于代数几何的基础，已由BLVander Waerden(1938-40)与 AWeil(1950)建立。 16 代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论 问题的前半部分，近年来不断有重要结果。 17 正定形式的平方表示式 域（实域）论 已由Artin 于1926年解决。 18 由全等多面体构造空间 结晶体群理论 部分解决。 19 正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这个问题在某种意义上已获解决。 20 一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。 21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性 线性常微分方程大范围理论 已由Hilbert本人（1905）年和 HRohrl(德，1957)解决。 22 解析关系的单值化 Riemann 曲面体 一个变数的情形已由 PKoebe (德，1907)解决。 23 变分法的进一步发展 变分法 Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。 百年前的数学家大会与希尔伯特的问题 熊卫民 21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了，它将给本世纪的数学发展带来些什么？能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗？ 一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册，完全是因为一个人，因为他的一个报告——希尔伯特（David Hilbert）和他的《数学问题》。 1900年，希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。 在随后的半个世纪中，许多世界一流的数学头脑都围着它们转。 其情形正如另一位非常著名的数学家外尔（H Weyl）所说：“希尔伯特吹响了他的魔笛，成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。 ”这也难怪，他所提出的问题都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试，而且解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题（即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大贡献而为世人所侧目。 人们在总结二十世纪数学的发展，尤其是二十世纪上半叶数学的发展时，通常都以希尔伯特所提的问题为航标。 其实这些问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的。 但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向。 数学领域中的问题是极多的，究竟哪些更重要、更基本？做出这样的选择需要敏锐的洞察力。 为什么希尔伯特能如此目光如炬？数学史家、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、《希尔伯特——数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向东先生（和李文林先生合译）认为，这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大！数学家可分为两类，一类擅长解决数学中的难题，另一类擅长对现有状况做出理论总结，两大类中又均可细分为一流、二流、三流。 希尔伯特两者兼长，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的名字，对数学发展的大背景了如指掌，对所提及的许多问题都有深入的研究，是数学领域中的“王”。 为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题，而不像常人一样宣讲自己的某项成果？袁向东告诉记者，这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincaré)有关，庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。 他们两人是当时国际数学界中的双子星座，均为领袖级人物，当然也存在一定的竞争心理——既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法，那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护。 庞加莱是法国人，希尔伯特是德国人，法、德两国有世仇，所以他们之间的竞争还带上了一种国与国竞争的味道。 虽然他们两人非常尊重对方，这一点在他们身上体现得不明显，但他们的学生和老师常常这样看。 希尔伯特的老师克莱茵（Felix Klein）就是一个民族感非常强的人，他非常强调德意志数学的发展，想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形，圆心为巴黎；现在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心，使数学世界变成有两个圆心的椭圆。 在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基(Hermann Minkowski)的帮助下，克莱茵实现了自己的目标——1900年时，希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名，而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学家。 事实上，他们在德国号称“无敌三教授”。 从一个例子可以想见他们的魅力。 某天，在谈及拓扑学著名定理——四色定理时，闵可夫斯基突然灵机一动，于是对满堂的学生说：“这条定理还没有得到证明，因为到目前为止还只有一些三流数学家对它进行过研究。 现在由我来证明它。 ”然后他拿起粉笔当场证明这条定理。 这堂课结束后，他还没有证完。 下堂课他继续证，这样一直持续了几周。 最后，在一个阴雨的早晨，他一走上讲台天空就出现了一道霹雳。 “老天也被我的傲慢激怒了，”他说，“我的证明也是不完全的。 ”（该定理直到1994年才用计算机证明出来。 ） 1912年，庞加莱逝世。 世界数学的中心进一步向哥廷根偏移，数学界似乎又变成了一个圆——不过圆心换成了哥廷根。 此时，哥廷根学派的名声如日中天，在数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖，到哥廷根去！” 一个世纪过去了，希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决，其余一半的大多数也都有重大进展。 但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。 有人问他，为什么他不去解决自己所提的问题，譬如说费马大定理？ 费马是在一页书的空白处写下该定理的，他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法，但可惜的是空白区不够大，写不下了。 希尔伯特的回答同样幽默：“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者，希尔伯特时任该基金会的主席，每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学，所以对他而言，费马大定律者是只会下金蛋的母鸡。 （费马大定律直到1997年才被解决。 ） 在列出23个问题之前，希尔伯特已经是国际数学界公认的****，已经在数学的诸多领域取得多项重要成果。 他的其它贡献，譬如他的公理化主张、 构想、《几何基础》一书等等，都对20世纪数学的发展有着深远的影响。 1 21世纪七大数学难题 21世纪七大数学难题 最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。 以下是这七个难题的简单介绍。 “千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。 由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。 你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。 不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。 然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。 生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。 这是这种一般现象的一个例子。 与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。 不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。 它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 “千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。 基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。 这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形 的对象进行分类时取得巨大的进展。 不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。 在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。 霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 “千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。 另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。 我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。 大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。 这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。 这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。 在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。 著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。 证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。 大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。 基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。 尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。 特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。 在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。 数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。 虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。 挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。 “千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。 欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。 事实上，正如马蒂雅谢维奇(YuVMatiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。 当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。 特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

常用的知识点

一、集合、简易逻辑、推理与证明

1、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．

2、描述法表示的集合一定要注意代表元素，注意区分是点集还是数集．

3、分析子集或真子集（或应用条件 ）时是否忽略 的情况．

4、解集合问题时应注意分类讨论，不要忘了借助数轴或文氏图进行求解，同时注意端点值是否相等．

5、四种命题及其相互关系，互为逆否命题同真假．复合命题的真假如何判断？

6、“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念．命题的否定即“非p”，是对命题结论的否定；否命题是对原命题“若p则q”既否定条件又否定其结论．

7、全称命题、特称命题的否定是怎样的？全称命题为真需推证对所有的条件结论都成立，只要有一个反例就可以判断全称命题为假；特称命题只要找到使结论成立的一个条件就可判断为真，只有推证所有的条件都不能使结论成立才能判断为假．

8、充要条件的概念及判断（定义法、集合法）．充要关系的判断可以转化为判断其逆否命题，也可以用反例或问题的特殊性作为推理的依据．

9、判断条件的充要关系时，要弄清充分条件与必要条件、充分条件与充要条件的区别．考虑问题要全面准确，使结论成立的充分条件或必要条件可以不只一个．

10、推理形式包括哪几种？常用的证明方法有哪些？是否掌握了每种证明方法的要求．

二、函数、导数、不等式

11、映射与函数的概念了解了吗？映射 中，你是否注意到了A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性．

12、函数的三要素及三种题型．注意定义域、值域为非空数集；定义域、值域要写成集合或区间的形式．

13、在解决函数问题时你是否注意到“定义域优先”的原则．

14、求函数的解析式时，你是否标明了定义域；判断函数的奇偶性时，是否先检验函数的定义域关于原点对称．

15、判定函数的单调性（求单调区间）时，你是否先求出定义域？是否错误地在各个单调区间之间添加了符号“ ”和“或”．

16、函数单调性的判定方法是什么？（定义、图像、导数）．复合函数单调性的判断遵循“同增异减”的原则．是否掌握了已知函数的单调性求参数范围的方法？

17、特别注意函数单调性和奇偶性的逆用（比较大小、解不等式、求参数范围）．

18、下列结论记住了吗

①如果函数f (x)满足f (a+x)= f (a-x)或f (x)= f (2a-x)，则函数f (x)的图像关于x=a对称；

②如果函数f (x)满足f (a+x)= - f (a-x)或f (x)= - f (2a-x)，则函数f (x)的图像关于点（a，0）对称；

③如果函数f (x)满足f (x+T)= -f (x)或f (x+T)= ，则函数f(x)的周期为2T．

19、函数的奇偶性、对称性、周期性之间又怎样的关系？（知道其中的两个可求第三个）

20、函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标之间的关系．怎样判断函数y=f (x)在所给区间 (a,b)上是否有零点？ 与函数有零点的关系是怎样的？

22、三个“二次”的关系和应用掌握了吗？求二次函数的最值时用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系．求参数的范围可转化为根的分布．

23、特别提醒：二次方程ax2+bx+c=0的两根为不等式ax2+bx+c>0(<0)解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标．

24、研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗？

25、函数图像的变换有哪几种？（平移、伸缩、对称）

26、函数 的图像及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用不等式求函数的最值的联系是什么？

27、恒成立问题不要忘了“主参换位”，注意验证等号是否成立．注意分离参数的方法．

28、解分式不等式应注意什么问题？（不能去分母，常采用移项通分求解）

29、解指数、对数不等式应注意什么问题？（化同底，利用单调性求解．注意底数不为1，对数的真数大于0）

30、不等式| ax+b | < c, | ax+b | > c (c>0)及不等式| x+a | +| x+b| >c（<c）的解法掌握了吗？（几何意义、零点分区间法、图像法）

31、会用不等式| a +b| | a | + | b | 、| a +b| | a- c | + | c-b |解（证）一些简单问题．

32、利用基本不等式求最值时，易忽略其使用的条件．（一正二定三相等）

33、重要不等式是指那几个不等式 ，由它推出的不等式链是什么？

34、不等式证明的基本方法掌握了吗？（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法、单调性法）

35、注意线性规划的常见题型．线性规划问题中你是否考虑到目标函数中z的几何意义？

36、导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？

37、常见函数的求导公式与和、差、积、商的求导法则及复合函数的求导法则你都熟记了吗？

38、利用导数可解决哪些问题，具体步骤是什么？（切线、单调性、极值、最值）

39、函数的单调性和导函数的符号之间又怎样的关系？(充分条件) 极值点与使导函数值为0的点之间有怎样的关系？（必要条件）

40、三次函数y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)的图像你熟悉吗？单调性如何？它的对称中心是什么？

41、你能根据函数的单调性、极值画出函数的大致图像吗？借助函数的图像如何求已知函数在动区间上的极值（最值）？

42、已知函数零点的个数、两函数图像交点的个数、两函数图像的位置关系如何求参数范围？

三、三角函数

43、你对象限角、锐角、小于900的角、负角、终边相同的角等概念理解有误吗？角度制与弧度制是否混用？

44、记住三角函数的两种定义了吗？（比值定义、有向线段定义）

45、利用三角函数线和图像解三角不等式是否熟练？

46、求三角函数的值时是否考虑到x的范围？是否习惯用图像或单调性求解．

47、三角变换公式你记熟了吗？（同角三角关系、诱导公式、两角和差的三角函数、倍角公式）

48、已知三角函数值求角时，要注意三角函数的选择、角的范围的挖掘．

49、三角变换过程中要注意“拆角、拼角”、切化弦的问题．

50、如何求函数y = Asin(ωx +φ)的单调区间、对称轴（中心）、周期？（求单调区间时要注意A、ω的正负；求周期时要注意ω的正负）

51、“五点作图法”你是否熟练掌握？如何作函数y = Asin(ωx +φ)的图像？如何由图像确定函数的解析式？（关键是确定A、ω、φ）

52、由y = sinx → y = Asin(ωx +φ)的变换你掌握了吗？反之怎样？

53、求y = sinx +cosx+ sinxcosx类型的函数的值域，换元时令 时，要注意 ．

54、在解决三角形问题时，要及时应用正、余弦定理进行边角之间的转化．

四、数列、数学归纳法

55、利用等差、等比数列的定义： （ ）要重视条件 ．

56、求等比数列的前n项和时，要注意分q = 1和q≠1两种情况．

57、数列求通项有几种方法？（公式、递推关系、归纳猜想证明）．数列求和有几种常用方法？（公式、错位相减、裂项相消）

58、已知Sn 求an时你是否考虑到分n=1和n≠1两种情况？

59、如何解决数列中的单调性、最值问题？

60、应用数学归纳法时，一要注意步骤齐全（两步三结论）；二要注意从n = k到n = k+1的过程中，先应用归纳假设，再灵活应用比较法、分析法等其它方法．

61、你是否注意到数列与函数、方程、不等式的结合？

五、平面向量、解析几何

62、记住直线的倾斜角的范围，直线的斜率和倾斜角的关系是怎样的？

63、何为直线的方向向量？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？

64、直线方程有几种形式，各有什么限制？是否注意到x = my + n形式的运用？

65、截距是距离吗？“截距相等”意味着什么？

66、两直线A1x + B1y + C1=0与A2x + B2y + C2=0平行、垂直的充要条件分别是什么？

67、要熟记点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式．

68、解析几何中的对称有几种？（轴对称、中心对称）分别如何求解？

69、求曲线方程的一般步骤是什么？求曲线的方程与求曲线的轨迹有什么不同？求轨迹的常用方法有哪些？

70、直线和圆的位置关系如何判定（几何法、代数法）？直线和圆锥曲线的位置关系怎样判定？

71、圆锥曲线方程中a、b、c与e的关系记住了吗？

72、解题中是否注意到圆锥曲线定义的应用？要注意圆中由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形；椭圆、双曲线中的特征三角形和焦点三角形．

73、记住圆、椭圆、双曲线、抛物线中的常用结论．

74、容易忽略双曲线一支上的点P到相应焦点F的距离| PF |≥c-a这一条件来取舍．

75、记住解析几何的常见题型了吗？（位置关系问题、弦长问题、对称问题、中点弦问题、定点问题、定线问题、定值问题等）

76、记住解析几何中常用的解题方法（如设而不求、点差法等．用点差法求弦所在直线方程时要注意检验．）

77、在直线与圆锥曲线的有关计算中，经常由二次曲线方程与直线方程联立消元得形如Ax2 + Bx + C = 0的方程，在后面的计算中务必要考虑两个问题：①A与0的关系；②判别式△与0 的关系，你想到了吗？

78、解析几何问题的求解中，是否注意到平面几何知识的利用？如何挖掘平面几何图形中的隐含条件？是否注意到向量在解析几何中的运用？

79、解析几何中常用的数学思想方法：换元的思想，方程的思想，整体的思想等．解题中会考虑吗？

六、立体几何

80、空间图形应注意的两个问题：一是根据空间图形正确识别空间元素点、线、面的位置关系，二是要注意改变视角，能正确判定空间图形位置、形状及存在的数量关系，寻找解题思路或途径．

81、立体几何虽是平面几何的继续和发展，但并不是所有平面几何的结论都能无条件地推广到立体几何中．

82、由几何体（或直观图）作三视图，及由三视图还原几何体（或画出相应的直观图）你熟练吗？注意到线的虚实了吗？

83、立体几何中，平行、垂直关系可以进行以下转化：线‖线 线‖面 面‖面，线⊥线 线⊥面 面⊥面．这些转化的依据是什么？

84、异面直线所成角的范围是什么？线面角的范围是什么？二面角的范围是什么？

85、求作线面角的关键是找直线在平面上的射影．

86、作二面角的平面角的方法有哪些？（利用定义、三垂线法、作二面角的棱的垂面）．这些方法你掌握了吗？

87、立体几何的求解问题分为“作”、“证”、“算”三个部分，你是否只重视了“作”、“算”，而忽视了“证”这一环节？

88、会求直线的方向向量、平面的法向量吗？如何利用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的大小？

89、用向量研究角的有关问题时，是否弄清了向量夹角与图形角的关系？

90、用空间向量的坐标来解决立体几何题，要合理建系并且要建立右手直角坐标系，正确地写出需用点的坐标，注意向量表达与图形表达的转化．

91、你是否记住了以下结论：

①从点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC,则点A在平面BOC上的射影在∠BOC的平分线上．

②已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则有cos2α+cos2β+cos2γ=2．

③正方体、长方体的外接球的直径等于其体对角线的长．

七、排列、组合、二项式定理、概率统计

92、选用两个原理的关键是什么？（分类还是分步）

93、排列数、组合数的计算公式你记住了吗？它们的条件限制你注意了吗？

94、组合数有哪些性质？在杨辉三角中如何体现？

95、排列与组合的区别和联系你清楚吗？解决排列组合问题的常用方法你掌握了吗？解综合题可别忘了“合理分类、先选后排”啊！

96、排列应用题的解决策略可有直接法和间接法；对附加条件的组合应用题，你对“含”与“不含”，“至多”与“至少”型题一定要注意分类或从反面入手啊！

97、求二项展开式特定项一般要用到二项式的展开式的通项．

98、二项式定理的主要应用有哪些？

99、二项式定理(a+b)n与(b+a)n展开式上有区别吗？定理的逆用熟悉吗？

100、求二项（或多项）展开式中特定项的系数你会用组合法解决吗？

101、“二项式系数”与“项的系数”是两个不同的概念．求系数问题常用赋值法！求展开式中系数最大的项（或系数绝对值最大的项）的方法你熟悉吗？千万要注意解法技巧的变形啊!

102、二项式展开式各项的二项式系数和、奇数项的二项式系数和、偶数项的二项式系数和，奇次（偶次）项的二项式系数和你能区分开吗？它们的项的系数和呢？

103、四种常见的概率类型你掌握了吗？是否注意到每种概率应用的前提？

104、在用几何概型求概率时你是否能正确选择几何量？（线段长度、区域面积、几何体体积）

105、求随机事件概率的问题常用的思考方法是：正向思考时要善于将复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法．是否注意到“至多”、“至少”事件概率的求法有分类、间接两种．

106、概率应用题你有写“答语”的习惯吗？解题的步骤完整吗？求分布列的解答题你能把步骤写全吗？求期望、方差的步骤齐全吗？

107、记住常用的三个分布．二项分布的期望和方差公式是什么？

108、正态密度曲线有怎样的性质？你会利用它的对称性求概率吗？

109、抽样方法有哪些？它们具有怎样的联系与区别？

110、用样本估计总体的方法有几种？具体是什么？

111、统计图有几种？频率分布直方图、条形图中纵轴的意义相同吗？对各种统计图你能正确应用吗？

112、样本的数字特征有几种？你能正确应用它们对总体进行估计吗？

113、变量间的关系包括哪几种？你能应用最小二乘法求线性回归方程、并作出预测吗？

114、独立性检验的基本思想是什么？如何根据K2的值判断两个变量存在关系的可能性的大小？

八、算法初步、复数

115、你能正确区分、使用各种框图吗？（起止框、输入输出框、处理框、判断框）

116、对各种算法语句你能正确理解和使用吗？是否熟悉赋值语句与数列的关系？

117、在循环结构中能正确判断循环的次数吗？

118、对所给的程序框图、程序，你能读懂吗？能给出正确的运算结果吗？能正确判断缺少的条件吗？

119、你熟悉复数与实数的关系吗？是否记住实数、虚数、纯虚数定义中的条件？

120、复数不能比较大小．记住复数相等的定义，会利用复数相等把复数问题实数化．

121、记清复数的几何意义．记住复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系．

122、你能熟练进行复数的加、减、乘、除运算吗？这是高考的常考题型！

九、基本方法

123、解答选择题的特殊方法是什么？（估算法、特值法、特征分析法、直观选择法、逆推验证法）

124、解答开放型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．

125、解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量，设法摆脱参变量的困扰．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性方法．

126、在分类讨论时，要做到“不重不漏，层次分明”，最后要进行总结．

127、做应用题时，运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的范围；在填写填空题中的应用题的答案时，要写上单位．

128、换元的思想，逆求的思想，从特殊到一般的思想，方程的思想，整体的思想等，在解题中你会考虑吗？

129、在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，则在解题过程中要给出简单的证明．

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