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从数学角度来说,分岔理论主要研究非线性方程(微分方程积分方程、差分方程等)中的参数对解的定性性质的影响。其中，参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关系是研究的重点。早在1885年，庞加莱就提出了一套平面动力学系统的平衡状态与参数的关系的理论。他研究了参数通过分岔值时系统轨线的拓扑结构的变化状况，建立了相应的判别准则。20世纪50年代，苏联学者AA安德罗诺夫推广了庞加莱的结果，并在非线性振动理论中加以应用。后来，又有人研究高维欧几里德空间或巴拿赫空间中的分岔理论，但结果还不多。

混沌思维的含义如下：

混沌思维是一种模糊认识事物，打破固有秩序，不考虑过多因素影响的思维模式。

它与逻辑思维相对立，如果说逻辑思维是左脑型的、意识型的，那么混沌思维就是右脑型的、潜意识型的。只有远离平衡态的非线性系统才具有可变性，才能成为耗散系统。耗散系统从环境中吸收能量和信息，并且在系统内部进行消散，导致系统趋于分化。但是系统还是具有一种不规则形式的结构，通过自组织过程不断地进行自我更新。耗散系统实质上也是一种自相矛盾的系统：形式上的对称性和一致性不断地消失，然而却依然存在着一种结构。其是一个在整体上暂时表现出稳定结构的不断发展的相互作用过程。

这种矛盾的吸引子就是奇怪吸引子。奇怪吸引子是指具有边界和形状稳定性的，即具有总体定性特征的一种原型、一种潜在行为形式。其是自相矛盾的，同时既表现为原型形式或者倾向形式的稳定性，又表现为通过对复杂性系统的深层认知，可以建立有效的混沌—创新思维的基本方法。混沌思维稳定性能够弱化和局限系统的变化，促使系统维持现状不变；破坏性使系统远离平衡态的行为却会破坏系统的稳定性，使系统趋于变化。企业组织的影子系统极具破坏性，因而也极具变革性与创新性。影子系统的文化变革常常挑战传统习惯，变革稳定平衡的旧秩序，于是创新性便会在维持与变革、守旧与创造的矛盾斗争中产生。

先玩个游戏，石头剪刀布，我们无法准确预测对方下一次做出的手势；股票市场，无法准确预测近期的走势；晨起跑步，无法精确预测下一步所踏出的位置；观察海浪，无法确定下一个海浪拍打海岸的高度；观察云层，很难预测云层的下一步形状……

类似例子太多，世界有很多的不确定性，不重复性，不可预测性。这种现象，我们称为“混沌效应”，体现了世界的无序。

混沌,英文为chaos,意思是无序和混乱的状态。然而混沌作为一门科学发展至今,仍没有一个准确、完整、科学的定义,不同领域的科学家往往对其有不同的理解。

自然科学中，我们发现和总结了很多规律，有的发展成定律。比如经典力学中，惯性定律，万有引力定律。这些定律，可以用数学的方式量化，验证，呈现线性规律。但在世界中，却又存在很多现象，无法准确的数学模拟，呈现出非线性特征，出现无序特点。

我们从小学到大学，学的各种自然学科，大多是学的线性知识，也即规律性。比如数学物理化学生物地理医学等，是已经发现和总结的有序。同时，包括社会科学中的心理学，经济学，行为学，也是各种数据的统计，模拟的各种实验调查，得出的部分规律。这些规律，相对确定准确，体现出世界的有序性。

然而，我们已知的世界远远小于未知的世界。有太多的自然现象无法准确解释和预测，体现出一种无序性，不确定性，不可预测性。比如股票市场的随机漫步理论，股票短期内的价格，好像一个在广场随机漫步的人一样，你无法准确预测他下一步究竟落在什么位置，也无法准确知道他什么时候转弯什么时候折回。也好像大气云层，我们可以归纳统计一年中的大概变化。却无法准确预测一年后的今天，云层什么特点，是天晴还是下雨。

可见，世界是相对有序的确定性系统中，表现出局部的无序性。世界是有有序和混沌同时构成，类似于中国古代的阴阳，阴中带阳，阳中带阴，有序与混沌同时存在。

无序的混沌世界，也存在一些确定的特征。

对初值的敏感性

确定的规律是线性特征，总量等于分量之和。初值较小变化，对结果影响不大。但混沌世界是非线性特征，初值很小的变化，将会带来很大的结果改变。就好像美国气象学家洛伦兹所说“巴西的蝴蝶煽动翅膀，可能在美国德州引起一场龙卷风”，我们称之为蝴蝶效应。现实蝴蝶效应对人心理影响尤其明显，呈混沌效应难以准确预测。就好像美国的一头牛得了疯牛病，无限放大后，波及美国整个牛肉的屠宰行业和大豆玉米种植行业。中国近期的非洲猪瘟，波及整个中国生猪市场及近期中国人的饮食结构。西安奔驰女购买66万奔驰车漏油维权视频，影响了整个奔驰车的品牌和企业形象。朋友圈转发的槟榔致癌文章，影响了海南的槟榔价格跌至底谷，槟榔行业受重挫。

这都是微小的初值，导致结果的重大改变。是一种混沌现象的蝴蝶效应，对初值及其敏感。尤其作用于人的心理时，更加难以评估和预测。

分形理论

分形理论指局部与整体的高度相似性。

在自然界中，很多混沌现象无法预测。但观察整体与局部，又呈现出相似性。比如树枝的分叉，整体海岸线与局部海岸线，河流的整体'状态与局部状态，人的血管分流形态，人的心肺分流状态，都呈现出整体与局部的相似性。曼德勃罗利用在ibm工作的机会，利用计算机计算，也模拟出多种分形图形。如上帝的指纹，基本数学公式Z＝Z^2＋C，类似分形图形还很多。

分形理论重大意义，在于可以重新认识混沌。无论多复杂的世界，都源于简单的初始。宇宙中所有的复杂性，及其无尽魅力，都来源于毋庸思索的简单规则的不断重复。

以此为基础，我们可以对身边的混沌未知，做分形剖解。把复杂的问题分形简单化，要实现复杂的目标，从分形的简单积累入手。

比如，人一年的工作生活状态是混沌的，无法准确预测，存在太多的不确定性。但按照分形理论，一年的工作生活状态和你每一天的工作生活状态又及其相似。

你这一年懵懵懂懂，分形到每一天，也可见太多无所事事的日子。你这一年收获满满，分形到每一天，也是有计划有目的的充实。所以，希望一年有收获，一生有收获，要实现这个复杂的目标，可以简化到一天，把每一天的时间规划好使用好，其一年甚至一生的结局就好。因为一天是一生的缩影，是一生的分形。

混沌是世界的本质，有序是人类的梦想，线性的有序和非线性的混沌共同构成世界。我们必须客观认识世界，认识混沌，认识分形，一切复杂源于简单。从简单的初始实现复杂的混沌，尽可能的构建自己相对有序的人生。

首先我不是老师。这学期正在学非线性，但也是刚学，只是一点儿初步的理解。

倍周期分叉：是一种规则-随机-规则-随机……的物理体现，怎么说呢，是一种分形结构。这本来是纯数学的东西，从物理上理解就是随即与规则的竞争，稳定与不稳定的竞争。

奇怪吸引子可能是不稳定平很点吧。

混沌好像比较好理解，从物理上讲就是一种非洲期的运动。从数学上将就是迭代可以无止境下去

中国研究非线性的老师好像不多……我们学校的物理系可能是国内非常好的了，可交我们非线性的本行业不是这个，而且这门课还是选修……

一、数值实验的过程和特点

传统意义上的实验，即现在所称的实验室实验，是指用物质手段改变研究对象而获得关于其性质或状态的信息。这里称人们有目的地运用电子计算机来了解某类客观事物的性质或状态的实践活动为数值实验。数值实验不仅仅是求解问题的数值计算，重要的是观察模型条件和参数变化时，结果有何种相应变化。关于后者，[1]中生动地描述为“先是创造一个微小的宇宙，然后观察它的演化，然后再改动这儿，改动那儿，改动一些性质之后，再观察一遍从头开始的演化过程。”

数值实验的过程包括个3基本步骤：

明确数值实验目的，设计数值实验方案；

选择和/或编制数值计算程序，上机运算；

对计算机输出的数字或图形进行理论分析。

新的普适常数 δ 的发现就是上述过程的一个例子。首先，费根鲍姆 (Feigenbaum) 为了找到在区间迭代映射中进入混沌带的规律，选择了一些截然不同的单峰非线性函数进行迭代；其次，在与成千上万个数据接触中他发现 δ =46692这个数值反复出现；最后，他用 π 、 e 、 c 、 h 、 k 等已知普适常数做各种组合，以验证 δ 确是一个新的普适常数。此外，他还用重整化群方法在理论上进行了论证。需要指出的是，数值实验的步骤3至关重要，计算机的大量输出，若无理论分析，难以说明任何问题。

数值实验具备一些独特的性质。首先，数值实验的实验对象是客观实在的理论抽象，是经过提炼的数学模型，这种抽象的实验对象往往能突出客观实在的特性。例如洛伦茨 (Lorenz) 在研究长期气象预报的困难所在时，并不直接以大气现象为实验对象，而是针对经截断的流体对流模型进行数值实验，发现了后来所称的“蝴蝶效应”，从而揭示了长期气象预报的不可能性。

其次，数值实验中的实验条件可以较精确地加以控制。近现代科学中的实验都是受控实验，需要对实验条件进行控制。实验室实验由于外界随机噪声背景的干扰和各类测量性误差的限制，因而很难实现严格的控制；在数值实验中，实验条件即是所研究数学模型中的各种参数，因而可以达到很高精度的控制，这在非线性问题研究中也是非常必要的。例如在描述外周期力作用下不含扩散项的三分子反应的布鲁塞尔 (Brussel) 振子模型中，有4个参数，外加2个初值，只有在数值实验中才可能分析某个参数对模型混沌性态的影响。

最后，数值实验的一个特点是实验所需的人力物力较少，实验周期短，实验过程与结果可以存盘长期保存，实验也易于重复检验。这些都是实验室实验无法比拟的。

二、数值实验的作用

在非线性问题中，由于理论不完备，实验室实验难度较大，因此数值实验起着非常重要甚至是不可替代的作用。这些作用主要表现在以下几个方面。

数值实验在非线性问题研究中的一个突出作用是发现新现象。截断对流模型呈现的非周期运动、非可积非遍历的非线性耦合双振子系统从周期运动到随机运动的过渡、无碰撞液体中的孤立子、单自由度非线性振子貌似随机的混乱定常运动、2维映射中的奇怪吸引子、单峰非线性闭区间迭代由倍周期分叉到混沌的普适常数 δ  和 α 、复平面上迭代映射形成的分形集，以及迭代求根公式中不同根吸引区域的复杂边界，诸如此类的大量新现象都是由数值实验发现的，这已成过去20余年来非线性问题研究的重要特色。

数值实验在非线性问题研究中的另一作用是补充理论结果，数值实验可以使一些理论结果定量化。例如在采用渐近法或摄动法等近似解析方法研究非线性问题时，其结论往往仅当问题中某个小参数 ε 充分小时才适用，对于特定问题，只有用数值实验才能定量地确定出 ε 的容许范围。数值实验还可以揭示理论结果中有关条件不成立时将发生的情况，如著名的KAM定理条件不成立时的混沌图像便是由埃农 (Hénon) 和福特 (Ford) 等人进行大量数值实验而得到的。

数值实验还可以借助具体直观来提供启示，激发灵感。这种作用早在电子计算机问世之前就在数论及低维几何和拓扑等数学分支中显示，高斯推测素数定理就是一例。现代计算机及其图形显示技术使得数值实验能更有效地发挥这种作用。例如完成曼德尔布罗 (Mandelbrot) 集连通性证明的哈伯德 (Hubbard) 后来回忆，在仔细观察计算机描绘的图案数小时后，他认为曼德尔布罗集是连通的，有了正确的结论便大大减少了证明的困难。此外，计算机绘出的各种美丽图形也能更广泛地引起研究者的兴趣，突出的例子是分形的研究。虽然早在20年代就由朱利亚 (Julia) 开创了复平面迭代的研究，后又有当代数学大师阿尔福斯 (Ahlfors) 的参与，但仍因有关图形无法用纸和笔绘制出来而不得不偃旗息鼓。直到70年代末曼德尔布罗用计算机绘出先前仅在研究者大脑中有想象的图形，才使分形研究受到普遍关注。

像实验室实验一样，数值实验还有检验理论结果的作用。有人甚至认为“数值计算一般可以是理论分析的最终检验”。早在混沌等非线性问题研究热潮兴起之前，费米 (Fermi) 等人就曾用数值实验针对非线性振子耦合链的动力学行为检验了波尔茨曼 (Boltzmann) 遍历性假设，结果该系统并没有出现假设所预言的情形，从而知道遍历性并非是不可积动力系统的普遍性质。大量非线性问题，如同一偏微分方程的两个孤立波相撞后是否保持其形状不变从而具有孤立子的特征、阵发混沌与倍周期分叉的关系、倍周期分叉序列或MSS普适序列在微分方程所控制系统中的实现等，均可用数值实验进行检验。数值实验甚至还有可能证明定理，曾将费根鲍姆的有关结论在计算机辅助下予以证明的兰福德 (Lanford) 正在努力使数值实验成为严格证明的方法。

三、理论在数值实验中的作用

现代科学哲学已提供大量的论证和实例表明实验是不能脱离理论的，数值实验作为一种特殊的实验，理论在其中起着更重要的作用。

数值实验的全部过程都是在理论的指导和配合下实现的。数值实验的对象（数学模型）本身便是理论研究的产物，数值实验的目的（发现什么、验证什么等）都直接或间接地与理论的发展有关。编制和实施计算程序要用到计算数学理论，分析处理计算机输出更需要有较高的理论素养。

理论在数值实验中的作用还表现在，数值实验的结果要得到充分重视必须有理论研究的背景，回顾一些重要的数值实验被忽视的史实便可以清楚地看出这一点。仍以费米等人的耦合非线性振子数值研究为例，这是最早的一个重要数值实验，现已公认它的结果是对当时物理学基本观念的挑战。它一方面否证了遍历性假设，另一方面也是现已渗透到数学物理每个分支的孤立子理论的开端。但由于当时的理论研究背景，费米等人也仅将它当作反常的个别现象未予以深入研究，有关论文也没有正式发表，10年后才收入费米的全集，近20年后在孤立子研究热潮中重新发表。[1]中记叙的有关混沌的一些数值实验亦有类似命运。

理论研究与数值实验又是互相补充的。例如在研究连续流动搅拌槽反应器数学模型分叉问题中，厄帕尔 (Uppal) 等人在进行大量数值实验的基础上给出了系统的5种局部分叉图，戈卢比茨基 (Golubitsky) 等人应用奇异理论予以证实并发现2种新的分又图，他们还指出这些局部结果有可能推广到全局，巴拉科泰亚 (Balakotaiah) 等用数值实验验证了上述理论结果可以推广到全局。这种从数值实验到理论分析再到新的数值实验的研究模式，在非线性问题研究中有着广泛的应用。

综上可知，与实验室实验相比，数值实验与理论的关系更为密切。就数值实验的性质而言，诚如埃农所说：“数值实验是名副其实的实验，要用实验物理学家而不是数学家的心态描述和评价。”但就其实施过程而言，则更接近于理论研究。可以认为数值实验的出现在一定程度上淡化了实验研究与理论研究的差别。

四、数值实验的局限性

任何方法都不是万能的，数值实验也不例外，它也有自身的局限性。

数值实验的局限性首先表现在它完全依赖于问题的数学模型。若尚无令人满意的数学模型，如地震过程，数值实验便无能为力。若数学模型非常复杂，如湍流，数值实验所能起的作用也是很有限的，特别是在大雷诺数的情况下，计算量之大使得即使是大尺度精确模拟也不可能，只能借助于大涡模拟等一些特定模式。

必然存在的误差也反映了数值实验的局限性。即使不考虑建立模型本身时的误差，数值实验也不可避免地存在着截断误差和舍入误差。数值运算如积分、求导、级数求和等极限过程，都是强制性近似的，无限多位的实数是通过有限位的截尾数来近似的。已有的相同数学模型采用不同算法或在不同机器上运行得到定性相异结果的报道表明，数值实验结果同计算方法和工具有关。斯帕罗 (Sparrow) 在对洛伦茨方程的系统研究中，谨慎地将大多数数值实验在不同的计算机上用不同的算法进行，这对于克服误差产生的局限无疑是必要的，但仍不是充分的。

数值实验的局限性还表现在对计算工具有相应的技术要求，如运算速度、存储容量、机器字长、绘图设备等，因而一些令人感兴趣的数值实验，如奇怪吸引子随参数或初值变化的动态显示，实施时仍有相当困难。

数值实验的有限性也是一种局限。除上述精度的有限性外，其实验范围也是有限的。当数学模型中变量取值范围为无限时，数值实验便缺乏稳固的基础。例如数值实验出现了混沌的时间历程时，并无充分的理由排除这种非周期的时间历程可能仅是某周期很长的周期时间历程的一部分。数值实验往往不得不假设在一定条件下，有限的部分能够表明无限的整体的特征。

最后，数值实验归根结底是个案研究，它的结果实质上是一种特定方程针对其特定参数和初、边值条件的解。即使没有上述诸局限，它也仅能证明一般性的理论结果，而不能证实。相当多的数学家对兰福德等人发展的计算机辅助证明持保留态度并非全无道理。由此也可知，在数值实验蓬勃发展的近20多年中，动态系统和奇异性等拓扑和几何的定性理论也有重大进展并广泛应用于各类具体问题，绝不仅是时间上的巧合，这恰是对数值实验局限性的一种补救。

倍周期分叉：当某个参数在某个临界值下时，系统的极限值分别取不同的确定值，比如说

2个，然后随着参数增加时，系统的极限值变成去加倍个数的不同确定值，比如4个，为上面的2倍 混沌：指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性即不可重复和不可预测

(1)随机性：体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性．例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、初始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性。这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在。

(2)敏感性：系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的。时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性。这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。气象学家洛仑兹提出的所谓"蝴蝶效应"就是对这种敏感性的突出而形象的说明。

(3)分维性：混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。例如Koch雪花曲线的分维数是126；描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是206体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构。

(4)普适性：当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义。其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。这类系统都与费根鲍姆常数相联系。这是一个重要的普适常数δ=4．669201609l0299097…

(5)标度律：混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域。只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质。例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性。

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