有12个小球,其中只有一个与其他11个不一样重请问用天平如何称3次并找出这个球

第一步：12分3份，任两份放在天平上，两种可能：

（一）平衡，0在剩下的4个里

（二）不平，0在天平两边的8个里

第二步：

若是（一）把4分2份，仅拿其中一份即2个放上天平左边，在8个里任拿2个放天平另一边，两种可能：

（1）若平，剩下2个有一个是0，任取其中一个与一个称，即可找到0

（2）若不平，左边2个有一个是0，推理同上。

若是（二）比较麻烦，最好找支笔画图更容易理解

先给这8个标序号，左边是1234，右边5678。0有可能是12345678中任一个，还有假设左边重（假设任何一边重都对推出的结果没影响），

把678拿下来，把34和两个（除了标号的8个，有4个是）移到右边，把5和一个好球移到左边，这样两边都有四个，

原来：左1234，右5678

现在：左125，右34

出现两种可能：

（1）平，12345是，0在678中，任取其中两个放在天平两边称，

A、平衡则剩下的那个是0；

B、不平则是轻的是0，因为678原来都在天平右边，是轻的；1234都是，重的。

（2）不平，678是，0在12345中，也两种可能：

A、继续是左边重，移动过位置的345，0在12中，易推出0

B、变成是右边重了的话，没有移动过的12是，0在345中，

将34放天平两边，一目了然。

（A）如果平衡，5就是0，

（B）如果不平，重的那个是0（结合移动前后的变化，易推）

第三步都包含在以上分析中，所以称3次绝对可以找到0

好艰难，我在尽最大努力解析明白，希望大家都能看得懂。

若有更简单更快的方法，希望跟帖，共同讨论！

1 其实这就是一个搜索的算法

天平称小球问题有很多经典的范式解法，在这里我们谈论着只是其中最为广泛应用的一种——三进制编码解法。

为什么想起了使用三进制？其实很好理解。让我们考虑一下小球的状态，有：没放在天平上、在天平左盘、在天平右盘三种。我们不妨用一些数码来表示这三种状态:

0——没放在天平上

1——放在天平左盘

2——放在天平右盘

这样，我们就可以用一个数码串来表示某个小球被称量的过程，比如某个小球的编码是210120，就表明这个小球，第一次称量在右盘，第二次在左盘，第三次不在天平上，第四次在左盘，第五次在右盘，第六次不在天平上。很简单吧，仅仅用一个数码串就把小球复杂的称量过程表示出来了。

为了方便说明，下面都以“12小球称3次”来描述这个问题，不过，你很容易就能够推广到“M个小球称N次的情形”。好，闲言少叙，书归正传。

假设我们已经把12个小球编上不重复的3进制编码，称量的时候我们完全按照编码 *** 作，第0步，我们把12个小球上的编码第0位为1的放在天平左边，编码第 0位为2的放在天平的右边，编码第0位为0的则不放在天平上，记下称量结果；第1步，我们把12个小球上的编码第1位为1的放在天平左边，编码第1位为2 的放在天平的右边，编码第0位为1的不放在天平上，记下称量结果；如此下去，编码有N位，我们就称量N次，得到N组结果。

考察一下结果的状态：天平平衡、天平左边轻于右边、天平左边重于右边。咦？怎么也是3种。（hia hia，无巧不成书嘛，好戏还在后面）我们用0来表示天平平衡，用1天平左边轻于右边，用2天平左边重于右边；这样，称量了N次，我们就得到了一个N位的结果编码，它也是三进制编码。注意：这个编码有可能和某个小球的编码相同呢！：）

你似乎隐隐约约已经意识到了什么了吧。好，现在就把问题挑明：得到的结果编码，和非标准小球的编码一样，或者有直接的对应关系。（这个关系是什么？往下看）

如果我们确定了一组小球的称量方法（对应于12个小球的3进制编码），现在反过来考虑，原来某一步放天平左盘的小球现在放在天平右盘，原来放天平左盘的小球现在放在天平右盘，原来没放在天平上的小球应然不放在天平上。那么这样得到的小球编码（也是12个）和原来的重复吗？显然不重复，我们把由这种对应关系得到的编码叫做对偶码(这里下个定义：把编码中的每一位数码，1换成2，2换成1，0不变，得到新编码叫做原编码的对偶码。如22102的对偶码是 11201，或者说22101和11201互为对偶码)。这时候，你会考虑这样一个问题了——3位的3进制编码有多少个？答案是有3^3=27个（记做 3^N），比上面提到的24个编码还多3个。为什么要研究这个对称码？因为我们把A,B,C,D球放在左盘，把A’,B’,C’,D‘球放到右盘——与我们把A’,B’,C’,D‘球放在左盘，把A,B,C,D球放到右盘，其称量意义是一样的，得到结果是一样的，我们要避免这种重复 *** 作。所以说，实现这种算法，很重要的一点是选码——在互为一对对偶码的编码中选择一个来给小球编号。

到这里，我想你一定猜出来了——27比上面的24个编码多出的3个是什么码？他们是000，111，222。000和自身为对偶码，111和222互为对偶码。为什么要去掉他们3个？我想还是不放在这里说明了，要解决这个问题你得看看后面的数学证明先！

于是，我们得出结论：如果正确选择了一组3进制码，分别用来给小球编号，那么严格按照小球编码的称量过程得到的结果代码，必然是非标准球的代码，或者是他的对偶码。（由于我们给小球的编码中，任意两个小球的编码不互为对偶码，所以，我们的称量 *** 作唯一确定了非标准小球）此结论的证明方法过于繁复（我用 word打了4页），所以放在文后供打包下载。

下面说说程序实现编码的具体过程。

参考上图，我们首先取得用一个code数组来存放编码，为了节省空间，在我的程序里code数组存放的是十进制编码，我用 GetTheBallnum2Code()和GetTheBallcode2Num()来实现三进制和十进制之间的相互转换。我们首先把编码全部存入数组，然后去掉000,111,222这三个编码，然后再剩余的编码中再删掉一半，得到的12个编码标记给小球就行了。对于1开头的编码我们选择的是比 111大的所有编码，对于2开头的编码，我们划去“1开头我们选的那部分编码”的对偶码，对于0开头的编码，我们选择的是从左向右的编码位中，第一个不为 0的数码是1的编码（此处酷似好难理解，其实第一个不为0的数码不是1就是2，我们删掉了是2的那一半）。

好了，数数看，看好删了一半剩了一半。按照上图的编码方式，经过 *** 作得到的结果码，如果在小球编码中，那个编码的小球就是非标准球，且比标准球轻。如果结果码不在小球编码中，那么结果码是非标准球的对偶码，非标准球比标准球重。

把12个球编成1，212号，则可设计下面的称法：

左盘 右盘

第一次 1，5，6，12 2，3，7，11

第二次 2，4，6，10 1，3，8，12

第三次 3，4，5，11 1，2，9，10

每次都可能有平、左重、右重三种结果，搭配起来共有27种结果，但平、平、平的结果不会出现，因为总有一个球是不相等的。同样左、左、左，右、右、右的结果也不回出现，因为根据设计的称法，没有一个球是三次都在左边或右边的。剩下的24种结果就可以判断出哪种情况是哪一个球了。例如：如果结果是平、平、左或是平、平、右，就可判断出是9号球，因为第一次与第二次都没有9号球，唯独第三次有9号球，而第一次与第二次都是平的，只有第三次是失衡的，说明9号球的重量与其它的球不同。可依据此原理判断出其它的各种情况分别是哪个球。

最少一次。

分析：有9个球和一个天平，有一球稍轻，每边放4个球，还剩1个球，假设天平是平衡的，所以剩下的那个就是轻的，最少一次。

乘法：

①求几个几是多少；

②求一个数的几倍是多少；

③求物体面积、体积；

④求一个数的几分之几或百分之几是多少。

除法：

①把一个数平均分成若干份，求其中的一份；

②求一个数里有几个另一个数；

③已知一个数的几分之几或百分之几是多少求这个数；

④求一个数是另一个数的几倍。

先把小球分成A、B、C、D四组，每组三个球。 选择A组和B组称量一次，再选C组和D组称量一次，这样就可以选出一组和其他组重量不一样的，这时也知道了那个重量不一样的小球比别的小球是轻是重。 取出选出这一组的三个小球，分别标为E、F、G， 先选择E球和F球称量一下，如果重量一样，那么G球就是所求， 如果重量不一样，依据先前得知不一样的小球是轻是重，按称量结果选择E球或F球。 追问： 天平 没刻度 回答： 没有刻度不是应该知道天枰往那边偏吗？ 追问： 哪边偏也不能知道那个球是轻是重啊 回答： 先把小球分成A、B、C、D四组，每组三个球。 选择A组和B组称量一次，如果相同就随便拿一个跟C称，如果也想同，那么D就是有问题的。如果A组和B组称量一次不同，那么随便拿一组与C称，就知道A组或者B组哪个有问题了，这样按照下面的方面就能得到结论。 追问： 像第一种情况，如果说D是有问题的，但是已经用了2次机会，但是D有3个球不知道轻重还是量不出来，我估计这个题目有问题，应该量不出来

从8个球中任意取2组3个球放在天平上称,

如果重量相等,那么重的球必然在余下的2个球中,故将那个2个球放在天平上称即可;

如果有一边重,那么重的球必然在这一边的3个球里,

再从这3个球中任意取2个出来称,

如果一样重,那么重的球就是余下的那个球,

如果一边更重,则便是这个球了

采用二分法来求出其中最多的球数。

因为已知“坏球”是较轻的，因此采用三分法效率最高。

即1到3球需1次；4到9球需2次；10到27球需3次。

则关系式有：

Y=3的X次方。

或表示成X=Log3底Y。

乘法的计算法则：

数位对齐，从右边起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐。

一个乘数互补，另一个乘数数字相同的速算技巧。

这类速算的计算口诀是这样的，一个头加1后，头乘头，尾乘尾。请看下面的例子。

2744=2+1=334=1274=282744=1228

方法几种。至少可以：

先每4个为一份，分三份，任意两份用天平称，若平衡，则轻球必在剩余那份；再将剩余4个分两份，轻的一边必有轻球，再将轻的一边的两球各自放到天平两边，就找出轻球了。若第一次称就不平衡，则轻球一定在轻的一边，再按照后续相同方法即可找出轻球。

还可先每6个为一份，轻的一份必有轻球，然后将轻的6个分两份，轻的三个中必有轻球，最后各放一个，若平衡，则轻球为没有称到的那个，若不平衡，轻的那边必定就是轻球。

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