什么是有限域,什么是有限域请举一例

1.有限域是仅含有限多个元素的域。

2.它第一由E.伽罗瓦所发现，因而又称为伽罗瓦域。

3.它和有理数域、实数域比较，有着许多不同的性质。

4.定理：有限域的阶是一个素数的方幂。

5.对于每个素数p和每个正整数居同构的意义下存在惟一的pn阶的有限域，并且所有元素都是方程的根。

6.有限域的乘法群是循环群。

7.有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张。

8.有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。

由有限个元组成的域称为有限域,又称为伽罗瓦域

整数模p的剩余类环 是一个有p个元的有限域

显然,任一有限域F包含的素域一定是 ,而不可能是

F是 的一个有限扩张,因而 ,F可看作 上的一个n维向量空间

设 是F在 上的一组基,则F中每个元可唯一表成

F中恰有 个元

定理：任一有限域的元个数为素数方幂,即任一有限域的特征一定是素数,若特征是p,则这个有限域是 的有限扩张,若扩张次数为n,则这个有限域的元个数为

注： 或 表示含有q个元的有限域,其中q一定是素数的方幂

例：

1. 是 中的2次不可约多项式,故 是一个含有4个元的域

以 表示 的一个根,则 中四个元为

上的加法运算表为

上的乘法运算表为

2.设 , 在 上没有根,故 是 上的不可约多项式

是一个含有9个元的域

以 表示 的一个根,则 中9个元为

由多项式环 中模 的剩余类环 的运算法则,可得 的加法运算表和乘法运算表

如

设 是有q个元的有限域,其中 是一个素数方幂

的全体非零元组成一个阶为 的乘法群,故 的任一非零元是 的根

即 的q个元都是 的根

,故 没有重根

即 在 上的分裂域

一定存在,且在同构意义下唯一

定理： ,含有 个元的域一定存在,且在同构意义下唯一

注：有限域 的非零元组成的 阶乘法群 一定是一个循环群

例：

1. 是 中的2次不可约多项式,以 表示 的一个根

是循环群, 是它的生成元

2. 是 上的不可约多项式,以 表示 的一个根

是由 生成的8阶循环群

除 外, 也都是 的生成元

共有 个生成元( 为欧拉函数)

定理：任一有限域的非零元组成的乘法群是循环群

证明：

循环群 的生成元称为 的本原元

定义：设 , 的本原元在 上的极小多项式称为 上的(n次)本原多项式

定理：设 ,有限域 是其素域 的单扩张

证明：

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