【小航的算法日记】二分快速幂

【小航的算法日记】二分快速幂

目录

一、概念二、模板三、例题

题：50. Pow(x, n)解：题：372. 超级次方解：题：343. 整数拆分题：1969. 数组元素的最小非零乘积题：1808. 好因子的最大数目
内容摘自英雄哥，以下为Java版

一、概念

二分快速幂

二、模板

请看例题2

三、例题 题：50. Pow(x, n)

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，xn ）。

示例 1：

输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000

示例 2：

输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100

示例 3：

输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

提示：

-100.0 < x < 100.0
-231 <= n <= 231-1
-104 <= xn <= 104	

解：

解题思路：快速幂

快速幂（二进制解析）：

对于一个任何十进制正整数 n ，设其二进制为：“bm…b2b1”

二进制转十进制：
n = 2 0 ∗ b 1 + 2 1 ∗ b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 m − 1 ∗ b m n=2^0*b_1+2^1*b_2+cdot cdot cdot +2^{m-1}*b_m n=20∗b1​+21∗b2​+⋅⋅⋅+2m−1∗bm​幂的二进制展开：
x n = x 2 0 ∗ b 1 + 2 1 ∗ b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 m − 1 ∗ b m = x 2 0 ∗ b 1 x 2 1 ∗ b 2 ⋅ ⋅ ⋅ x 2 m − 1 x^n=x^{2^0*b_1+2^1*b_2+cdot cdot cdot +2^{m-1}*b_m}=x^{2^0*b_1}x^{2^1*b_2}cdot cdot cdot x^{2^{m-1}} xn=x20∗b1​+21∗b2​+⋅⋅⋅+2m−1∗bm​=x20∗b1​x21∗b2​⋅⋅⋅x2m−1

---

快速幂(二分推导)：
x n = { ( x 2 ) n / 2 ,   n 为偶数 x ( x 2 ) n / 2 ,   n 为奇数 x^n=left{ begin{array}{l} left( x^2 right) ^{n/2}, ntext{为偶数}\ xleft( x^2 right) ^{n/2}, ntext{为奇数}\ end{array} right. xn={(x2)n/2, n为偶数x(x2)n/2, n为奇数​

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AC代码：

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if(x == 0.0f) return 0.0d; // 底数为0
        long b = n; // 防止负数转正数溢出
        if(b < 0) {
            b = -b;
            x = 1/x;
        }
        double res = 1.0;
        while(b > 0) {
            if((b & 1) != 0) res *= x;
            x *= x;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }
}

题：372. 超级次方

你的任务是计算 ab 对 1337 取模，a 是一个正整数，b 是一个非常大的正整数且会以数组形式给出。

示例 1：

输入：a = 2, b = [3]
输出：8

示例 2：

输入：a = 2, b = [1,0]
输出：1024

示例 3：

输入：a = 1, b = [4,3,3,8,5,2]
输出：1

示例 4：

输入：a = 2147483647, b = [2,0,0]
输出：1198

提示：

1 <= a <= 231 - 1
1 <= b.length <= 2000
0 <= b[i] <= 9
b 不含前导 0

解：

解题思路：快速幂

例子：

aK = 99234599K = 99234*10+599234*10+5 = 99234*10 * 99599234*10 * 995 = (99234)10 * 995

AC代码：

class Solution {
    int MOD = 1337;
    public int superPow(int a, int[] b) {
        return dfs(a, b, b.length - 1);
    }
    int dfs(int a, int[] b, int u) {
        if(u == -1) return 1;
        return qpow(dfs(a, b, u - 1), 10) * qpow(a, b[u]) % MOD;
    }
    // 快速幂
    int qpow(int a, int b) {
        int ans = 1;
        a %= MOD;
        while(b > 0) {
            if((b & 1) != 0) ans = ans * a % MOD;
            a = a * a % MOD;
            b >>= 1;
        }
        return ans;
    }
}

题：343. 整数拆分 题：1969. 数组元素的最小非零乘积 题：1808. 好因子的最大数目