《博弈论》

本书是“博弈论之父”冯·诺依曼的代表作，囊括了迄今为止除演化博弈之外的所有博弈论的理论和方法，代表了博弈论发展的高阶水平。

《博弈论》一书既包含了博弈数学理论的细致说明，又包含了该理论多方面的应用与实践。书中用丰富详实的案例，介绍了零和博弈、三人博弈、混合策略、囚徒困境等经典的博弈理论，每个博弈案例背后，都有一个可以运用的策略帮你解决人生难题。

在变幻莫测的局势中，怎样找到合适的合伙人？怎样合理分配利益让各方达到均衡？怎样摸清对手的意图？《博弈论》将带领读者走进博弈的赛局中，开始一场特殊的“博弈”之旅。

作者简介：

约翰·冯·诺依曼，美籍匈牙利数学家、计算机科学家、物理学家，是20世纪最杰出的科学全才之一。1926年获得博士学位后，他先后执教于柏林大学和汉堡大学，在1930年前往美国，不到30岁就成为普林斯顿高等研究院的终身教授。第二次世界大战期间，他担任了第一颗原子d的研制的顾问，还参与电子计算机研制工作。因为在计算机设计上的卓越贡献，冯·诺依曼被誉为“计算机之父”。

作为20世纪最重要的数学家之一，1928年，冯·诺依曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的诞生。16年后，冯·诺依曼又与摩根斯特恩合著《博弈论和经济行为》，将博弈论的应用扩展到经济学领域，这让他又成为了数理经济学的奠基人。

你将获得：

通过日常生活中的案例，了解什么是博弈论，用博弈论知识武装自己。

学习博弈论的理论和思维方式，透过现象看本质，更快识破事态格局。

运用博弈论方法，掌握先发优势，化被动为主动，在竞争中立于不败之地。

应用相当多。

1、商战中的应用。如同类型产品如何定价，AB公司都会考虑到降价促销对公司的影响，以及对对方策略的影响，如果双方都选择不断降价，最终将会导致整个市场利润崩盘，而全都亏损，所以，如果公司决策者头脑够好，一定会使用博弈论选择一个最优策略保证自己的利益。

2、生活中的应用

如简单的饭店选择，同在一条小吃街上，一个饭店特别火，而另一个饭店人特别冷清。如果你稍微有些博弈论的理念或生活常识就会知道，一定要去火的那家饭店。这与从众心理有一丝丝关系，但更重要的是，同在大街上，如果俩家饭店都差不多，那人数应该大体一致，但既然一家特火爆，一家特冷清，那小心了，那就的饭一定相当难吃，不要抱着他是新开的饭店的想法。

这就是消费者在吃饭中重复博弈导致的最终都选择火爆饭店的结果。

博弈论又被称为对策论（Games Theory),是研究具有斗争或竞争性 质现象的理论和方法，它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。

博弈论思想古已有之，我国古代的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论专著。博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上,没有向理论化发展，正式发展成一门学科则是在20世纪初。1928年冯·诺意曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。1944年，冯·诺意曼和摩根斯坦共著的划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体系。谈到博弈论就不能忽略博弈论天才纳什，纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。 此外，塞尔顿、哈桑尼的研究也对博弈论发展起到推动作用。今天博弈论已发展成一门较完善的的学科。

博弈要素

(1)局中人：在一场竞赛或博弈中，每一个有决策权的参与者成为一个局中人。只有两个局中人的博弈现象称为“两人博弈”,而多于两个局中人的博弈称为 “多人博弈”。

(2)策略：一局博弈中，每个局中人都有选择实际可行的完整的行动方案，即方案不是某阶段的行动方案，而是指导整个行动的一个方案，一个局中人的一个可行的自始至终全局筹划的一个行动方案，称为这个局中人的一个策略。如果在一个博弈中局中人都总共有有限个策略，则称为“有限博弈”，否则称为“无限博弈”。

(3)得失：一局博弈结局时的结果称为得失。每个局中人在一局博弈结束时的得失，不仅与该局中人自身所选择的策略有关，而且与全局中人所取定的一组策略有关。所以，一局博弈结束时每个局中人的“得失”是全体局中人所取定的一组策略的函数，通常称为支付（payoff）函数。

(4)对于博弈参与者来说，存在着一博弈结果

(5)博弈涉及到均衡：均衡是平衡的意思，在经济学中，均衡意即相关量处于稳定值。在供求关系中，某一商品市场如果在某一价格下，想以此价格买此商品的人均能买到，而想卖的人均能卖出，此时我们就说，该商品的供求达到了均衡。所谓纳什均衡，它是一稳定的博弈结果。

纳什均衡(Nash Equilibrium)：在一策略组合中，所有的参与者面临这样一种情况，当其他人不改变策略时，他此时的策略是最好的。也就是说，此时如果他改变策略他的支付将会降低。在纳什均衡点上，每一个理性的参与者都不会有单独改变策略的冲动。纳什均衡点存在性证明的前提是“博弈均衡偶”概念的提出。所谓“均衡偶”是在二人零和博弈中，当局中人A采取其最优策略a,局中人B也采取其最优策略b,如果局中人仍采取b,而局中人A却采取另一种策略a，那么局中人A的支付不会超过他采取原来的策略a的支付。这一结果对局中人B亦是如此。

这样，“均衡偶”的明确定义为：一对策略a(属于策略集A)和策略b（属于策略集B）称之为均衡偶，对任一策略a(属于策略集A)和策略b（属于策略集B），总有：偶对（a, b）≤偶对(a,b)≤偶对（a，b）。

对于非零和博弈也有如下定义：一对策略a（属于策略集A）和策略b（属于策略集B）称为非零和博弈的均衡偶，对任一策略a(属于策略集A）和策略b（属于策略集B），总有：对局中人A的偶对（a, b） ≤偶对(a,b);对局中人B的偶对（a，b）≤偶对(a,b)。

有了上述定义，就立即得到纳什定理：

任何具有有限纯策略的二人博弈至少有一个均衡偶。这一均衡偶就称为纳什均衡点。

纳什定理的严格证明要用到不动点理论，不动点理论是经济均衡研究的主要工具。通俗地说，寻找均衡点的存在性等价于找到博弈的不动点。

纳什均衡点概念提供了一种非常重要的分析手段，使博弈论研究可以在一个博弈结构里寻找比较有意义的结果。

但纳什均衡点定义只局限于任何局中人不想单方面变换策略，而忽视了其他局中人改变策略的可能性，因此，在很多情况下，纳什均衡点的结论缺乏说服力，研究者们形象地称之为“天真可爱的纳什均衡点”。

塞尔顿（R·Selten)在多个均衡中剔除一些按照一定规则不合理的均衡点，从而形成了两个均衡的精炼概念：子博弈完全均衡和颤抖的手完美均衡。

博弈的类型

(1)合作博弈——研究人们达成合作时如何分配合作得到的收益，即收益分配问题。

(2)非合作博弈——研究人们在利益相互影响的局势中如何选决策使自己的收益最大，即策略选择问题。

(3)完全信息不完全信息博弈：参与者对所有参与者的策略空间及策略组合下的支付有充了解称为完全信息；反之，则称为不完全信息。

(4)静态博弈和动态博弈

静态博弈：指参与者同时采取行动，或者尽管有先后顺序，但后行动者不知道先行动者的策略。

动态博弈：指双方的的行动有先后顺序并且后行动者可以知道先行动者的策略。

财产分配问题和夏普里值（Shapley value）

考虑这样一个合作博弈：a、b、c、投票决定如何分配100万，他们分别拥有50％、40％、10％的权力，规则规定，当超过50%的票认可了某种方案时才能通过。那么如何分配才是合理的呢按票力分配，a50万、b40万、c10万c向a提出：a70万、b0、c30万b向a提出：a80万、b20万、c0……

权力指数：每个决策者在决策时的权力体现在他在形成的获胜联盟中的“关键加入者”的个数，这个“关键加入者”的个数就被称为权利指数。

夏普里值：在各种可能的联盟次序下，参与者对联盟的边际贡献之和除以各种可能的联盟组合。

博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。

博弈要素：(1)决策人：在博弈中率先作出决策的一方，这一方往往依据自身的感受、经验和表面状态优先采取一种有方向性的行动。

(2) 对抗者：在博弈二人对局中行动滞后的那个人，与决策人要作出基本反面的决定，并且他的动作是滞后的、默认的、被动的，但最终占优。他的策略可能依赖于决策人劣势的策略选择，占去空间特性，因此对抗是唯一占优的方式，实为***的阶段性终结行为。

博弈论又名“对策论”，是用数学方法量化研究生活中的一些斗争问题的方法。博弈论作为一门从日常生活中的问题拓展出的学科，不仅具有理论意义，对于日常生活中一些带有“斗争”性质的问题也具有指导作用。下面来看看在moba类游戏中，如何运用博弈论的知识做出关键决策。

假设你在玩《王者荣耀》时，遇到了这样一种情况：

你是一名打野玩家，当游戏进行到五分钟左右时，由于某些原因，你的发育不如对面的打野玩家，你的上路和中路为优势路，下路双人组为劣势路。此时，你是选择去gank上路、中路、还是下路，还是继续刷野？如何选择才能为团队带来更大优势？

要用博弈论解决这个问题，首先要用数学模型对游戏中的问题进行简化。

假设我方打野的战力为1，上中战力为2，下路双人组的战力为AD1+辅助1=2；对方打野战力为2，上中战力为1，下路双人组战力为AD2+辅助1=3。击杀某个英雄的收益与此英雄的战力成正比。

如果你去抓上路，没有碰到对面打野，那么对战即为：1+2vs1，结果是杀掉对面的上路，我方收益为1，敌方收益为-1；

如果在上路遭到了对面打野反蹲，则对战形式为：1+2vs2+1，结果是四人全部互换，我方收益为0，敌方收益也为0；

如果去抓下路，对方打野没有抓下路，则对战形式为：1+1+1vs2+1，结果是五人全部互换，我方收益为0，敌方收益为0；

如果在下路与对方打野遭遇，则对战形式为：1+1+1vs2+2+1，结果是我方三人全部阵亡，并换掉对方辅助，我方收益为-2，对方收益为+2；

对于对面打野来说，如果对面打野选择抓上，而己方打野不在，则对战形式为：2vs2+1，结果是我方上路与对方上路互换，我方收益为-1，对方收益为+1；

如果对面大野抓下，而自己不在下路，那么对战形式为：1+1vs2+2+1，结果是我方下路双人组被击杀，我方收益为-2，对方收益为+2。

如果选择不gank，那么收益为0

将我方做出的各种选择与对方打野做出的各种选择进行排列组合，双方得到的总收益为双方在不同路导致的双方收益的代数和。用图表表示结果：

图中打“√”的两个点为纳什均衡点。从图中可知，我方的最优策略是gank中路或gank上路；敌方打野的最优策略是gank下路。

通过以上的计算，我们得出了这个结论：面对文章开头所说的这种游戏中的情况，无论对方打野采取怎样的行动，自己总应该去gank优势的上路或中路才能获得更大的收益；而对于对方的打野来说，永远都是去帮忙下路这个优势路才能获得更大收益。

这间接印证了电竞圈里对于打野玩法的一句话“帮优不帮劣”，就是说打野的正确玩法是要多帮优势路，少帮劣势路。

那么，除了本文中所陈述的这种情况意外，在其他情况下，“帮优不帮劣”这句话也适用吗？答案是肯定的，无论三条路的优劣形式是什么样的，采用上文所述的方法验证，得到的结果总是应该去帮优势路。

但是在我们现实生活中的实际 *** 作情况下，每场大小团战的胜利因素往往没有数学模型那么简单，其结果往往会受到其他因素的影响，比如说 *** 作水平、打小龙刷新、地图资源以及buff的争夺等等。理论对实践具有指导作用，但不是决定实践结果的唯一因素。

博弈论讲的是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。

博弈论（game theory）又称为对策论，原是一种数学的运筹学方法，20世纪40年代被应用到经济学中，用来分析经济和贸易竞争。20世纪50年代以后，博弈论被广泛的应用到国际政治的研究领域中。

最常见的国际政治博弈论模型有“懦夫游戏”（chicken game）、“囚徒困境”、“针对不平等的威胁对策”和“协调对弈”等。在西方学者看来，博弈论模型能够为他们提供一种借以分析国家间安全问题和经济问题的方法。

理论历史：

博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。博弈论思想古已有之，中国古代的《孙子兵法》等著作就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论著作。

博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上，没有向理论化发展。

博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。近代对于博弈论的研究，开始于策梅洛（Zermelo），波莱尔（Borel）及冯诺依曼（von Neumann）。

1928年，冯诺依曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。1944年，冯诺依曼和摩根斯坦共著的划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统地应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体系。

第1节 什么是博弈论：从“囚徒困境”说起

一天，警局接到报案，一位富翁被杀死在自己的别墅中，家中的财物也被洗劫一空。经过多方调查，警方最终将嫌疑人锁定在杰克和亚当身上，因为事发当晚有人看到他们两个神色慌张地从被害人的家中跑出来。警方到两人的家中进行搜查，结果发现了一部分被害人家中失窃的财物，于是将二人作为谋杀和盗窃嫌疑人拘留。

但是到了拘留所里面，两人都矢口否认自己杀过人，他们辩称自己只是路过那里，想进去偷点东西，结果进去的时候发现主人已经被人杀死了，于是他们便随便拿了点东西就走了。这样的解释不能让人信服，再说，谁都知道在判刑方面杀人要比盗窃严重得多。警察决定将两人隔离审讯。

隔离审讯的时候，警察告诉杰克：“尽管你们不承认，但是我知道人就是你们两个杀的，事情早晚会水落石出的。现在我给你一个坦白的机会，如果你坦白了，亚当拒不承认，那你就是主动自首，同时协助警方破案，你将被立即释放，亚当则要坐10年牢；如果你们都坦白了，每人坐8年牢；都不坦白的话，可能以入室盗窃罪判你们每人1年，如何选择你自己想一想吧。”同样的话，警察也说给了亚当。

一般人可能认为杰克和亚当都会选择不坦白，这样他们只能以入室盗窃的罪名被判刑，每人只需坐1年牢。这对于两人来说是最好的一种结局。可结果会是这样的吗？答案是否定的，两人都选择了招供，结果各被判了8年。

事情为什么会这样呢？杰克和亚当为什么会做出这样“不理智”的选择呢？其实这种结果正是两人的理智造成的。我们先看一下两人坦白与否及其结局的矩阵图：

当警察把坦白与否的后果告诉杰克的时候，杰克心中就会开始盘算坦白对自己有利，还是不坦白对自己有利。杰克会想，如果选择坦白，要么当即释放，要么同亚当一起坐8年牢；要是选择不坦白，虽然可能只坐1年牢，但也可能坐10年牢。虽然（1，1）对两人而言是最好的一种结局，但是由于是被分开审讯，信息不通，所以谁也没法保证对方是否会选择坦白。选择坦白的结局是8年或者0年，选择不坦白的结局是10年或者1年，在不知道对方选择的情况下，选择坦白对自己来说是一种优势策略。于是，杰克会选择坦白。同时，亚当也会这样想。最终的结局便是两个人都选择坦白，每人都要坐8年牢。

上面这个案例就是著名的“囚徒困境”模式，是博弈论中最出名的一个模式。为什么杰克和亚当都选择了对自己最有利的策略，最后得到的却是最差的结果呢？这其中便蕴涵着博弈论的道理。

博弈论是指双方或者多方在竞争、合作、冲突等情况下，充分了解各方信息，并依此选择一种能为本方争取最大利益的最优决策的理论。

“囚徒困境”中杰克和亚当便是参与博弈的双方，也称为博弈参与者。两人之所以陷入困境，是因为他们没有选择对两人来说最优的决策，也就是同时不坦白。而根本原因则是两人被隔离审讯，无法掌握对方的信息。所以，看似每个人都做出了对自己最有利的策略，结果却是两败俱伤。

我们身边的很多事情和典故中也有博弈论的应用，我们就用大家比较熟悉的“田忌赛马”这个故事来解释一下什么是博弈论。

齐国大将田忌，平日里喜欢与贵族赛马赌钱。当时赛马的规矩是每一方出上等马、中等马、下等马各一匹，共赛三场，三局两胜制。由于田忌的马比贵族们的马略逊一筹，所以十赌九输。当时孙膑在田忌的府中做客，经常见田忌同贵族们赛马，对赛马的比赛规则和双方马的实力差距都比较了解。这天田忌赛马又输了，非常沮丧地回到府中。孙膑见状，便对田忌说：“明天你尽管同那些贵族们下大赌注，我保证让你把以前输的全赢回来。”田忌相信了孙膑，第二天约贵族赛马，并下了千金赌注。

孙膑为什么敢打保证呢？因为他对这场赛马的博弈做了分析：双方都派上等、中等、下等马各一匹，田忌每一等级的马都比对方同一等级的马慢一点，因为没有规定出场顺序，所以比赛的对阵形式可能有六种，每一种对阵形式的结局是很容易猜测的：

第一种情况：上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马。结局：三局零胜。第二种情况：上等马对上等马，下等马对中等马，中等马对下等马。结局：三局一胜。

第三种情况：中等马对上等马，上等马对中等马，下等马对下等马。结局：三局一胜。

第四种情况：中等马对上等马，下等马对中等马，上等马对下等马。结局：三局一胜。

第五种情况：下等马对上等马，上等马对中等马，中等马对下等马。结局：三局两胜。

第六种情况：下等马对上等马，中等马对中等马，上等马对下等马。结局：三局一胜。

六种对阵形式中，只有一种能使田忌取胜，孙膑采取的正是这一种。赛前孙膑对田忌说：“你用自己的下等马去对阵他的上等马，然后用上等马去对阵他的中等马，最后用中等马去对阵他的下等马。”比赛结束之后，田忌三局两胜，赢得了比赛。田忌从此对孙膑刮目相看，并将他推荐给了齐威王。同样的马，只是调整了出场顺序，便取得截然相反的结果。这里边蕴涵着博弈论的道理。

在田忌赛马这个故事中，田忌同齐国的贵族便是博弈的双方，也称为博弈的参与者。孙膑充分了解了各方的信息，也就是比赛的规则与各匹马之间的实力差距，并在六种可以选择的策略中帮田忌选择了一个能争取最大利益的策略，也就是最优策略。所以说，这是一个很典型的博弈论在实际中应用的例子。

在这里还要区分一下博弈与博弈论的概念，以免搞混。它们既有共同点，又有很大的差别。“博弈”的字面意思是指赌博和下围棋，用来比喻为了利益进行竞争。自从人类存在的那一天开始，博弈便存在，我们身边也无时无刻不在上演着一场场博弈。而博弈论则是一种系统的理论，属于应用数学的一个分支。可以说博弈中体现着博弈论的思想，是博弈论在现实中的体现。

博弈作为一种争取利益的竞争，始终伴随着人类的发展。但是博弈论作为一门科学理论，是1928年由美籍匈牙利数学家约翰·冯·诺依曼建立起来的。他同时也是计算机的发明者，计算机在发明最初不过是庞大、笨重的算数器，但是今天已经深深影响到了我们生活、工作的各个方面。博弈论也是如此，最初冯·诺依曼证明了博弈论基本原理的时候，它只不过是一个数学理论，对现实生活影响甚微，所以没有引起人们的注意。直到1944年，冯·诺依曼与摩根斯坦合著的《博弈论与经济行为》发行出版。这本书的面世意义重大，先前冯·诺依曼的博弈理论主要研究二人博弈，这本书将研究范围推广到多人博弈；同时，还将博弈论从一种单纯的理论应用于经济领域。在经济领域的应用，奠定了博弈论发展为一门学科的基础和理论体系。

谈到博弈论的发展，就不能不提到约翰·福布斯·纳什。这是一位传奇的人物，他于1950年写出了论文《n人博弈中的均衡点》，当时年仅22岁。第二年他又发表了另外一篇论文《非合作博弈》。这两篇论文将博弈论的研究范围和应用领域大大推广。论文中提出的“纳什均衡”已经成为博弈论中最重要和最基础的理论。他也因此成为一代大师，并于1994年获得诺贝尔经济学奖。后面我们还会详细介绍纳什其人与“纳什均衡”理论。

经济学史上有三次伟大的革命，它们是“边际分析革命”“凯恩斯革命”和“博弈论革命”。博弈论为人们提供了一种解决问题的新方法。

博弈论发展到今天，已经成了一门比较完善的学科，应用范围也涉及各个领域。研究博弈论的经济学家获得诺贝尔经济学奖的比例是最高的，由此也可以看出博弈论的重要性和影响力。2005年的诺贝尔经济学奖又一次颁发给了研究博弈论的经济学家，瑞典皇家科学院给出的授奖理由是“他们对博弈论的分析，加深了我们对合作和冲突的理解”。

那么博弈论对我们个人的生活有什么影响呢？这种影响可以说是无处不在的。

假设，你去酒店参加一个同学的生日聚会，当天晚上他的亲人、朋友、同学、同事去了很多人，大家都玩得很高兴。可就在这时，外面突然失火，并且火势很大，无法扑灭，只能逃生。酒店里面人很多，但是安全出口只有两个。一个安全出口距离较近，但是人特别多，大家都在拥挤；另外一个安全出口人很少，但是距离相对远。如果抛开道德因素来考虑，这时你该如何选择？

这便是一个博弈论的问题。我们知道，博弈论就是在一定情况下，充分了解各方面信息，并做出最优决策的一种理论。在这个例子里，你身处火灾之中，了解到的信息就是远近共有两个安全门，以及这两个门的拥挤程度。在这里，你需要做出最优决策，也就是最有可能逃生的选择。那应该如何选择呢？

什么是博弈论？古语博弈有下棋之意，顾名思义，博弈论就好比研究“下棋”的一门学问。古语有云，世事如棋。生活中每个人如同棋手，其每一个行为如同在一张看不见的棋盘上布一个子，精明慎重的棋手们相互揣摩、相互牵制，人人争赢，下出诸多精彩纷呈、变化多端的棋局。博弈论就是研究棋手们在“出棋”中理性化、逻辑化的部分，并将其系统化为一门科学。换句话说，就是研究个体如何在错综复杂的相互影响中得出最合理的策略。

生活中处处充满博弈，人际关系的互动、绩效的评估、股市的等等，都可以用博弈论巧妙地解释。下面的两个例子是在我身边的博弈，由于本人初涉博弈，分析浅显，还望见谅。一、图书馆占座问题

我们学校的图书馆资料丰富，环境舒适，是学习的好地方。但是想要在图书馆占得一席之地却并非易事，尤其是暑假前的备考阶段，每天早上5点多图书馆门前就排起了长龙（图书馆六点半开门），稍微迟点到就发现已经没有位子了。图书馆真有那么多人吗？其实每一层都差不多只有1/3的椅子上有人，其余的座位上都充斥着书、本、包等物品，令人望“座”兴叹。

由于图书馆的座位对于每位同学来说具有非排他性，但具有竞争性，因此是一种公共资源。当对图书馆座位的“需求”增加，即考试前的备考阶段，座位就成了“稀缺”产品。因此占座现象才如此严重。

二、文印店的价格战

高校门口总少不了文印店，一个学校外面甚至开了好几家。这些文印店的价格要比其他地方便宜好多。就如我们学校门口就开了两三家家。以前打印是1毛/张，突然有一天所有的店都涨到了2毛/张，我们虽然心有不甘但也无奈。偶然的一次机会我们发现了市区有一家文印店没涨价，如果要大批量打印我们就会不辞辛苦的跑到那边去打印。这不禁让我想起了博弈论里的价格战。