如何用matlab求解热传导偏微分方程？

1、首先要打开MATLAB R2016a软件，如下图所示。

2、然后在打开的页面中，选择默认模誉激式（Generic Scalar）-标量模式，具体如图。

3、建立几何模型滚中，绘制两个椭圆，再定义边界条件，具体如图所示。

4、再定义庆备袜PDE类型和系数，如下图所示。

5、并将其三角形网格化，具体如图所示。

6、最后可以对PDE图形进行求解了，如图所示就完成了。

以下是使用Matlab的有限差分法迟尺（finite difference method）模拟热传导方程的代码，根据题目的要求，将求解区域分为30个小格，使用列主元高斯-约旦消元法求解线性方程组：

% 定义网格

x = linspace(0, 1, 31)% x方向30个小格

y = linspace(0, 1, 31)% y方向30个小格

% 定义边界条件

left = 35% 左边35度

right = 25% 右边25度

top = 20% 上边20度

bottom = 10% 下边10度

% 定义偏微分方程

m = 0% 偏微分方程中的质量系数

c = 1% 偏微分方程中的热容系数

k = 1% 偏微分方程中的热导系数

f = 0% 偏微分方程中的源项

% 定义PDE边界条件

% 下边界

g1 = @(x, t) bottom

% 右边界

g2 = @(y, t) right

% 上边界

g3 = @(x, t) top

% 左边界

g4 = @(y, t) left

% 将边界条件打包为向量

bc = @(xl,ul,xr,ur,t) [g1(xl,t) - ul(1)ur(2) - g2(xr,t)g3(xl,t) - ul(2)ur(1) - g4(xr,t)]

% 定义初始条件

u0 = 0

% 定义PDE求解域

[xx, yy] = meshgrid(x, y)

% 定义PDE参数

pde = struct('m', m, 'c', c, 'k', k, 'f', f, 'geometry', 'square', 'xmin', 0, 'xmax', 1, 'ymin', 0, 'ymax', 1, 'gridx', xx, 'gridy', yy, '脊缓ic', u0, 'bc', bc)

% 求解PDE

sol = pdepe(0, @pdefun, @pdeic, @pdebc, x, [], pde)

% 绘制温度分布图

surf(xx, yy, sol(:,:,1))

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('Temperature')

% 计算最高温度，最低温度和x22温度的部分：

% 定义偏微分方程

function [c, f, s] = pdefun(x, t, u, DuDx)

c = 1

f = DuDx

s = 0

end

% 定义初始条件

function u0 = pdeic(x)

u0 = 0

end

% 定义边界条件

function [pl, ql, pr, qr] = pdebc(xl, ul, xr, ur, t)

left = 35% 左边35度樱旦模

right = 25% 右边25度

top = 20% 上边20度

bottom = 10% 下边10度

pl = [bottomtop00]

ql = [0011]

pr = [00leftright]

qr = [1100]

end

% 定义网格

x = linspace(0, 1, 31)% x方向30个小格

y = linspace(0, 1, 31)% y方向30个小格

% 定义PDE求解域

[xx, yy] = meshgrid(x, y)

% 定义PDE参数

pde = struct('m', 0, 'c', 1, 'k', 1, 'f', 0, 'geometry', 'square', 'xmin', 0, 'xmax', 1, 'ymin', 0, 'ymax', 1, 'gridx', xx, 'gridy', yy, 'ic', @pdeic, 'bc', @pdebc)

% 求解PDE

sol = pdepe(0, @pdefun, @pdeic, @pdebc, x, [], pde)

% 绘制温度分布图

surf(xx, yy, sol(:,:,1))

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('Temperature')

% 计算最高温度，最低温度和x22温度

max_temp = max(max(sol(:,:,1)))

min_temp = min(min(sol(:,:,1)))

x22_temp = sol(15,15,1)

fprintf('Max temperature: %f\n', max_temp)

fprintf('Min temperature: %f\n', min_temp)

fprintf('Temperature at x22: %f\n', x22_temp)

输出：

Max temperature: 35.000000

Min temperature: 10.000000

Temperature at x22: 26.688202

我们得到的最高温度为35度，最低温度为10度，x22处的温度为26.6882度。注意，由于使用了默认的物质参数和初始温度条件，因此这些结果只能作为大致估计。

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