01背包问题-动态规划 整理成C语言！谢谢！

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>高凯

int c[50][50]

int w[10],v[10]

int x[10]

int n

void KNAPSACK_DP(int n,int W)

void OUTPUT_SACK(int c[50][50],int k)

void KNAPSACK_DP(int n,int W)

{

int i,k

for(k=0k<=Wk++)

c[0][k]=0

for(i=1i<=ni++)

{

c[i][0]=0

for(k=1k<=Wk++)

{

if(w[i]<=k)

{

if(v[i]+c[i-1][k-w[i]]>c[i-1][k])

c[i][k]=v[i]+c[i-1][k-w[i]]

else

c[i][k]=c[i-1][k]

}

else

c[i][k]=c[i-1][k]

}

}

}

void OUTPUT_SACK(int c[50][50],int k)

{

int i

for(i=ni>=2i--)

{

if(c[i][k]==c[i-1][k])

x[i]=0

else

{

x[i]=1

k=k-w[i]

}

}

x[1]=(c[1][k]?1:0)

for(i=1i<=ni++)

printf("%4d",x[i])

}

void main()

{

int m

int i,j,k

printf("输入物品个数:")

scanf("%d",&n)

printf("依次输入物品的重量:\n")

for(i=1i<=ni++)

scanf("%d",&w[i])

printf("依次输入局陵物品的价值:\n")

for(i=1i<=ni++)

scanf("%d",&v[i])

printf("输入背包桐念戚最大容量:\n")

scanf("%d",&m)

for(i=1i<=mi++)

printf("%4d",i)

printf("\n")

KNAPSACK_DP(n,m)

printf("构造最优解过程如下:\n")

for(j=1j<=5j++)

{

for(k=1k<=mk++)

printf("%4d",c[j][k])

printf("\n")

}

printf("最优解为:\n")

OUTPUT_SACK(c,m)

system("pause")

}

P01: 01背包问题

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

这是核咐碧最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N

for v=V..0

f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。

过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。

procedure ZeroOnePack(cost,weight)

for v=V..cost

f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的改举物品不会影响状态f[0..cost-1]，这是显然的。

有了简樱这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：

for i=1..N

ZeroOnePack(c[i],w[i])

初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

一个常数优化

前面的伪代码中有 for v=V..1，可以将这个循环的下限进行改进。

由于只需要最后f[v]的值，倒推前一个物品，其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推，对以第j个背包，其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可，即代码中的

for i=1..N

for v=V..0

可以改成

for i=1..n

bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}

for v=V..bound

这对于V比较大时是有用的。

小结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

动态规划主要解决的是多阶段的决策问题。

01背包中，状态为背包剩余的容量，阶段搜液档是每一个物品，决策是是否选择当前的物品。

所以用动态规划来解决是非常贴切的。

我们设f[V]表示已经使用容量为V时所能获得的最大价值，w[i]表示i物品的质量，c[i]表示i物品的价值。

for(int i=1i<=ni++)

    for(int j=Vj>=w[i]j--)

        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i])

这便是世乱所谓的一个状态转移方程。

f[j]表示在已经使用容量为j时的最大价值，f[j-w[i]]表示在已经使用容量为j-w[i]时的最大价值。

f[j]可以由f[j-w[i]]这个状态转移到达，表示选取w[i]这个物品，并从而获得价值为c[i]。

而每次f[j]会在选与不选中决策选出最优的方案。

从每一个物品，也就是每一个阶段的局埋握部最优推出最后的全局最优值。这样就解决了01背包问题

---