约瑟夫问题程序解释

#include<stdio.h>

#define size 100 /* 输入人数的上限 */

void main()

{

int person[size]

int i, j/* 循环修正变量 */

int arrayLen/* 数组长度 */

int start, overNum/* 开始位置各跨过位置 */

int deleNum/* 出列人所在数组中的下标 */

int name, total/* 输入时,人的信息以及人的总数 */

printf( "请输入圆桌上人的总数: " )

scanf( "%d", &arrayLen )printf( "\n" )

if( ( arrayLen >size ) || ( arrayLen <0 ) )

{

printf( "超出范围,请重新输入: " )

scanf( "%d", &arrayLen )printf( "\n" )

}

printf( "请输入各个人的信息(整数): \n" )

for( i = 0i <arrayLeni++ )

{

scanf( "%d", &name )

person[i] = name

}

printf( "你输入的数据的顺序为: \n" )

for( i = 0i <arrayLen - 1i++ )

printf( " %d ==>", person[i] )

printf( "%d \n", person[arrayLen - 1] )

printf( "你打算从第几个人开始? 请输入开始号: " )

scanf( "%d", &start )

printf( "\n" )

start = start - 1

printf( "请输入相邻两出列人之间的间隔: " )

scanf( "%d", &overNum )

printf( "\n" )

total = arrayLen

printf( "程序运行后,出列人的顺序为:\n\n" )

for( i = 0i <totali++ ) /* 要打印total个人的情况,故做total次 */

{

if ( arrayLen == 1 )

printf( "%d", person[0] )/* 如果是数组只剩一个元素,直接出列 */

else

{

deleNum = ( start + overNum - 1 ) % arrayLen/* 此取模保证循环 */

printf( "%d ==>", person[deleNum] )

for ( j = deleNumj <arrayLenj++ ) /* 将出列元素后面的各元素前移 */

person[j] = person[j+1]

start = deleNum

arrayLen = arrayLen - 1/* 移动完毕后,数组长度减1 */

}

}

printf( "\n\n" )

}

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k -->0

k+1 -->1

k+2 -->2

...

...

k-2 -->n-2

k-1 -->n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0

f[i]=(f[i-1]+m)%i (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

其实有时候看程序比写程序要难得多，所以你花很长时间去搞懂这个程序还不如你自己写程序去解决这个问题，可能你写的程序没有它的简便，但是你在这个过程中得到的会更多。

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