分析下面程序段执行的时间复杂度O（n）

常见的 查找算法的时间复杂度：

线性结构的查找的时间复杂度，如 二分查找（用于已经排好序的数据，如已序的数组）；O(n)

非线性结构的查找的时间复杂度，如 二叉查找树 ；O（log n）

排序类别 时间复杂度 空间复杂度 稳定

1 插入排序 O(n2) O(1) √

2 希尔排序 O(n2) O(1) × //Shell（希尔）排序是基于插入排序的，时间效率比插入、选择、冒泡高，但又比快速排序低点；

3 冒泡排序 O(n2) O(1) √

4 选择排序 O(n2) O(1) ×

5 快速排序 O(Nlogn) O(logn) ×

6 堆排序 O(Nlogn) O(1) ×

7 归并排序 O(Nlogn) O(n) √

冒泡排序、插入排序、归并排序是稳定的，算法时间复杂度是O(n ^2)；

选择排序、快速排序、堆排序、希尔排序都是 不稳定的；

算法的时间复杂度

一、 时间复杂度定义

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

二、大O表示法

我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。

“大O记法" :在这种描述中使用的基本参数是n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级(order)，比如说“二分检索是O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法O ( f(n) )表示当n增大时，运行时间至多将以正比于f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。

O(1)

Temp=ii=jj=temp

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)

2.1.交换i和j的内容

sum=0； （一次）

for(i=1i<=ni++) （n次）

for(j=1j<=nj++)（n^2次）

sum++； （n^2次）

解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

算法复杂度的介绍，见百科：

http://baike.baidu.com/view/7527.htm

时间复杂度

时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

计算方法

1. 一般情况下，算法的基本 *** 作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））

分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本 *** 作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））

例：算法：

for（i=1i<=n++i）

{

for(j=1j<=n++j)

{

c[ i ][ j ]=0//该步骤属于基本 *** 作 ，执行次数：n的平方 次

for(k=1k<=n++k)

c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]//该步骤属于基本 *** 作 ，执行次数：n的三次方 次

}

}

则有 T（n）= n的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级

则有f（n）= n的三次方，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c

则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3） 注：n^3即是n的3次方。

3.在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O（n）,二重则为O（n^2），依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。

分类

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),

线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，

k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

关于对其的理解

《数据结构（C语言版）》------严蔚敏 吴伟民编著 第15页有句话"整个算法的执行时间与基本 *** 作重复执行的次数成正比。"

基本 *** 作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，于是算法的时间量度可以记为：T(n) = O( f(n) )

如果按照这么推断，T(n)应该表示的是算法的时间量度，也就是算法执行的时间。

而该页对“语句频度”也有定义：指的是该语句重复执行的次数。

如果是基本 *** 作所在语句重复执行的次数，那么就该是f(n)。

上边的n都表示的问题规模。

以下来自百度知道：

对于这些算法

(1) for(i=1i<=ni++)

for(j=1j<=nj++)

s++

(2) for(i=1i<=ni++)

for(j=ij<=nj++)

s++

(3) for(i=1i<=ni++)

for(j=1j<=ij++)

s++

(4) i=1k=0

while(i<=n-1){

k+=10*i

i++

}

(5) for(i=1i<=ni++)

for(j=1j<=ij++)

for(k=1k<=jk++)

x=x+1

对应的时间复杂度为：

1.时间复杂度O(n^2)

2.时间复杂度O(n^2)

3.时间复杂度O(n^2)

4.时间复杂度O(n)

5.时间复杂度O(n^3)

一般来说，时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)

比如：一般总运算次数表达式类似于这样：

a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f

a<>0时，时间复杂度就是O(2^n)

a=0,b<>0 =>O(n^3)

a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推

那么，总运算次数又是如何计算出的呢？

一般来说，我们经常使用for循环，就像刚才五个题，我们就以它们为例

1.循环了n*n次，当然是O(n^2)

2.循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)

3.循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2)

4.循环了n-1≈n次，所以是O(n)

5.循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)

另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：

log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)

所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的

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