二重积分是怎样算出来的

就是把x看成固定的数，把y看成自变量，这样的函数若为奇函数，则二重积分积分为0。

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于X轴对称考察被积分函数Y的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。如果积分区域关于y轴对称考察被积分函数x的奇偶，三重积分也有奇偶性，但是有差别，要看积分区域对平面。

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

计算二重积分步骤顺序：

1直角投影法：分别在x轴和y轴上投影，

做法一：先确定x的取值范围，然后从x的坐标区域做一条垂线交于曲线，分别得到y1(x)和y2(x)；这种积分先对x积分，再对y积分

做法二：先确定y的取值范围，然后从y的坐标区域做一条垂线交于曲线，分别得到x1(y)和x2(y)，这种积分先对y积分，再对x积分

2极坐标法：当积分区域或被积函数含有x∧2+y∧2时，使用极坐标法

首先确定θ和r的取值范围，r的取值范围可以用x=rcosθ,y=rsinθ代入积分区域的函数得到，或者直接从积分区域观察出来；

将x=rcosθ,y=rsin代入被积函数，dxdy=rdrdθ，积分式中前面写对θ的积分，后面写对r的积分。

很简单，先确定积分区域，然后把二重积分的计算转化为二次积分的计算。但二次积分的计算相当于每次只计算一个变元的定积分，那是最基本的内容啦！、
利用对称性。
积分区域是关于坐标轴对称的。
被积函数也时关于坐标轴对称的。
在对称区域内，奇函数的积分为0
常数的积分 = 常数倍的积分区域的面积。
就利用这些吧。。。
∫∫（1+X立方Siny）dxdy = ∫∫dxdy + ∫∫（X立方Siny）dxdy
前面1项的积分=面积，后面1项的积分= 0
= ∫∫dxdy
积分区域的面积 = 矩形的面积 - 圆的面积
= 32 - PI
= 6 - PI
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所围成的体积＝∫∫∫dxdydz（V是z＝x＾2＋y＾2与z＝1所围成的空间区域）

＝∫dθ∫rdr∫dz（作柱面坐标变换）

＝2π∫r（1－r＾2）dr

＝2π（1／2－1／4）

＝π／2

扩展资料：

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广。

曲面z=f(x,y)(f(x,y)≥0),xy平面上的有界闭区域D以及通过闭区域D的边界且平行于z轴的柱面,它们围成的图形称为曲顶柱体,考虑其体积。用xy平面上的曲线将有界闭区域D任意分成n个小闭区域，D1,D2,…,D，这些小闭区域的面积分别为，Δσ1,Δσ2,…,Δσn，在各小闭区域边界处作平行于z轴的柱面,将曲顶柱体分成n个小曲顶柱体，显然，所求曲顶柱体的体积V等于这n个小曲顶柱体体积之和。

(ξ1,η1),(ξ2,η2),…,(ξn,ηn)，曲面z=f(x,y)上对应点的高度分别为，f(ξ1,η1),f(ξ2,η2),…,f(ξn,ηn)，以小闭区域面积Δσi为底、曲面z=f(x,y)上对应点高度f(ξi,ηi)为高的小平顶柱体体积近似代替相应小曲顶柱体体积(i=1,2,…,n),于是所求曲顶柱体体积，V≈f(ξ1,η1)Δσ1+f(ξ2,η2)Δσ2+…+f(ξn,ηn)Δσn。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。       

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