2020-01-07 常见分布及概率函数

随机变量取一切可能值的概率的规律称为概率分布(probability distribution)，简称为 分布 。
表示分布最常用的方法是 直方图 (histogram)，这种图用于展示各个值出现的频数或概率。 频数 指的是数据集中的一个值出现的次数。 概率 就是频数除以 样本数量n 。用表示概率的直方图称为 概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF)。

常见分布根据变量类型可分为 离散型分布 和 连续型分布
离散型变量 指变量值可以按一定顺序一一列举，通常以整数位取值的变量。
连续型变量 是指在连续区间取值，例如质量、长度、面积、体积、寿命、距离等就是连续型变量。现在试想一下连续变量观测值的直方图；如想其纵坐标为相对频数，那么所有这些矩形条的高度和为1，那么完全可以重新设置量纲，例这些矩形条的面积为1，如果不断增加观测值，并不断增加直方图的矩形条的数目，这些直方图就会越来越像一条光滑曲线，其下面的面积和为1，这种曲线就是 概率密度函数 (probability density function, pdf)，简称为 密度函数 或 密度 。
常用离散型分布有： 二项分布、几何分布、 超几何分布、 负二项分布和泊松分布 等。
常用连续型分布有： 正态分布、卡方分布、指数分布、F分布、伽马分布、t 分布、均匀分布、贝塔分布、柯西分布、对数正态分布、Logistic 分布、Wilcoxon signed Rank 分布、Weibull 分布，Wilcoxon Rank Sum 分布、多元正态分布 。
分布族谱：

基于每次的实验有两个可能结果的重复独立伯努利（Bernoulli）试验。
伯努利试验是单次随机试验，只有"成功（值为1）"或"失败（值为0）"这两种结果，是由瑞士科学家雅各布·伯努利(1654 - 1705)提出来的。

n为实验总次数,k是成功的次数,p是成功概率：
P(X=k)=C_n kp k(1-p)^{n-k}

典型为 掷色子
每次试验不止有两种可能，而是有 k 种结果；且

超几何分布就是不放回的伯努利试验；
在抽样调查的实践中，一般不会重复调查同一个体，这相当于不放回抽样，所以应该用超几何分布描述；
但是在一个很大的群体中抽样时放不放回差异很小，但是二项分布计算更简单所以会用二项分布描述。
R语言中与超几何分布有关的函数为 phyper，dhyper，rhyper，qhyper 。

在一批产品里，一共有N件产品，其中有M件次品，那么当我们任何取n件产品，其中恰有X件次品的概率P就可以按归照下面的公式进行计算：

Bernoulli试验独立地重复进行，一直到出现有功能出现时停止试剂，则试验失败的次数服从一个参数为p的几何分布。

伯努利试验独立地重复进行，一直到出现 k 次成功时停止试验，则试验 失败 的次数服从一个参数为(k,p)的负二项分布。

其中：
k是失败的次数，为自变量，取值范围为0, 1, 2, 3,
r是成功的次数，为固定值。当r=1时，负二项分布退化为几何分布
p是伯努利试验成功的概率，失败概率则为1-p

泊松概率分布描述的是在某段时间或某个空间内发生随机事件次数的概率，简而言之就是：根据过去某个随机事件在某段时间或某个空间内发生的平均次数，预测该随机事件在未来同样长的时间或同样大的空间内发生k次的概率。
由于泊松分布适用于描述某段时间(或某个空间)内随机事件发生的次数，因此它常用于预测某些事件的发生。例如：某家医院在一定时间内到达的人数；某段时间内DNA序列的变异数。

其中：
λ是过去某段时间或某个空间内随机事件发生的平均次数
e = 271828，是自然常数
k的取值为 0, 1, 2, 3, 4,
k! = k x (k-1) x (k-2) x x 2 x 1，是k的阶乘

参数统计学的理论核心。正态分布像一只倒扣的钟。两头低，中间高，左右对称。大部分数据集中在平均值，小部分在两端，因此人们又经常称之为 钟形曲线 。
正态分布笔记参考

三个特征 ：

shapirotest()函数可进行Shapiro-Wilk正态分布检验， 用来检验是否数据符合正态分布，类似于线性回归的方法一样，是检验其于回归曲线的残差。

伽玛分布与卡方分布和指数分布有关，卡方分布与指数分布可以视为一种特殊的伽玛分布。
许多随机变量，例如计算机使用寿命的长度，假定仅取非负值，这种类型数据的相对频率分布通过用Γ型密度函数建模。
alpha （一般为整数）代表一件事发生的次数；beta代表它发生一次的概率（或者叫速率）。那么gamma 分布就代表这么一件事发生alpha 次所需要时间的分布。

X∼Gamma(α,λ)

指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间”，伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”。所以，伽玛分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总，即，n个Exponential(λ)random variables--->Gamma(n,λ）

alpha代表上述的n, 当alpha=1时，伽马分布就变成了指数分布：

卡方分布是由正态分布推导出来的分布，它的定义为，n个独立标准正态变量的平方和称为有n个自由度的χ2分布，记为χ2(n)，χ2(n)的总体均值为n，总体方差为2n。
以特定概率分布为某种情况建模时，事物长期结果较为稳定，能够清晰进行把握。但是期望与事实存在差异怎么办？偏差是正常的小幅度波动？还是建模错误？此时，利用卡方分布分析结果，排除可疑结果。
事实与期望不符合情况下使用卡方分布进行检验
常规事件中出现非常规现象，如何检查问题所在的情况下使用卡方分布
它广泛的运用于检测数学模型是否适合所得的数据，以及数据间的相关性。数据并不需要呈正态分布

Γ 表示的是一个gamma函数，它是整数k的封闭形式。

“t”，是伟大的 Fisher 为之取的名字。Fisher最早将这一分布命名为“Student's distribution”，并以“t”为之标记。Student，则是William Sealy Gosset（戈塞特）的笔名。他当年在爱尔兰都柏林的一家酒厂工作，设计了一种后来被称为t检验的方法来评价酒的质量。
我们平常说的t分布，都是指小样本的分布。但是，随着样本量n / 自由度的增加，t分布越来越接近正态分布。正态分布，可以看做只是t分布的一个特例而已。
所以，t分布在大小样本中都是通用的。相对于正态分布，t分布额外多了一个参数，自由度。
应用在当对呈正态分布的母群体的均值进行估计或者当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时

自由度1~10，t分布为绿色，蓝色为正态分布，t分布也是钟形曲线，但是更宽更厚有尾巴。自由度（希腊字母V，读作“纽”）越大，分布越是接近正态分布。

Gam(x)为伽马函数

研究A、B、C三种不同学校学生的阅读理解成绩找到一种解决的办法，有人可能会以为，只要多次使用Z检验或t检验，比较成对比较学校（或条件）即可。但是我们不会这样来处理。因为Z检验或t检验有其局限性：
（1）比较的组合次数增多，上例需要3次，如果研究10个学校，需要45个
（2）降低可靠程度，如果我们做两次检验，每次都为005的显著性水平，那么不犯Ⅰ型错误的概率就变为095×095＝090。此时犯Ⅰ型错误的概率则为1-090＝010，即至少犯一次Ⅰ型错误的概率翻了一倍。若做10次检验的话，至少犯一次Ⅰ型错误的概率将上升到040（1-0952），而10次检验结论中都正确的概率只有60%。所以说采用Z检验或t检验随着均数个数的增加，其组合次数增多，从而降低了统计推论可靠性的概率，增大了犯错误的概率。
F-分布被广泛应用于似然比率检验，特别是方差分析ANOVA中

有两个独立的正态分布N(μ1,σ12)和 N(μ2,σ22)如果我们对这两个总体进行抽样，获得的样本方差为s12和s22，那么它们遵循F分布：

rbinom(n, size, prob)二项分布
rgeom(n, prob)几何分布
rhyper(nn, m, n, k) 超几何分布
rlogis(n, location=0, scale=1) logistic分布
rlnorm(n, meanlog=0, sdlog=1)对数正态
rnbinom(n, size, prob)负二项分布

rnorm(n, mean=0, sd=1) 高斯（正态）分布
rexp(n, rate=1) 指数分布
rgamma(n, shape, scale=1) γ分布　
rpois(n, lambda) Poisson分布
rweibull(n, shape, scale=1) Weibull分布　
rcauchy(n, location=0, scale=1) Cauchy分布　
rbeta(n, shape1, shape2) β分布　
rt(n, df) t分布　
rf(n, df1, df2) F分布　
rchisq(n, df) χ 2 分布
runif(n, min=0, max=1)均匀分布
rwilcox(nn, m, n), rsignrank(nn, n) Wilcoxon分布

自由度
中心极限定理
方差分析

在介绍统计函数之前，请大家先看一下的函数名称。是不是发现有些函数是很类似的，只是在名称中多了一个字母A？比如，AVERAGE与AVERAGEA；COUNT与COUNTA。基本上，名称中带A的函数在统计时不仅统计数字，而且文本和逻辑值（如TRUE 和 FALSE）也将计算在内。在下文中笔者将主要介绍不带A的几种常见函数的用法。

一、用于求平均值的统计函数AVERAGE、TRIMMEAN

1、求参数的算术平均值函数AVERAGE

语法形式为AVERAGE(number1,number2, )

其中Number1, number2, 为要计算平均值的 1～30 个参数。这些参数可以是数字，或者是涉及数字的名称、数组或引用。如果数组或单元格引用参数中有文字、逻辑值或空单元格，则忽略其值。但是，如果单元格包含零值则计算在内。

2、求数据集的内部平均值TRIMMEAN

函数TRIMMEAN先从数据集的头部和尾部除去一定百分比的数据点，然后再求平均值。当希望在分析中剔除一部分数据的计算时，可以使用此函数。比如，我们在计算选手平均分数中常用去掉一个最高分，去掉一个最低分，XX号选手的最后得分，就可以使用该函数来计算。

语法形式为TRIMMEAN(array,percent)

其中Array为需要进行筛选并求平均值的数组或数据区域。Percent为计算时所要除去的数据点的比例，例如，如果 percent = 02，在 20 个数据点的集合中，就要除去 4 个数据点（20 x 02），头部除去 2 个，尾部除去 2 个。函数 TRIMMEAN 将除去的数据点数目向下舍为最接近的 2 的倍数。

3、举例说明：示例中也列举了带A的函数AVERAGEA的求解方法。

求选手Annie的参赛分数。在这里，我们先假定已经将该选手的分数进行了从高到底的排序，在后面的介绍中我们将详细了解排序的方法。

　

图1

二、用于求单元格个数的统计函数COUNT

语法形式为COUNT(value1,value2, )

其中Value1, value2, 为包含或引用各种类型数据的参数（1～30个），但只有数字类型的数据才被计数。函数 COUNT 在计数时，将把数字、空值、逻辑值、日期或以文字代表的数计算进去；但是错误值或其他无法转化成数字的文字则被忽略。

如果参数是一个数组或引用，那么只统计数组或引用中的数字；数组中或引用的空单元格、逻辑值、文字或错误值都将忽略。如果要统计逻辑值、文字或错误值，应当使用函数 COUNTA。

举例说明COUNT函数的用途，示例中也列举了带A的函数COUNTA的用途。仍以上例为例，要计算一共有多少评委参与评分（用函数COUNTA），以及有几个评委给出了有效分数（用函数COUNT）。

　

图2

三、求区域中数据的频率分布FREQUENCY

由于函数 FREQUENCY 返回一个数组，必须以数组公式的形式输入。

语法形式为FREQUENCY(data_array,bins_array)

其中Data_array为一数组或对一组数值的引用，用来计算频率。如果 data_array 中不包含任何数值，函数 FREQUENCY 返回零数组。Bins_array为一数组或对数组区域的引用，设定对 data_array 进行频率计算的分段点。如果 bins_array 中不包含任何数值，函数 FREQUENCY 返回 data_array 元素的数目。

看起来FREQUENCY的用法蛮复杂的，但其用处很大。比如可以计算不同工资段的人员分布，公司员工的年龄分布，学生成绩的分布情况等。这里以具体示例说明其基本的用法。

以计算某公司的员工年龄分布情况为例说明。在工作表里列出了员工的年龄。这些年龄为 28、25、31、21、44、33、22 和 35，并分别输入到单元格 C4:C11。这一列年龄就是 data_array。Bins_array 是另一列用来对年龄分组的区间值。在本例中，bins_array 是指 C13:C16 单元格，分别含有值 25、30、35、和 40。以数组形式输入函数 FREQUENCY，就可以计算出年龄在 25岁以下、26~30岁、31~35岁、36~40岁和40岁以上各区间中的数目。本例中选择了5个垂直相邻的单元格后，即以数组公式输入下面的公式。返回的数组中的元素个数比 bins_array（数组）中的元素个数多 1。第五个数字1表示大于最高间隔 (40) 的数值（44）的个数。函数 FREQUENCY 忽略空白单元格和文本值。

{=FREQUENCY(C4:C11,C13:C16)}等于 {2;2;2;1;1}

　

图3

四、一组用于求数据集的满足不同要求的数值的函数

1、求数据集的最大值MAX与最小值MIN

这两个函数MAX、MIN就是用来求解数据集的极值（即最大值、最小值）。函数的用法非常简单。语法形式为 函数（number1,number2,），其中Number1,number2, 为需要找出最大数值的 1 到 30 个数值。如果要计算数组或引用中的空白单元格、逻辑值或文本将被忽略。因此如果逻辑值和文本不能忽略，请使用带A的函数MAXA或者MINA 来代替。

2、求数据集中第K个最大值LARGE与第k个最小值SMALL

这两个函数LARGE、SMALL与MAX、MIN非常想像，区别在于它们返回的不是极值，而是第K个值。语法形式为：函数(array,k)，其中Array为需要找到第 k 个最小值的数组或数字型数据区域。K为返回的数据在数组或数据区域里的位置（如果是LARGE为从大到小排，若为SMALL函数则从小到大排）。

说到这，大家可以想得到吧。如果K=1或者K=n（假定数据集中有n个数据）的时候，是不是就可以返回数据集的最大值或者最小值了呢。

3、 求数据集中的中位数MEDIAN

MEDIAN函数返回给定数值集合的中位数。所谓中位数是指在一组数据中居于中间的数，换句话说，在这组数据中，有一半的数据比它大，有一半的数据比它小。

语法形式为MEDIAN(number1,number2, )其中Number1, number2,是需要找出中位数的 1 到 30 个数字参数。如果数组或引用参数中包含有文字、逻辑值或空白单元格，则忽略这些值，但是其值为零的单元格会计算在内。

需要注意的是，如果参数集合中包含有偶数个数字，函数 MEDIAN 将返回位于中间的两个数的平均值。

4、 求数据集中出现频率最多的数MODE

MODE函数用来返回在某一数组或数据区域中出现频率最多的数值。跟 MEDIAN 一样，MODE 也是一个位置测量函数。

语法形式为MODE(number1,number2, )其中Number1, number2,  是用于众数（众数指在一组数值中出现频率最高的数值）计算的 1 到 30 个参数，也可以使用单一数组（即对数组区域的引用）来代替由逗号分隔的参数。

5、 以上函数的示例

以某单位年终奖金分配表为例说明。在示例中，我们将利用这些函数求解该单位年终奖金分配中的最高金额、最低金额、平均金额、中间金额、众数金额以及第二高金额等。

详细的公式写法可从图中清楚的看出，在此不再赘述。

　

图4

五、用来排位的函数RANK、PERCENTRANK

1、一个数值在一组数值中的排位的函数RANK

数值的排位是与数据清单中其他数值的相对大小，当然如果数据清单已经排过序了，则数值的排位就是它当前的位置。数据清单的排序可以使用Excel提供的排序功能完成。

语法形式为RANK(number,ref,order) 其中Number为需要找到排位的数字；Ref 为包含一组数字的数组或引用。Order为一数字用来指明排位的方式。

如果 order 为 0 或省略，则Excel 将 ref 当作按降序排列的数据清单进行排位。

如果 order 不为零，Microsoft Excel 将 ref 当作按升序排列的数据清单进行排位。

需要说明的是，函数 RANK 对重复数的排位相同。但重复数的存在将影响后续数值的排位。嗯，这就好像并列第几的概念啊。例如，在一列整数里，如果整数 10 出现两次，其排位为 5，则 11 的排位为 7（没有排位为 6 的数值）。

2、求特定数值在一个数据集中的百分比排位的函数PERCENTRANK

此PERCENTRANK函数可用于查看特定数据在数据集中所处的位置。例如，可以使用函数 PERCENTRANK 计算某个特定的能力测试得分在所有的能力测试得分中的位置。

语法形式为PERCENTRANK(array,x,significance) 其中Array为彼此间相对位置确定的数字数组或数字区域。X为数组中需要得到其排位的值。Significance为可选项，表示返回的百分数值的有效位数。如果省略，函数 PERCENTRANK 保留 3 位小数。

3、与排名有关的示例

仍以某单位的年终奖金分配为例说明，这里以员工Annie的排名为例说明公式的写法。

奖金排名的公式写法为：

=RANK(C3,$C$3:$C$12)

百分比排名的公式写法为：

=PERCENTRANK($C$3:$C$12,C3)

　

图5

以上我们介绍了Excel统计函数中比较常用的几种函数，更多的涉及专业领域的统计函数可以参看附表以及各种相关的统计学书籍。

附表：

函数名称 函数说明 语法形式

AVEDEV 返回一组数据与其均值的绝对偏差的平均值，即离散度。 AVEDEV(number1,number2, )

AVERAGE 返回参数算术平均值。 AVERAGE(number1,number2, )

AVERAGEA 计算参数清单中数值的平均值（算数平均值）。不仅数字，而且文本和逻辑值（如TRUE 和 FALSE）也将计算在内。 AVERAGEA(value1,value2,)

BETADIST 返回 Beta 分布累积函数的函数值。Beta 分布累积函数通常用于研究样本集合中某些事物的发生和变化情况。 BETADIST(x,alpha,beta,A,B)

BETAINV 返回 beta 分布累积函数的逆函数值。即，如果 probability = BETADIST(x,)，则 BETAINV(probability,) = x。beta 分布累积函数可用于项目设计，在给定期望的完成时间和变化参数后，模拟可能的完成时间。 BETAINV(probability,alpha,beta,A,B)

BINOMDIST 返回一元二项式分布的概率值。 BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)

CHIDIST 返回 γ2 分布的单尾概率。γ2 分布与 γ2 检验相关。使用 γ2 检验可以比较观察值和期望值。 CHIDIST(x,degrees_freedom)

CHIINV 返回 γ2 分布单尾概率的逆函数。 CHIINV(probability,degrees_freedom)

CHITEST 返回独立性检验值。函数 CHITEST 返回 γ2 分布的统计值及相应的自由度。 CHITEST(actual_range,expected_range)

CONFIDENCE 返回总体平均值的置信区间。置信区间是样本平均值任意一侧的区域。 CONFIDENCE(alpha,standard_dev,size)

CORREL 返回单元格区域 array1 和 array2 之间的相关系数。使用相关系数可以确定两种属性之间的关系。 CORREL(array1,array2)

COUNT 返回参数的个数。利用函数 COUNT 可以计算数组或单元格区域中数字项的个数。 COUNT(value1,value2, )

COUNTA 返回参数组中非空值的数目。利用函数COUNTA 可以计算数组或单元格区域中数据项的个数。 COUNTA(value1,value2, )

COVAR 返回协方差，即每对数据点的偏差乘积的平均数，利用协方差可以决定两个数据集之间的关系。 COVAR(array1,array2)

CRITBINOM 返回使累积二项式分布大于等于临界值的最小值。此函数可以用于质量检验。 CRITBINOM(trials,probability_s,alpha)

DEVSQ 返回数据点与各自样本均值偏差的平方和。 DEVSQ(number1,number2,)

EXPONDIST 返回指数分布。使用函数 EXPONDIST 可以建立事件之间的时间间隔模型。 EXPONDIST(x,lambda,cumulative)

FDIST 返回 F 概率分布。使用此函数可以确定两个数据系列是否存在变化程度上的不同。 FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)

FINV 返回 F 概率分布的逆函数值。 FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)

FISHER 返回点 x 的 Fisher 变换。该变换生成一个近似正态分布而非偏斜的函数。 FISHER(x)

FISHERINV 返回 Fisher 变换的逆函数值。使用此变换可以分析数据区域或数组之间的相关性。 FISHERINV(y)

FORECAST 根据给定的数据计算或预测未来值。 FORECAST(x,known_y's,known_x's)

FREQUENCY 以一列垂直数组返回某个区域中数据的频率分布。 FREQUENCY(data_array,bins_array)

FTEST 返回 F 检验的结果。F 检验返回的是当数组 1 和数组 2 的方差无明显差异时的单尾概率。可以使用此函数来判断两个样本的方差是否不同。 FTEST(array1,array2)

GAMMADIST 返回伽玛分布。可以使用此函数来研究具有偏态分布的变量。伽玛分布通常用于排队分析。 GAMMADIST(x,alpha,beta,cumulative)

GAMMAINV 返回伽玛分布的累积函数的逆函数。 GAMMAINV(probability,alpha,beta)

GAMMALN 返回伽玛函数的自然对数，Γ(x)。 GAMMALN(x)

GEOMEAN 返回正数数组或数据区域的几何平均值。 GEOMEAN(number1,number2, )

GROWTH 根据给定的数据预测指数增长值。 GROWTH(known_y's,known_x's,new_x's,const)

HARMEAN 返回数据集合的调和平均值。调和平均值与倒数的算术平均值互为倒数。 HARMEAN(number1,number2, )

HYPGEOMDIST 返回超几何分布。 HYPGEOMDIST(sample_s,number_sample,

population_s,number_population)

INTERCEPT 利用已知的 x 值与 y 值计算直线与 y 轴的截距。 INTERCEPT(known_y's,known_x's)

KURT 返回数据集的峰值。 KURT(number1,number2, )

LARGE 返回数据集里第 k 个最大值。使用此函数可以根据相对标准来选择数值。 LARGE(array,k)

LINEST 使用最小二乘法计算对已知数据进行最佳直线拟合，并返回描述此直线的数组。 LINEST(known_y's,known_x's,const,stats)

LOGEST 在回归分析中，计算最符合观测数据组的指数回归拟合曲线，并返回描述该曲线的数组。 LOGEST(known_y's,known_x's,const,stats)

LOGINV 返回 x 的对数正态分布累积函数的逆函数。 LOGINV(probability,mean,standard_dev)

LOGNORMDIST 返回 x 的对数正态分布的累积函数。 LOGNORMDIST(x,mean,standard_dev)

MAX 返回数据集中的最大数值。 MAX(number1,number2,)

MAXA 返回参数清单中的最大数值。 MAXA(value1,value2,)

MEDIAN 返回给定数值集合的中位数。中位数是在一组数据中居于中间的数。 MEDIAN(number1,number2, )

MIN 返回给定参数表中的最小值。 MIN(number1,number2, )

MINA 返回参数清单中的最小数值。 MINA(value1,value2,)

MODE 返回在某一数组或数据区域中出现频率最多的数值。 MODE(number1,number2, )

NEGBINOMDIST 返回负二项式分布。 NEGBINOMDIST(number_f,number_s,probability_s)

NORMDIST 返回给定平均值和标准偏差的正态分布的累积函数。 NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)

NORMINV 返回给定平均值和标准偏差的正态分布的累积函数的逆函数。 NORMINV(probability,mean,standard_dev)

NORMSDIST 返回标准正态分布的累积函数，该分布的平均值为 0，标准偏差为 1。 NORMSDIST(z)

NORMSINV 返回标准正态分布累积函数的逆函数。该分布的平均值为 0，标准偏差为 1。 NORMSINV(probability)

PEARSON 返回 Pearson（皮尔生）乘积矩相关系数，r，这是一个范围在 -10 到 10 之间（包括 -10 和 10 在内）的无量纲指数，反映了两个数据集合之间的线性相关程度。 PEARSON(array1,array2)

PERCENTILE 返回数值区域的 K 百分比数值点。可以使用此函数来建立接受阀值。例如，可以确定得分排名在 90 个百分点以上的检测侯选人。 PERCENTILE(array,k)

PERCENTRANK 返回特定数值在一个数据集中的百分比排位。此函数可用于查看特定数据在数据集中所处的位置。例如，可以使用函数 PERCENTRANK 计算某个特定的能力测试得分在所有的能力测试得分中的位置。 PERCENTRANK(array,x,significance)

PERMUT 返回从给定数目的对象集合中选取的若干对象的排列数。排列可以为有内部顺序的对象或为事件的任意集合或子集。排列与组合不同，组合的内部顺序无意义。此函数可用于计算中的概率。 PERMUT(number,number_chosen)

POISSON 返回泊松分布。泊松分布通常用于预测一段时间内事件发生的次数，比如一分钟内通过收费站的轿车的数量。 POISSON(x,mean,cumulative)

PROB 返回一概率事件组中落在指定区域内的事件所对应的概率之和。如果没有给出 upper_limit，则返回 x _range 内值等于 lower_limit 的概率。 PROB(x_range,prob_range,lower_limit,upper_limit)

QUARTILE 返回数据集的四分位数。四分位数通常用于在销售额和测量值数据集中对总体进行分组。例如，可以使用函数 QUARTILE 求得总体中前 25% 的收入值。 QUARTILE(array,quart)

RANK 返回一个数值在一组数值中的排位。数值的排位是与数据清单中其他数值的相对大小（如果数据清单已经排过序了，则数值的排位就是它当前的位置）。 RANK(number,ref,order)

RSQ 返回根据 known_y's 和 known_x's 中数据点计算得出的 Pearson 乘积矩相关系数的平方。有关详细信息，请参阅函数 REARSON。R 平方值可以解释为 y 方差与 x 方差的比例。 RSQ(known_y's,known_x's)

SKEW 返回分布的偏斜度。偏斜度反映以平均值为中心的分布的不对称程度。正偏斜度表示不对称边的分布更趋向正值。负偏斜度表示不对称边的分布更趋向负值。 SKEW(number1,number2,)

SLOPE 返回根据 known_y's 和 known_x's 中的数据点拟合的线性回归直线的斜率。斜率为直线上任意两点的重直距离与水平距离的比值，也就是回归直线的变化率。 SLOPE(known_y's,known_x's)

SMALL 返回数据集中第 k 个最小值。使用此函数可以返回数据集中特定位置上的数值。 SMALL(array,k)

STANDARDIZE 返回以 mean 为平均值，以 standard-dev 为标准偏差的分布的正态化数值。 STANDARDIZE(x,mean,standard_dev)

STDEV 估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值（mean）的离散程度。 STDEV(number1,number2,)

STDEVA 估算基于给定样本的标准偏差。标准偏差反映数值相对于平均值（mean）的离散程度。文本值和逻辑值（如 TRUE 或 FALSE）也将计算在内。 STDEVA(value1,value2,)

STDEVP 返回以参数形式给出的整个样本总体的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值（mean）的离散程度。 STDEVP(number1,number2,)

STDEVPA 计算样本总体的标准偏差。标准偏差反映数值相对于平均值（mean）的离散程度。 STDEVPA(value1,value2,)

STEYX 返回通过线性回归法计算 y 预测值时所产生的标准误差。标准误差用来度量根据单个 x 变量计算出的 y 预测值的误差量。 STEYX(known_y's,known_x's)

TDIST 返回学生 t- 分布的百分点（概率），t 分布中数值 (x) 是 t 的计算值（将计算其百分点）。t 分布用于小样本数据集合的假设检验。使用此函数可以代替 t 分布的临界值表。 TDIST(x,degrees_freedom,tails)

TINV 返回作为概率和自由度函数的学生 t 分布的 t 值。 TINV(probability,degrees_freedom)

TREND 返回一条线性回归拟合线的一组纵坐标值（y 值）。即找到适合给定的数组 known_y's 和 known_x's 的直线（用最小二乘法），并返回指定数组 new_x's 值在直线上对应的 y 值。 TREND(known_y's,known_x's,new_x's,const)

TRIMMEAN 返回数据集的内部平均值。函数 TRIMMEAN 先从数据集的头部和尾部除去一定百分比的数据点，然后再求平均值。当希望在分析中剔除一部分数据的计算时，可以使用此函数。 TRIMMEAN(array,percent)

TTEST 返回与学生氏- t 检验相关的概率。可以使用函数 TTEST 判断两个样本是否可能来自两个具有相同均值的总体。 TTEST(array1,array2,tails,type)

VAR 估算样本方差。 VAR(number1,number2,)

VARA 估算基于给定样本的方差。不仅数字，文本值和逻辑值（如 TRUE 和 FALSE）也将计算在内。 VARA(value1,value2,)

VARP 计算样本总体的方差。 VARP(number1,number2,)

VARPA 计算样本总体的方差。不仅数字，文本值和逻辑值（如 TRUE 和 FALSE）也将计算在内。 VARPA(value1,value2,)

WEIBULL 返回韦伯分布。使用此函数可以进行可靠性分析，比如计算设备的平均故障时间。 WEIBULL(x,alpha,beta,cumulative)

ZTEST 返回 z 检验的双尾 P 值。Z 检验根据数据集或数组生成 x 的标准得分，并返回正态分布的双尾概率。可以使用此函数返回从某总体中抽取特定观测值的似然估计。

这张图里的方差分析F检验结果不显著。看显著性检验结果有两种方法。

1、根据F值判断。

SPSS输出的表格中“F”即样本的计算结果。之后考虑显著性检验的临界值α和F统计量的自由度，在F检验表中查找F的临界值（下表是α=01的F临界值表，如果α设定为005或001则应查找对应的F检验表）。最后，将SPSS计算出的F值与F临界值比较，若大于临界值则可以说在α的意义下结果显著，否则不显著。

2、根据Sig判断。

SPSS输出的Sig结果即将计算出的F值根据自由度转换为了P-Value，可以直接根据Sig判断是否显著，若Sig<α则结果显著，否则不显著，这一方法更方便。

在此基础上拓展一下，z检验、t检验、Chi-Square检验（卡方检验）等判断显著或进行假设检验的方式都是类似的，或者根据对应的检验表，或者根据P-Value。如果根据检验表判断，可分为三步：

第一步，计算统计量的观测值，例如此处的F值，这一步SPSS会直接输出；

第二步，查表，根据自由度和α找到临界值；

第三步，将SPSS输出的统计量观测值与查表所得临界值进行对比，得出结果。

相较之下，根据P-Value来判断则非常简单，SPSS已经根据样本计算并输出了P-Value，只需将P-Value和α对比即可。

此外在一些情况下，SPSS也会自动以星号（）的数量对是否显著进行标记，例如做相关系数分析时，在001级别相关性显著会标注出“”，在005级别相关性显著标注“”等等。

C,B,D,C,B,C,B,A,A,C,B,B,A,A,C。必须指出，这些答案不保证完全正确，统计学是灵活的学科，一旦作为客观题，就不是很准确了。而且这些题目有些出的不是很好。再加上不同专业的统计学名词等可能有所不同，因此不保证完全正确。
后面的计算题就非常简单了，第一题做个u检验，第二题做个t检验。

当软件t检验x没有足够的值时，应该从根本上考虑重新设计t检验x，以确保它包含足够的值，以满足实际需求。另外，可以考虑其他类型的检验，比如z检验，以确保它也能满足实际需求。此外，应该根据实际情况，结合不同的检验方法，以确保获得足够的值。

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