如何使用MATLAB作张量运算

一、引言张量作为物理或几何的具体对象,充分反映了这些现象的物理和几何属性,是这些现象的一种数学抽象,在分析力学、固体力学、流体力学、几何学、电磁场理论和相对论等方面有着广泛的应用。张量(tensor)是几何与代数中的基本概念之一,从代数角度讲,张量是数量、向量、矩阵的自然推广,在为n空间中的N阶张量有nN个分量,下面是基团n=2时的张量示意图:T(T1,T2)标量(阶N=0)矢量(阶N=1)T11T12T21T()22矩阵(阶N=2)张量(阶N=3)可见,零阶张量可用一个数表示,一阶扮锋谨张量可用一行数组表示,二阶张量可用矩阵表格表示,三阶张量可用“立体矩阵”表示,更高阶的张量不能用图形表示,正因为如此,关于张量的推演计算有时会很复杂繁琐。利用MATLAB可以使复杂繁琐的推演计算变得厅基简单方便。由于难以见到相关的文献,在此作简要的介绍,以方便读者学习。二、张量运算函数命令MATLAB是通过调用MAPLE的张量包(ten-sor)进行运算的,格式为:>>maple(‘函数名’),或者借用procread指令把整段MAPLE程序送往MAPLE计算。本文采用第一种方法。

1． 加减法

两个或多个同阶同型张量之和（差）仍是与它们同阶同型的张量。

2． 并积

两个张量的并积是一个阶数等芦前于原来两个张量阶数之和的新张量。

3． 缩并

使张量的一个上标和一个下标相胡哗岩同的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。

4． 点积

两个张量之间并积和缩并的联合运算。例如，在极分解定理中，三个二阶张量R、U和V中一次点积R·U和V·R的结果是二阶张量F。

5． 对称化和反称化

对已给张量的n个指标进行n1不同置换并取所得的n1个新张量的算术平均值的运算称为对称化。把指标经过奇次置换的新张量取反符号后再求算术平均值的运算称为反称化。

6． 加法分解

任意二阶张量可以唯一地分解为对称部分和反称部分之和。例如，速度梯度裤御 可以分解为 ，其中 和 分别为 的对称和反称部分，即 和 。

1． 商法则

肯定某些量的张量性的法则。

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