数学，平面内某点到曲线距离的最值怎么求？

若任意点与椭圆在同一平面上，
则依椭圆参数方程，
设椭圆上任意点p(acosθ,bsinθ);
依两点距公式，点m(m,n)与点p距离
d=√[(acosθ-m)²+(bsinθ-n)²];
将上式求最大与最小值即可。

求原点到曲线x³-xy+y³=1(x≥0,y≥0)的最短距离。

问题解析

二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法，再比较边界点到原点的距离，这些点中距离最大的为最大距离，最短的为最短距离

名师点评

本题考点：

利用拉格朗日乘数法求条件极值；空间两点间距离公式．

考点点评：

此题考查了两点距离公式，以及用拉格朗日乘子法求最值问题．在此要注意的是拉格朗日乘子法求得的是条件极值，再求最值时，一定要将极值点与边界点的函数值作比较，最后确定最值．

x=1:001:5;
y=x^2+x;
for i=1:length(x)
den(i)=sqrt((x(i)-2)^2+y(i)^2);
end
den(min(den))

易知，0《x,y《1设x=t^2(0《t《1)则y=(1-t)^2曲线上的点(t^2,(1-t)^2)到原点的距离d为：d^2=f(t)=t^4+(1-t)^4故问题可化为，求函数f(t)=t^4+(1-t)^4在[0,1]上的最小值。求导得f'(t)=4t^3-4(1-t)^3=0===>t=1/2经讨论知，当t=1/2时，函数f(t)取得最小值，f(t)min=f(1/2)=2(1/2)^4故曲线上的点到原点的距离最小为√2/4

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