问一个比较基础的问题，线性代数中如何求空间的基？谢了各位，急

最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n，则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底。矩阵的行秩等于列秩。
来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型，发现该矩阵的秩为3。那么，这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底，这个矩阵只有3个行向量，那这三个行向量就是基底。
然后看列空间，第一列与第四列明显线性无关。记这两条列向量为a1,a4，为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关，做出假设，a2与a1,a4线性相关，则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2。得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4，光看前两个式子就知道这样的x,y不存在。所以a1,a2,a4线性无关，所以a1,a2,a4就是列空间的基底。
这个方法是极为快速简洁的方法，总比换底公式快的多的多。
零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵
1 3 -2 1
0 -5 7 0
0 0 16 4
令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20
(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底。实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系。

N阶多项式矩阵基和维数的几种求法：
方法一：根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，如果有n个向量a1，……，an满足：
（1）a1，……，an线性无关。
（2）V中任一向量a总可以由a1，……，an线性表示。  
那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dim V=n，并称
a1，……，an为线性空间V的一组基。
方法二：在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
方法三：利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。 
方法四：如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。
方法五：在线性空间V中任取一向量a，将其表成线性空间V一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。
方法六：按维数公式求子空间的交与和的维数和基。
维数公式：如果V1，V2是有限维线性空间V的两个子空间，那么dim V1+dim V2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)

W就是由基础解系张成的空间，因此维数是基础解系中向量的个数，
一组基就是基础解系了。
容易知道，(-1,1,0,0)，(1,0,1,0)，(1,0,0,1)是x1+x2-x3-x4=0的基础解系，
因此是W的基，维数是3。

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