求函数U=xy方z在点(1,-1,2)处的梯度以及沿梯度方向的方向导数.急. 如题.

梯度 gradU = {Ux,Uy,Uz} = {y²z,2xyz,xy²},注意这是向量
gradU(1,-1,2)={2,-4,1}
沿梯度方向的方向导数 = |gradU(1,-1,2)| = √(4+16+1) = √21

定义我就不说了，你自己查一下书。
方向导数是函数沿各个方向的导数，梯度是一个向量，因此梯度本身是有方向的。
它们的关系主要有两个：
1、函数在梯度这个方向的方向导数是最大的，换句话说，一个函数在各个方向都有方向导数，其中梯度这个方向的导数为最大；
2、函数方向导数的最大值为梯度的模。
数学之美团队为你解答，如有疑问请追问，如果解决问题请采纳。

你可以这样想象一个z=f(x,y)的三维图像，每一个（x,y）点都有一个z与之映射，可以想象得到那将是一个曲面，然后你想象曲面上一个特定的点，它就像你在爬山的时候站在半山腰一样。
如果你平的在那个半山腰左右走，那么你的高度是不会变的。这里高度就是z的值。这条你刚刚走的线就是等值线。既然在求梯度的时候要求导，正如一元函数一样，你把“很小的曲面”当作“平面”来求导，正如你在一元函数中把“一小段曲线”当化做"直线"一样。你可以想象如果你笔直朝着山顶走，就可以最快的上升（如果是平面,而且你的速度一定的话）。这条向上的线的就是梯度向量加上z的增量所组成的向量。（注意，二元函数的梯度是二维的向量。两个维度是自变量。）
现在你已经在这个曲面上找到了等值线和梯度了，试想下，你在一个斜的平面上走，向上升最快的方向是不是唯一的呢？平着走和向上走两个方向是不是垂直的呢？所以说,梯度是等值线的法线方向
这就是梯度几何意义，如果用向量乘来计算，那将是
→ →
Δz = grad z · L
我很奇怪为什么打出来这个点乘符号这么小。左边是z的增加量，就是上升多少，右边是一个向上走的方向，一个是你现在选择的前进的方向向量。这里选择前进方向为（Δx,Δy）,得到：
ΔZ=Z'｜x · ΔX +Z'｜y ·ΔY 你可以看到,这就是二元函数偏导的定义
现在把你前进的速度定为1,也就是L的长度定为1,得到的值就是方向导数这是因为你选定了方向和速度,那么左边就是你上升的速度,也就是方向导数
希望我的话对你理解有所帮助

1、当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。

方向导数和梯度计算方法如下图：

扩展资料：

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

设二元函数f(x，y),对于每一个点P（x，y）都可定出一个向量fx(x，y)i+fy(x，y)j，该函数就称为函数f(x，y)在点P的梯度。函数梯度本意是指一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

---