电动力学拉普拉斯算符基本运算。帮忙求解下下面三个式子

先说明一下，这个倒三角是nabla算子∇，不是laplace算子，laplace算子是正三角。
先求最后一个一般的表达式∇·(φA)，前两个是最后一个的两个特例。用张量表示法比较简单：
∇·(φA) = δij ∂i (φAj) = δij (∂i φ)Aj + δij φ (∂i Aj) = ∇φ·A + φ∇·A
然后用φ=1/r^2，A=r来计算1；用φ=1/r^3，A=r来计算2。

《计算机视觉教程》笔记
编著：章毓晋（清华大学电子工程系）
出版社：人民邮电出版社
出版时间：20173

  由图411可见，利用二阶导数的过零点可以确定边缘的位置，所以二阶导数算子也可用于检测边缘。用二阶导数算子检测阶梯状边缘需将算子模板与图像卷积，并确定算子输出值的过零点。

   拉普拉斯算子 是一种常用的二阶导数算子，对一个连续函数f（x，y），它在位置（x，y）的拉普拉斯值定义为

  常用的两种简单模板分别如图418（a）和（b）所示，它们均满足以上的条件。

  由于以上原因，拉普拉斯算子很少直接用于检测边缘，而主要用于已知边缘像素后确定该像素是在图像的暗区或明区一边。

静电场中，场与源的关系由静电场的基本方程给出。由于 ，电位函数 的微分方程可由静电场的基本方程导出。
将场位关系 代入基本方程 可得
而 称为拉普拉斯算符，上式通常写成
（2318）
称为电位的泊松方程，它是一个非齐次二阶微分方程。
在无源区域中，由于 ，此时电位的方程变为齐次二阶微分方程
（2319）
称为拉普拉斯方程。
在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：
在圆柱坐标系和球坐标系下 的算式以及相应的泊松方程和拉普拉斯方程由附录Ⅱ给出。
前已所述，对静电场的求解，如果已知全空间的电荷分布，或电荷分布在有限的区域，且区域形状简单、电荷分布具有较好的对称性，则可用对场源的矢量积分或基本方程直接求电场强度，但求解的范围极为有限。引入电位函数后，求静电场的问题变为求静电位的问题，也就是在有源区域求解泊松方程，在无源区域求解拉普拉斯方程。在很多情况下，我们遇到的是有限区域的问题，此时，不仅要知道该区域中的电荷分布，还必须给出静电场在边界上的边界条件。这种给定边界条件下求解有限区域内场的问题，称为边值问题。
图233 同轴传输线的电场分布
例234 同轴传输线的内导体半径 ，外导体内半径 。已知内导体的电位为 ，外导体接地，如图233所示。试求同轴传输线内的电位和电场分布。
解 在柱坐标系中，由于同轴传输线的结构具有轴对称性，而电位在内导体表面均匀分布，在外导体表面上为零。故线内电位和电场也具有轴对称性。线内电位满足拉普拉斯方程。
边界条件为：当 ；当 。 根据方程可得
或
积分得
代入边界条件
当 时， ，得
当 时， 代入 与 的关系式得：
于是

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