概率论，微积分与经济学

微积分是高等数学的基础之一，对经济学必然是很重要的。

而现代的经济学的话，尤其是金融领域中，数学的应用已经达到了一个可怕的地步。在计量，精算里面，概率论和数理统计几乎是某些板块的核心。

我很难说这两门课哪一门对你更重要，因为这两门课同样的重要，对一个学经济的人而言。

主要呢还是看你对自己是一个什么期望层次。包括以后学了经济想干什么。比如以后当个精算师什么，进什么著名的所之类的，那这些课都要学到极好才行。本科一般都是读数学的，然后出国读个博士。出国的话，读博士今后一般走科研方向，不过找工作是及其好的，几乎在哪里都有人抢你。出国读一个硕士的话，其实在国外并不被看好，可能回国之后找个工作还行吧。至于本科么？不太明白出国是去学什么？

自学的话，如果你学的不是太扎实的话，就用一般的水平的教材就好了。你去看看人家南大档次的用什么教材，就看呗。个人感觉，学经管的，数学其实和数学系的学的是差不多的，不要向那些工科生看齐。

比如可以用杨振明的《概率论》，内容还是很丰富的，看多少就看你的造化了。如果不行的话，可以自行去找一些工科性质的教材。

微积分么，应该都差不多吧，难的也看不懂。推荐徐森林版本的《数学分析》，很温和。

总结，概率论和微积分对经济学都很重要，其实是概率论最重要，但是没有微积分你学不好概率论。

金融学经典教材:

国外：货币金融学（第六版）——（美）米什金，2005-1-1，中国人民大学出版社，刘毅译，经典著作；

金融学（Finance）——（美）博迪，2004-01-01，中国人民大学出版社，伊志宏译；

国内：金融学（第二版）精编版（又名货币银行学（第四版））--黄达，2009-12-22，中国人民大学出版社

微积分:

经济类对数学要求不高，看经济类或工科类高数的就行，高教出版社出版的同济版的《高等数学》（也可算是经典的）或者《微积分》就不错，用人大或者浙大的教材也行，如果想经典一点的教材，可以选高等教育出版社出版的菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》或者科学出版社出版的柯朗的《微积分和数学分析引论》。微积分教材各版差别不是很大，关键是练习，推荐吉米多维奇的《数学分析习题集》，这是本经典著作，有很多翻译版本，比如华中科技大学出版社出版的黄光谷等编的《吉米多维奇数学分析习题集选解（上下册）》，安徽人民出版社出版的杨立信、毕秉钧编的《数学分析习题全集》，安徽人民出版社出版的廖良文、许宁编的《吉米多维奇数学分析习题全解（共5册）》等等，很多，能找到哪本就看哪本吧。

虽然国金融院系对数学要求不高，建议你还是仔细研读，尤其是应用数学，比如博弈论、概率论、统计学、数学建模等等，据说美国华尔街搞金融的大多是原来搞应用数学的。

预习可以看微积分和金融学，关键是我回答了你的关键问题啊。

以下是浙江大学金融学专业本科培养方案，可以稍微看看，以便入学后可以有目的有系统地学习。根据该校培养方案，大一只有两门主干课，分别是微积分和会计学。大一刚入学，有一段适应期和兴奋期，这段时间会有大量的学生活动及军事理论课、军训等必修课程，基本上是上不了几门专业课的。

金融学专业培养方案

培养目标

本专业培养具有金融学理论知识和业务技能，能胜任银行、证券、投资、保险等金融机构及其它经济管理部门和企业相关工作，并具有国际视野和领导才能的高级专门人才。

培养要求

本专业的学生主要学习金融、国际金融、公司金融、金融市场、证券、信托、投资、保险等方面的基本理论和基础知识，受到金融业务的基本训练，获得金融领域实际工作的能力。

毕业生应获得以下几方面的知识与能力：

1 掌握金融学科的基本理论、基础知识；

2 具有处理银行、证券、信托、投资与保险等方面业务的适应能力；

3 熟悉国家在金融领域的相关方针、政策和法规；

4 了解本学科的理论前沿和发展动态；

5 熟练地掌握一门外语，具有一定的科学研究和实际工作能力。

专业核心课程

金融学 国际金融学 证券投资学 商业银行经营与管理 保险学 中级计量经济学 公司理财 金融工程学 国际财务管理 金融经济学 行为金融

教学特色课程

双语教学课程： 国际财务管理 金融经济学 中级计量经济学 国际结算 公司金融研究

工程设计课程： 金融工程学

计划学制 4年 最低毕业学分 160+4+5 授予学位 经济学学士

学科专业类别 经济学类 所依托的主干学科 应用经济学

说明 辅修专业：30学分。（①大类课程中的微观经济学（甲）和宏观经济学（甲）；②大类课程中的必修课程和专业课程中标注“”的课程。）

双专业： 59学分。（①大类课程中的微观经济学（甲）和宏观经济学（甲）；②大类课程中的必修课程中标注“”的课程；③专业课程中必修课程44学分。）

双学位： 73学分。（①大类课程中的微观经济学（甲）和宏观经济学（甲）；②大类课程中的必修课程中标注“”的课程；③专业课程58学分。）

课程设置与学分分布

⒈ 通识课程 475+5学分

见社科类培养方案中通识课程。

⒉ 大类课程 42学分

（1）必修课程 38学分

除修读社科类培养方案中大类必修课程21学分外，还需修读以下课程：

课程号 课程名称 课程学分 建议修读年级、学期

061B0190 微积分Ⅲ 15 一 夏

Calculus Ⅲ

061B9090 概率论与数理统计 25 二 秋冬

Probability Theory & Mathematical Statistics

061B0010 常微分方程 10 二 春

Ordinary Differential Equation

中级微观经济学 30 二 秋冬

Intermediate Microeconomics

计量经济学 30 二 春夏

Econometrics

201A0030 会计学 30 一 春夏

Accounting

011A0050 金融学 30 二 秋冬

Economics of Money, Banking, and Financial Markets

（2）选修课程 4学分

学生须在工程技术类（课程号带“C”）或艺术设计类（课程号带“D”）中选择修读。

⒊ 专业课程 58学分

（1）必修课程 44学分

课程号 课程名称 课程学分 建议修读年级、学期

01120260 国际金融学 30 二 春夏

International Finance

01120940 公司理财 30 二 春夏

Corporate Finance

01121090 国际贸易学 30 三 秋冬

International Trade

01120970 商业银行经营与管理 30 三 秋冬

Commercial Bank Management

01120730 证券投资学 30 三 秋冬

Security Investment

01121020 中级计量经济学 30 三 秋冬

Intermediate Econometrics

公司金融研究 20 三 秋冬

Corporate Finance Research

01120421 金融市场营销学 20 三 秋

Financial Services Marketing

01121110 国际投资学 20 三 冬

International Investment

01192340 投资银行理论与实务 30 三 春夏

Investment Banking Theory and Practice

01120010 保险学 30 三 春夏

Insurance

01120400 金融工程学 30 三 春夏

Finance Engineering

01121070 国际财务管理 30 三 春夏

International Financial Management

行为金融 30 三 春夏

Behavioral Finance

01121130 金融经济学 30 四 秋冬

Financial Economics

01120391 金融法 20 四 秋

Financial Law

（2）实践教学环节 6学分

课程号 课程名称 课程学分 建议修读年级、学期

社会调查 30 二 短学期

Social Survey

01188070 专业实习 30 三 短学期

Professional Internship

（3）毕业论文（设计） 8学分

课程号 课程名称 课程学分 建议修读年级、学期

01189010 毕业论文 80 四 冬、春夏

Graduation Dissertation

⒋ 个性课程 13学分

学生可自主选择修读全校大类课程、专业课程。允许学生使用专业选修课程的部分学分冲抵确认主修专业前的收费修课学分和国际交流同类课程学分，为学生学分互认提供方便，但学分互认必须经院（系）核准。

专业推荐的个性课程如下：

课程号 课程名称 课程学分 建议修读年级、学期

金融数学基础 20 二 夏

An Introduction to Mathematical Finance

01186300 公共经济学 30 三 秋冬

Public Economics

01196140 比较金融制度 20 三 冬

Comparative Financial System

01120410 金融企业管理学 30 三 春夏

Management of financial enterprises

01192371 信托与租赁 20 三 夏

Trust and Lease

01192381 银行会计学 20 四 秋

Bank Accounting

01192391 中国金融问题研究 20 四 冬

Chinese financial problems

01192071 国际结算 20 四 冬

International Settlement

01192281 风险管理 20 四 春

Risk Management

⒌ 第二课堂 +4学分

有，高中数学选修2-2中的第一章，在导数之后，但是比较简单的内容，没有深入微积分是函数，用到了极限思想。

1、定义

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

2、基本内容

微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

3、相关评价

冯·诺依曼说：微积分是现代数学的第一个成就，而且怎样评价它的重要性都不为过。我认为，微积分比其他任何事物都更清楚地表明了现代数学的发端；而且，作为其逻辑发展的数学分析体系仍然构成了精密思维中最伟大的技术进展。

阿蒂亚说：人们要求降低微积分学在科学教育中的地位，而代之以与计算机研究关系更密切的离散数学的呼声日渐高涨。许多离散现象的重要结果还是通过使用微积分才得到了最好的证明。直到现在，分析无穷性的微积分学的中心地位仍然是无可争议的。

资料很少。找到英文的，翻译了一下。

Jesse Douglas (3 July 1897–7 September 1965) was an American mathematician He was born in New York and attended Columbia College from 1920–1924 Douglas was one of two winners of the first Fields Medals, awarded in 1936 He was honored for solving, in 1930, the problem of Plateau, which asks whether a minimal surface exists for a given boundary The problem, open since 1760 when Lagrange raised it, is part of the calculus of variations and is also known as the soap bubble problem Douglas also made significant contributions to the inverse problem of the calculus of variations The American Mathematical Society awarded him the Bôcher Prize in 1943

Douglas later became a full professor at the City College of New York (CCNY), where he taught until his death At the time CCNY only offered undergraduate degrees and Professor Douglas taught the advanced calculus course Sophomores (and freshmen with advanced placement) were privileged to get their introduction to real analysis from a Fields medalist

杰西道格拉斯（1897年7月3日至1965年9月7日）是一名美国数学家。 他生于纽约，1920年到1924年在哥伦比亚学院上大学。 道格拉斯是1936年第一届菲尔兹奖两名获奖者之一。 他因解决了普拉托极小曲面问题而获此殊誉，该问题是问当给定一个边界时，是否存在一个极小曲面。 此问题由拉格朗日于1760年提出，它是变分法的一部分，也被称为肥皂泡问题。 道格拉斯同样对变分法的逆问题做出了很大的贡献。美国数学会于1943年授予他伯克霍夫奖。

后来道格拉斯成为了纽约城市大学的全职教授，在那终生任教。当时纽约城市大学只授予本科学位，道格拉斯教授主讲高等微积分课程。二年级学生（一年级的高阶班）有权享受到来自菲尔兹奖得主给予他们在实分析课程方面的引导。

相关书籍：

The Problem of Plateau - A tribute to Jesse Douglas and Tibor Rado, (River Edge, NJ, 1992)

M Struwe: Plateau's Problem and the Calculus of Variations, ISBN 0-691-08510-2

R Bonnett and A T Fomenko: The Plateau Problem (Studies in the Development of Modern Mathematics), ISBN 2-88124-702-4

M Giaquinta and S Hildebrandt: "Calculus of Variations", Volumes I and II, Springer Verlag

级数

series

将数列un的项 u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如：u1＋u2＋…＋un＋…，简写为un称为级数的通项，记称之为级数的部分和。如果当m→∞时 ，数列Sm有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为否则就说级数发散。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数， 微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：收敛任意给定正数ε，必有自然数N，当n＞N时 ，对一切自然数 p，有｜un+1＋un+2＋…＋un+p｜＜ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

如果每一un≥0（或un≤0），则称为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界，例如 收敛，因 为 有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如 的级数，称之为交错级数。判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 ：若un ≥un+1 ，对每一n∈N成立，并且 ，则交错级数收敛。例如

收敛。对于一般的变号级数如果有收敛，则称变号级数绝对收敛。如果只有 收敛，但是发散，则称变号级数条件收敛。例如绝对收敛，而只是条件收敛。

如果级数的每一项依赖于变量 x，x 在某区间I内变化，即un＝un（x），x∈I，则称为函数项级数，简称函数级数。若x＝x0使数项级数收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数都收敛，就称I为收敛区间。显然，函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S（x），即如果满足更强的条件，在收敛域内一致收敛于S（x）。

一类重要的函数级数是形如的级数，称之为幂级数 。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数的收敛区间是，幂级数的收敛区间是[1，3]，而幂级数在实数轴上收敛。

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数学分析(Mathematical Analysis)是数学专业的必修课程之一，基本内容是微积分，但是与微积分有很大的差别。

微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Caculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。

早期的微积分，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展。柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）为微积分奠定了坚实的理论基础，微积分逐渐演变为非常严密的数学学科，被称为“数学分析”。

数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。

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微积分 英文名：Calculus

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

微积分学是微分学和积分学的总称。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分学的建立

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。

其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……

欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

微积分的基本内容

研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。

本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

一元微分

定义

设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

几何意义

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

多元微分

同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

其中：[F(x) + C]' = f(x)

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

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概率论

probability theory

研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。概率论与实际生活有着密切的联系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。

概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，法国数学家B帕斯卡、Pde费马及荷兰数学家C惠更斯基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题等。随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家J伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后Ade棣莫弗和PS拉普拉斯 又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家PL切比雪夫、AA马尔可夫、AM李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面AN柯尔莫哥洛夫、N维纳、AA马尔可夫、AR辛钦、P莱维及W费勒等人作了杰出的贡献。

如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。

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