函数：X → Y；表示：当 X 取值 “确定” 时，Y 的取值也是 “确定” 的；
蕴含：P =>Q；表示：当 P 取值 “为真” 时，Q 的取值也是 “为真” 的；
（1）函数所讨论的是 “任意变量”；蕴含只讨论 “命题变量”；
（2）函数和蕴含都表达了两个变量之间的一种关系：前一个变量的取值（至少是某些取值） “决定” 了后一个变量的取值；但是：
（3）函数中的 “决定”，是对前一个变量（自变量）在一定论域（定义域）内的所有取值均适用的；
而在蕴含中，只有在前一个变量（条件）为真时，另一个变量（结论）才有确定的取值——真。仅此一条，就足以说明：蕴含不是函数。
（4）利用函数自变量和因变量的取值，可以构造出命题变量，然后就可以建立蕴含关系了：对任意函数：Y = F（X）；其任意的自变量 x0，可以构造两个命题：
P：X = x0；
Q：Y = F（x0）；
显然：P =>Q；
即对任意函数的任意一个自变量及其函数值，都可以构造一个蕴含关系。这也算是函数与蕴含之间的一种联系吧!
1.｛1｝A→B P2.｛2｝CD→A P
3.｛3｝B→D P
4.｛4｝CD→E P
5.｛5｝CE→A P/∴AC→BE
6.｛6｝AC P
7.｛6｝A∧-6
8.｛16｝B →-1.7
9.｛136｝D →-3.8
10｛6｝C ∧-6
11｛136｝CD ∧+9.10
12｛1246｝E→-4.11
13｛1246｝BE ∧+8.12
14｛124｝AC→BE→+6.13
证毕
蕴涵（“→”）是一种命题运算的二元算子，其前域是后域的充分条件。充分条件句就是蕴涵句。p是q的充分条件，意味着有p必定有q；但，无p未必无q。这样p就是q的充分条件。
数据库中的范式问题．理论和时间要结合．第一范式：当且仅当一个关系变量的所有的合法的值中，每一个元组的每个属性只含有
一个值时，该关系变量属于1 N F。
第二范式：（假定只有一个候选码，且该候选码是主码）当且仅当一个关系变量属于
1 N F，且该关系变量的每一个非码属性都完全函数依赖于主码时，该关系变量属于2 N F。
第三范式（假定关系变量只有一个候选码，且该候选码是主码）：当且仅当一个关系变
量属于2 N F且该关系变量的所有非码属性都不传递依赖于主码时，该关系变量属于3 N F。
注意：“不传递依赖”蕴涵不互相依赖，从这个意义上说，该术语的解释和本节开始的
解释一样。
多值依赖： R是一个关系变量， A、B和C是R的属性的子集。那么我们说B多值依赖于A
—符号如下：A→→B（读做“A多值决定B”，或简单地称为“ A双箭头B”）—当且仅当
对于每一个可能的合法R值，B值的集合对于给定的一组（ A值，C值）只依赖于A的值，而与
C的值无关。
很容易看出—参见[ 1 2 . 1 3 ]—对于给定的变量R{A,B,C}，多值依赖A→→B存在，当且
仅当多值依赖A→→C也存在。这样M V D总是成对的一起出现。因此通常用一种语句来表示它
们：A→→B|C。例如：C O U R S E→→T E A C H E R | T E X T。
在前面我们已经提到，多值依赖是一般化的函数依赖，在这种意义上讲每一个F D都是
M V D。更精确地说，一个F D就是一个只有一个依赖值（右边的）与一个给定的决定值相符合
的M V D。因此，如果A→B，那么一定A→→B。
第四范式：只要存在R的属性的子集A和B，满足非平凡的多值依赖，并且R的所有属
性也都函数依赖于A，这样的关系变量R满足4 N F。
换句话说，在R中的唯一的非平凡的依赖（函数依赖或多值依赖）是K→→X形式（例如：
一个超码K对另一个属性X的函数依赖）。同样，如果R是B C N F，并且R中的所有非平凡的多值
依赖事实上都是“非码函数依赖（ FDs out of key）”，则R是4 N F的。因此特别要注意的是，
4 N F包含了B C N F。
第五范式：一个关系变量R是第五范式—也称为投影-连接范式（ P J / N F）—当且仅当
R的每一个非平凡的连接依赖都被R的候选码所蕴涵。
注意：下面解释一下对于一个J D“被候选码所蕴涵”的含义。
关系变量S P J并不是5 N F；它满足一个特定的连接依赖，即3 D约束。这显然没有被其唯一
的候选码（这个候选码是其所有的属性值的组合）所蕴涵。可以表示其区别如下：关系变量
S P J并不是5 N F，因为（ a）它是可以被3分解的；（b）可3分解性并没有为其{ S #，P #，J # }是
一个候选码的事实所蕴涵。相反， 3分解后，由于三个投影S P、P J和J S根本不包括任何（非平
凡的）连接依赖，因此它们都是5 N F。
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