数学建模-方法合集

一． 数学的重要性：

学了这么多年的书，感觉最有用的就是数学课了，相信还是有很多人和我一样的想法的

大家回想一下：有什么课自始至终都用到？我想了一下只有数学了，当然还有英语。

特别到了大学，学信号处理和通信方面的课时，更是感到了数学课的重要性。

计算机：

数据结构，编程算法哪个不需要数学知识和思想。

有这样的说法，数学系的人学计

算机才是最牛的。

信号与系统：这个变换那个变换的。

通信：此编码彼编码的。

数字图

像与模式识别：这个概率论和数理统计到处都是。

线性代数和矩阵论也是经常出现。

二． 数学的学习方法：

最重要的是遇到问题首先不畏惧，然后知道类似的问题别人是如何处理，我们是否可以

借鉴，然后再比较我们的问题和已有的问题有何异同，已有的方法有什么不足，我们应

从哪里着手考虑新方法。

思考路线比具体推导更重要。

数学并非说得越玄乎越显水平。

真正的理解在于抓住实质，"如果你还觉得某个东西很难、很繁、很难记住，说明你还沉

迷于细节，没有抓住实质，抓住了实质，一切都是简单的。

"这是概率之父Kolmogorov的

名言。

我们平时在学习数学时，也时刻问自己，能不能向一个外行讲清楚这是怎么回事

，如果不能，说明我们自己还没有真正理解。

数学推导的功夫应该是在课下通过大量的

练习得到的，在课下花的时间要远大于课上的时间。

三． 数学软件介绍：

在当今30多个数学类（为区别于文字处理和作图类而加的修饰词）科技应用软件中，就

软件数学处理的原始内核而言，可分为两大类。

一类是数值计算（Number Crunching）

）型软件，如Matlab， Xmath，MLAB等。

这类软件对大批数据具有较强的管理、计算和

可视化能力，运行效率高。

另一类是数学分析（Math Analysis）型软件，如Mathemati

ca、Maple，Macsyma等。

它们以符号计算见长，并可得到解析符号解和任意精度解，但

处理大量量数据时运行效率较低。

经过多年的国际竞争，MATLAB已经占据了数值型软件

市场的主导地位，处于其后的是Xmath;而Maple，Mathematica，Macsyma位居符号软件的

前三名（见IEEE Spectrum）。

在国际流行的科技应用软件中，Mathcad 别具特色。

该

软件的开发商Mathsoft公司一开始就把面向教学和办公作为Mathcad的市场目标。

在对待

数值计算、符号分析、文字处理、图形能力的开发商，不以专业水准为追求，而尽力集

各种功能于一体。

MathWorks公司顺应多功能需求之潮流，在其卓越数值计算和图视能力

的基础商，又率先在专业水平上开拓其符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控

制能力，精心营造适合多学科、多部门要求的新一代科技应用软件MATLAB。

对电子系同学最常用的软件而且基本上唯一使用的数学软件就是matlab了。

Matlab 53

版本（最新版本60版）完全安装，包括帮助、以及各种工具箱一共竟需要1G多硬盘空间

当然，这一个G的容量并不是被各种垃圾文件所充斥，相反的，它是由无数在Matlab系

统上运行的函数文件所占据。

由此可以看出Matlab的功能是多么的全面。

1984年，计算

数学家Steve Bangert、Steve Kleiman、John Little、Cleve Morer在原来 FORTRAN程

序的基础上开发了一个解决线性系统计算问题的C语言程序，他们给它起了个响亮的名字

Matlab(Matrix Laboratory)。

从此以后，Matlab系统便一发而不可收拾，成千上万的软

件工程师、计算科学家、和各种应用领域的科技工作人员加入了Matlab的开发者的行列

他们把各自科研、应用领域中的常用算法用Matlab系统提供的编程语言做成程序集，

于是就产生了Matlab的特色之一："工具箱系统"(Toolbox)。

在Matlab53 中大约有几十

个工具箱，其中包括通信，信号系统分析、离散信号分析、优化、偏微分方程、小波变

换、地图、财经、电力系统、神经网络，数值计算等等。

工具箱中每一个函数都是采用

了该领域中最先进的高效算法，无数这样的函数文本文件组成了Matlab这个巨无霸，由

此可见，Matlab对于解决工程问题是极其具有优越性的。

是我们电子系学生的最爱。

上

面介绍了Matlab的主要特色之一：工具箱。

下面来谈谈它的另一个特色，就是与其他语

言和编译器之间的接口。

这个问题一直是关于Matlab的最热门的话题。

原因很简单，1

Matlab如此全面高效的算法和功能都是建立在Matlab提供的平台上才能运行，这样限制

了这些程序的使用范围，即如果想应用这些程序，你首先必需在你的计算机上安装一个

多达几百兆的Matlab，给使用带来了不便。

另外，由于Matlab采用的是逐行解释的方式

来执行代码，因此运行速度比编译为exe 的二进制文件要慢，因此，利用编译器，把m文

件变为二进制的exe或dll文件，会大大缩短计算时间 尽管Matlab是一个完善的系统，

但毕竟术业有专攻，各种语言的可视化编程环境(如VC，C++Builder，Delphi等)在用户

界面设计和其他系统功能方面具有Matlab不能比拟的快捷和高效，因此，如何把Matlab

强大的数值计算功能与可视编程集成环境IDE结合起来，开发用户 *** 作方便、计算功能完

备、运行快捷的应用程序便成为程序开发者的最大愿望。

Matlab中包含了大量的矩阵运

算、数值运算函数、图形 *** 作函数、用户图形界面函数等等，用他可以象C语言一样书写

函数流程，而且开发WIN图形界面的用户程序。

Matlab强大的功能、方便的 *** 作给它赢得

了世界上最流行的数学软件的桂冠。

难怪在网上大家奔走相告"出国前一定要把Matlab学

好"。

四． 其他数学软件简介（也算开开眼界尽管基本上不用（除了第一个外））：

1． Mat：Mat是MathTools开发的一个m文件解释器（即将Matlab中的编程语

言解

释为C语言），不仅可以把m文件编译为可以独立执行的exe或dll文件，而且可以自动产

生C源代码，供其他高级语言编译器使用。

Mat所实现的在C语言中直接书写类似于ma

tlab语句的功能，带来了以下几个明显的优点：一，是利用Mat编制的程序可以在任

何不安装 Matlab系统的计算机上运行; 二是运行速度比m文件快了数倍；三是实现了Ma

tlab强大的计算功能与各种C编译器界面设计 的完美组合。

我现在最喜欢用的就是在vc

上作界面来方便用户 *** 作，用Mat库实现算法计算，这样相得益彰，用这种方法编成

的程序， *** 作方便简洁，计算图形功能强大，速度快。

2． Mathmatica：最令人着迷的是它的完美的符号运算功能。

所谓符号运算是指它

所处

理的对象不仅仅是常见的数字（如12或314），而是一些带有代数符号的表达式，我们

在代数中曾经学过运用代数的运算规则，对一个含有符号的表达式进行恒等变换，一个

函数就是一种规则或者说映射，比如定义如下一个规则，我们就可以运用这法则将下式

变换。

而Mathematica正是具有这种类似人类思维的功能，它能不断学会并记忆各种变化

规则，并把这些各式各样的变化应用到各种表达式上，无论形式多么复杂，总能得到我

们想得到的带有代数符号的结果。

而在C语言或其他编程语言中，对于一个符号，必须先

声明，然后赋值才能使用。

因此它所表达的含意是有限的，而Mathematica完全抛开了这

种限制，一个符号可以表示任意对象，没有类型限制，真正实现了"代数"中的"代"字。

Mathematica象一个不知疲倦的公式推导家，它能在一秒钟之内将一个复杂的函数关系复

合上万次，它能在各种复杂表达式形式中找到最简单的。

Mathematica对于大一、大二的

同学可能是一个福音，对于大家在高等数学、线性代数中常碰到的对表达式求极限、微

分、定积分、不定积分、级数、向量代数等内容在Mathematica都有内部函数来直接计算

结果。

当然，希望大家还是自己动手练一练公式推导的基本功，把Mathematica当作一个

检验工具是无可厚非。

Mathematica40中， 系统函数涵盖了微积分、线性代数、概率、

几何、图论、组合数学、数论数学、特殊函数等绝大多数常用数学分支。

3． Mathcad 80，Maple 5： 著名的符号运算数学软件，与Mathematica 类似，内

存管

理较好，SAS 612 统计学专业软件，压缩文件100多M（最权威的统计软件）。

4． 其他：SPSS 80 社会科学统计软件包；Lindo/Lingo 50线性、非线性规划软件

；A

nsys 54 权威的有限元法（FEM）计算软件，安装文件约200~300M ；Algo 有限元法软

件包；Statistics 统计软件 ；Datafit 数值拟合专业软件 ；Origin 60 微软的数据

分析绘图软件，可以与Excel数据库通讯；Netlib 网络并行计算库 ；Isoft 电磁仿真软

件 ；Auto 非线性动力系统计算软件 ；Flexpde 210 求解偏微分方程的数值软件；Te

cplot 80流速与值线流体力学 ；RATS 数值分析软件。

一、是数学建模竞赛

数学建模竞赛就是这样。

它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数

学竞赛(那种纯数学竞赛)不同。

它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的

计算机竞赛，它涉及物理，化学，生物，电子，农业，管理等各学科，各领域的知识，

但也不是这些学科领域里的纯知识竞赛。

它涉及各学科，各领域，但又不受任何一个具

体的学科，领域的局限。

它要用到各方面的综合的知识，但还不限此。

选手们不只是要

有各方面的知识，还要有驾域这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。

知识是无

止境的，你还必须有善于获得新的知识的能力。

总之，数学建模竞赛，即要比赛各方面

的综合知识，也比赛各方面的综合能力。

它的特点就是综合，它的优点也是综合。

在这

个意义上看，它与任何一个学科领域内的知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点

也就是不纯，综合就是不纯。

纯数学竞赛，如中学生的国际数学奥林匹克竞赛，或美国

大学生的普特南数学竞赛，已经有很长的历史，也为大家所熟悉。

特别是近若干年来我

国选手在国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩，更使这项竞赛在我国有很高的知名

度，在全国各地的质量教高的中学中广泛开展。

纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知

识的掌握情况逻辑推理及证明的能力和技巧思维是否敏捷，计算能力的强弱等。

试题都

是纯数学问题，考试方式是闭卷考试。

参赛学生在规定的时间(一般每次为三小时)内独

立做题，不准交头接耳相互讨论，不准看任何书籍和参考资料，不准用计算机(器) 。

考

题都有标准答案。

当然，选手的解答方法可以与标准答案不同，但其解答方法的正确与

否也是绝对的，特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。

考试结果，对每个选手的

答案给出分数，按分数高低来判定优劣。

尽管也要对参赛的团体(代表一个国家，地区

或学校)计算团体总分，但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的，在比

赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。

因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛

而不相帮助。

因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。

团体要获胜主要靠

每名选手个自的水平高低而不存在互相配合的问题(当然在训练过程中可以互相帮助)。

这样的竞赛，对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，对于培养数学家和数

学专门人才，起了很大的作用。

随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于

自然科学各个领域，各学科，而且渗透到经济，军事，管理以至于社会科学和社会活动

的各个领域。

但是，社会对数学的需求并不只是需要在各部门中从事实际工作的人善于

运用数学知识及数学大思维放法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益

和社会效益。

他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就象在学校里做数学应用题)

，而是为了解决实际问题而需要用到数学。

而且不止是要用到数学，很可能还要用到别

的学科，领域的知识，要用到工作经验和常识。

特别是在现代社会，要真正解决一个实

际问题几乎都离不开计算机。

可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用

现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。

你所能遇到的都是数学和其他东西混杂

在一起的问题，不是"干净的"数学，而是"脏"的数学。

其中的数学奥妙不是明摆在那里

等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。

也就是说，你要对复杂的问题进行分析

，发现其中的可用数学语来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这

就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

模型这个词对我们来说并

不陌生，它可以说是对某种事物的一种仿制品。

比如飞机模型，就是模仿飞机造出来的

既然是仿造，就不是真的，只能是"假冒"，但不能是"伪劣"，必须真实地反映所模仿

的对象的某一方面的属性。

如果只是模仿飞机的模样，这样的飞机模型只要看起像飞机

就行了，可以摆在展览馆供人参观，照相，但不能飞。

如果要模仿飞机的飞行原理，就

得造一个能飞起来的飞机模型，比如航空模型比赛的作品，它在空气中的飞行原理与飞

机有相同之处。

但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行，外观上也不必那么像飞机，可见

，模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。

而数学模型，就是用数学语言(可能

包括数学公式)去描述和模仿实际问题中的数量关系，空间形式等。

这种模仿当然是近似

的，但又要尽可能的逼真。

实际问题中的许多因素，在建立数学模型时你不可能，也没

有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次

要因素，数学模型建立起来后，实际问题化成数学问题，就可以用数学工具，数学方法

去解答。

如果有现成的数学工具当然好。

如果没有现成的数学工具，就促使数学家们(也

包括建立数学模型的人)寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发

展。

例如，开普勒由行星运动的观测数据总结出开普勒三定理(这就是行星运行的数学模

型)，牛顿试图用自己发现的力学定理去解释它，但当时的数学工具是不够用的，这使了

微积分的发明。

求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行

大量计算。

这在电子计算机发明之前是很难实现的。

因此，很多数学模型，尽管从数学

理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。

而计算

机的出现和迅速发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。

而在现在，要真

正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。

数学模型建立起来了，也用数学方法

或数据方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢不是。

既然数学模型只能近似地反映实

际问题中的关系和规律，到底反应的好不好，还需要接受检验。

如果数学模型建立的不

好，如果没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。

因此，在得

出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的考察，看它是否合理，是否可行。

如果不

符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行

，才算是得到一个解答，可以先付诸实施，但是，十全十美的答案是没有的，已得到的

答案一定还有改进的余地，还可以根据实际情况，或者继续研究和改进;或者暂停告一段

落，待将来有新的情况和要求后再作该进。

上面所说的建立数学模型来解决问题的过程，是各行各业各个领域大量需要的，也是我

们的学生在走上工作单位后常常要做的工作。

做这样的事情，所需要的远不只是数学知

识和解数学题的能力，而需要多方面的综合能力。

社会对具备这种能力的人的需求，比

对数学专门人才的需求要多的多。

因此，在学校里就应当努力陪养和提高学生在这方面

的能力。

当然有多种形式来达到这个目的。

比如开设数学模型方面的课程;让学生多接触

实际工作，得到锻炼，获得知识及其他各方面的能力)去参与解决问题的全过程。

这些实

际问题并不限于某一方面，可以涉及非常广泛的，并不固定的范围。

这样来促进应用人

才的培养。

二、数学模型的基础

1． 数学模型的定义

现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同: 的角度可以有不同的定义

不过我们可以给出如下定义。

: "数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作

的一个抽象的、简化的结构。

" : 具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数

学及其它:数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特

征及其内在联系的数学结构表达式。

2．建立数学模型的方法和步骤

第一、 模型准备 (问题的提出与分析)

首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特

征。

第二、 模型假设与符号说明

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设

，是建模至关重要的一步。

如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法

欠佳的行为，: 所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次

，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

第三、 模型的建立与求解

通过对问题的分析和模型假设后建立数学模型（模型运用数学符号和数学语言来描述）

，并过设计算法、运用计算机实现等途径（根据模型的特征和要求确定）求解模型！此

过程是整：个数模过程的最重要部分，需慎重对待！

第四、 型的检验

即通过问题所提供的数据或相对于实际生活中的情况对模型的合理性、准确性等进行判

别模型的优劣！可通过计算机模拟等手段来完成！

第五、 模型的完善与推广

此步骤可根据建模时具体情况而定！

关于建模的步骤并不一定必须按照以上几步进行，有兴趣的同仁可参考建模的相关书籍

三、数学建模

参考资料：

1、《数学模型基础》 王树禾 中国科学技术大学出版社 1996

2、《数学模型》 谭永基，俞文 复旦大学出版社 1997

3、《数学建模竞赛教程》 李尚志 江苏教育出版社 1996

这些书均可在图书馆借到或在九章书店买到。

其他方面的书也很多，有足够时间可以去

翻翻。

全国大学生数学建模竞赛的有关信息，可在Inter上中国工业与应用数学学业

会 （CSIAM）的主页内浏览，网址为：csiamedu/。

数学建模比赛每年

的9月下旬举行，每年6月份报名，三人组成一个参赛队。

欲参加比赛的同学应该到数学

系旁听数学模型课或者选修公共选修课"数学模型"。

《吉米多维奇数学分析习题集》

本书只适合超级大牛同学做。

图书馆有借和海淀图书城的九章数学书店有售。

《数学分析中的典型问题与方法》

裴礼文著，高教出版社。

本书可谓宝典级的圣书。

适合一般牛的同学。

图书馆不多，九

章书店有售。

《大学生数学竞赛试题解析选编》

第二版，李心灿等编，高教出版社。

凡是科协课外小组的同学要求人手一本。

里面收集

了北京市大学生数学竞赛的历年真题，比较好，对于水平中等及中等以上的同学均有意

义。

九章数学书店有售。

《高等数学复习题解与指导》

陈文灯著，上下两本，北京理工大学出版社：该书讲解十分详尽，对于各类水平的同学

均有很大的帮助。

呕血推荐！！！九章书店有售。

《数学复习指南》

理工类，陈文灯等著。

该书高数内容与上本书基本一致。

但该书还有线性代数，概率论

等部分，非常全面。

图书馆有借。

各大书店均有售。

适合所有水平的同学。

《高等数学解题过程的分析和研究》

钱昌本著。

该书主要介绍高等数学的思维方法。

例题很有启发性。

图书馆有借。

九章书

店有售。

从常微分方程开始，数学课就变成没底的东西，每一个标题做下去都是数学研究里面庞

大的一块。

对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断。

下面开始说参考书，毫无

疑问，我们还是得从我们强大的北方邻国说起。

《常微分方程讲义》

彼得罗夫斯基。

在20世纪数学史上，这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位

从学术上说，他在偏微那一块有非常好的工作，五十年代谷先生去苏联读学位的时候

还参加过他主持的讨论班。

他从三十年代末开始就转向行政工作。

在他早年的学生里面

有许多后来苏联的高官，所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个

保护伞，他这本书在相当长的时期里是标准教材。

《常微分方程》

庞特里亚金。

庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明，在母亲的鼓励和帮助

下，他以惊人的毅力走上了数学道路，别的不说，光看看他给后人留下的"连续群"，"最

佳过程的数学理论"，你就不得不对他佩服得五体投地，有六体也投 下来了。

他的这本

课本就是李迅经先生他们翻译的。

此书影响过很多我们的老师辈的人物。

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程要使这个课程基本理念真正落实到高中数学教学中，教师应根据学生的认知水平和已有的知识经验设立体现数学某些重要应用的课程，开展“数学探究”“数学建模”的学习活动，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力，体验数学的真谛

20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一当今知识经济时代，数学正从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广阔的前景我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强近几年来，我国大学 、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野在这样的课程理念下，人民教育出版社课程标准B版教材给我们吹来了一股春风，它不仅仅是简单的文字变化，而是教学思想理念的突出体现整套教材设立了大量的“数学探究”“数学建模”等学习活动，提供了基本内容的实际背景，反映了数学的应用价值这些体现数学应用的课程为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造了有利条件，同时也激发学生的数学学习兴趣、鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯

下面笔者就对“函数（第一课时）”内容进行了如下教学设计和尝试

教材分析

1本课的地位和作用

函数是数学中重要的基础概念之一。学生进一步学习的高等数学基础课程，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程和泛函分析等，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的。其他学科，如物理学科等，也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。它是在初中初步探讨函数的概念，函数关系的表示方法、图象的位置等基础上，对函数概念的再认识，即用集合的思想理解函数的一般定义。函数及应用研究的深入及提高，也是今后进一步参加工农业生产建设需要具备的基础知识本章的学习对中学生数学学习起着决定性的作用而且不仅是知识性方面，更重要的是在数学建模方面，也将是终身受益的一章

2教学重点与难点

重点:体会函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要数学模型,在映射的基础上理解函数的概念

难点:对函数符号y=f(x)的理解

教学目标

1知识与技能目标：

(1)通过不同的生活实例帮助学生建立数学概念的背景,从而正确理解函数的概念

(2)能用集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的要素，即定义域和对应法则；进一步理解对应法则的意义

2．过程与方法目标：

了解函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，再现函数知识产生的过程。在数学建模中体验用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。

3．情感态度与价值观目标：

通过创设实际生活情景，让学生接近现实生活，关注社会实际；感受对应关系在刻画函数的概念中的作用，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情 *** ，培养学生勇于探索的科学精神

教学过程

一、创设问题情境

师：在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述两个变量之间的依赖关系，今天我们将进一步学习函数及其构成要素下面我们一起看几个实例：

问题1：一枚炮d发射后，经过26s落到地面击中目标炮d的射高为845m，且炮d距地面的高度h(m)随时间t(s)的变化的规律是h=130t-5t2提出以下问题：

（1） 炮d飞行1s、10s、20s时距地面多高？

（2） 炮d何时距离地面最高？

（3） 你能指出变量t和h的取值范围吗？分别用集合A和集合B表示出来

（4） 对于集合A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2，在集合B中是否都有唯一的高度h和它对应？

生:因为有初中的基础，很快说出前三个小问题的答案，问题（4）师启发学生用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之对应

[从多媒体展示的生活问题入手，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。]

问题2某市气象观测站测试一天24小时内的气温变化如图所示

(1) 上午8时的气温约是多少？

(2) 你能指出变量t和θ的取值范围吗？分别用集合A和集合B表示出来

(3) 对于集合A中的每一个时刻t,按照图像所示,在集合B中是否都有唯一确定的温度θ和它对应

生1答:上午8时的气温约是0。C；t的取值范围是[0，24]；

θ的取值范围是[-2，9]。

生2答：对于集合A中的每一个时刻t，按照图象所示，在集合B中都有唯一确定的温度θ和它对应。

接着师请学生回顾近十年来自己家庭生活的变化,其中哪些方面的消费变化大哪些方面的消费变化小

[学生回答踊跃,进一步调动了学生的积极性,并亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程,这实际是倡导做数学和用数学,关注学生知识的形成发展的过程]

师又抛出问题3你认为该用什么数据来衡量家庭生活质量的高低幻灯展示恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化

t

91

92

93

94

95

96

97

98

99

00

01

r

538

529

501

499

499

486

465

445

419

392

379

阅读图表后仿照问题1、问题2、描述表中恩格尔系数r和时间t（年份）的关系

生归纳：对于表中的任一个时间t（年份），按照表格，都有唯一的一个恩格尔系数r与之对应

二、探索新知

生分组讨论以上实例的共同特点，归纳总结出：都涉及到两个非空数集A、B，都存在某种对应关系，使对于A中的每一个数x，按照这种对应关系，在B中都有唯一的y与x对应

[实际问题引出概念，激发学生兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。]

1．函数的定义

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数值y和它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。记作，其中定义域：x的取值范围（数集A）叫做函数的定义域；如果自变量取值a，则法则f确定的值y称为函数在a处的函数值。值域：函数值的集合{y/y=,}叫做函数的值域

师生共同回忆在初中介绍的函数概念，它是这样表述的：

设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有惟一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数

[我们看到，这里是用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的]

师：函数的对应法则通常用记号表示，函数记号表明，对于定义域中的任意，在“对应法则”作用下得到在比较简单的情况下，对应法则可用一个解析式来表示，但在不少问题中，对应法则要用几个解析式来表示，有时甚至不可能用解析式来表示，那用什么表示呢？

生：要用其他方式（如列表、图象）来表示

学生分组讨论，函数定义需要注意的几个方面：(师板书)

（1）,方向性；

（2）关键词“任意一个x”“唯一确定的数f(x)”

（3）A，B为非空数集；

（4）A中的任一个元素，B中都有惟一的元素与之对应；而B中的元素在A中的对应元素可以不惟一，也可以没有，显然值域

[教师在讲解概念时，在多媒体屏幕上有意识地用不同颜色的字体，突出强调重点，调动学生的非智力因素理解概念。]

2． 问题4：

(1)下列对应发则是否是在给定集合上的一个函数？

①R，g:自变量的倒数；

②R,h:自变量的平方根；

③R,s:自变量t的平方减2。

（2）下面一组函数，是否为相同的函数？

①f(x)=x2,x∈R;

②s(t)=t2，t∈R;

③g(x-2)=(x-2) 2,x∈R

生：确定一个函数的两要素：定义域和对应法则

师生互动研讨得出：函数用符号表示，在初中学习函数时未出现这个符号，应说明几点：

①，是表示是的函数，不是表示等于与的乘积；

② 不一定是一个解析式；

③ 与 是不同的

3、例题教学：

师出示例1 ，某西瓜摊卖西瓜，6斤以下每斤4角，6斤以上每斤6角请表示出西瓜重量x与售价y的函数关系

生解:用解析法，这个函数的解析表示应分两种情况：

当时，；当时，

师：这种函数叫分段函数，我们还可以用图象法来表示请一位学生画出这个函数的图象

师：请问这个函数关系是否能用列表法表示呢不方便因为西瓜重量的等级太多，列表不易列全

三、巩固练习1：下列图形中可以作为函数图象的是（ ）

练习2：下列函数中哪个与函数是同一函数？

四、课堂小结

这节课的研究学习就到这里了，请大家回顾一下这节课的探索和收获

生1、我们知道了函数定义：设A，B都是非空的数集，那么A到B的映射就叫做A到B的

函数，记作，其中，

生2、我们知道了函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法

生3、我们知道了函数的三要素：定义域；值域；

中的为对应法则定义域为函数的基础，对应法则为函数的核心

生4、本节课我们讨论、合作、交流等小组活动，亲身经历了将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，觉得我们身边处处有数学

师：说得好！这些正是我们这一节课的重心所在，希望以后能看到你们独立思考探索的成果，展示你们的研究风采

五、建模作业

①某种钉子，每只1角5分，买只钉子的钱数是元，请列出与的函数关系式，并画出函数的图象

②邮寄包裹，每千克重的包裹收邮资费2元，邮程超过100km以后，每增加1km加收2角，求邮资与包裹所走的千米数的函数关系

③请同学记录一周的天气预报，列出日最高气温与日期的函数关系

教学评析

一、注重函数概念形成过程，感悟数学真谛

我们都知道数学概念都是从客观世界中直接或间接抽象出来的，其定义大多采用“问题情景—抽取本质属性—推广到一般”的方法给出本节课函数的概念就是在教师的引导下，学生以探索者的姿态出现，参与了概念的形成规律的揭示过程，使其思维亲身经历了一个由具体到抽象、概括事物本质的认知过程，领悟知识形成过程中隐藏的思想方法，则学生获得的不仅是函数概念，更重要的是拓宽了思维空间感悟了数学的真谛，在掌握概念的同时其概括能力得到训练

二、问题设计开放新颖，渗透数学思想方法

我们都知道学生原有的知识和经验是学习的基础，学生的学习都是在原有的知识经验基础上自我生成的过程在学习函数概念前，学生在初中已经接触函数，教学中教师善于运用类比思想，抓住初中与高中两个函数概念的优劣，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性。在学生合作交流的基础上，学生归纳出函数定义的几个注意方面，渗透了转化思想与归纳方法

三、挖掘教材资源，拓展学生探究空间

我们都知道数学教材是数学课程标准的体现，是数学学科知识体系的精选，师生使用起来非常方便本节课教师在教学中没有只停留在课本表面，而是认真钻研和熟悉教材，针对教材中的知识点，充分利用各种教学资源，组织学生探究，以培养学生的探究能力这种精心设计的探究活动，能激发学生学习数学的积极性，提高学生探索问题、研究问题的能力

四、改善教与学的方式，使学生主动地学习

丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。本节教学中，既有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流，整节课教师都关注了学生的主体参与，给学生留有适当的拓展、延伸的空间和时间，激发学生对数学学习的兴趣，养成良好的学习习惯

五、注重数学建模活动，发展学生应用意识

著名数学教育家弗赖登塔尔在谈到数学应用时，曾指出“应从两个方面来理解数学应用：既要重视从实际问题中提取数学概念和原理，又要重视用数学概念与原理反过来处理实际问题”；“而要将学校数学更为广泛地应用到不同的脉络背景，数学化应该是数学教学的主要方式”。本节课教师通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，形成数学问题（即实际问题数学化）。同时开阔了学生的视野，体会了数学的科学价值、应用价值、人文价值

线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

0-1规划是决策变量仅取值0或1的一类特殊的整数规划。在处理经济管理中某些规划问题时，若决策变量采用 0-1变量即逻辑变量，可把本来需要分别各种情况加以讨论的问题统一在一个问题中讨论。

蒙特卡罗法(Monte Carlo method)是以概率与统计的理论、方法为基础的一种计算方法，蒙特卡罗法将所需求解的问题同某个概率模型联系在一起，在电子计算机上进行随机模拟，以获得问题的近似解。因此，蒙特卡罗法又称随机模拟法或统计试验法。

在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。由于每人的专长不同，各人完成任务不同(或所费时间)，效率也不同。于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高(或所需总时间最小)。这类问题称为指派问题或分派问题。

无约束最优化方法是求解无约束最优化问题的方法，有解析法和直接法两类。

解析法

解析法就是利用无约束最优化问题中目标函数 f(x) 的解析表达式和它的解析性质（如函数的一阶导数和二阶导数），给出一种求它的最优解 x 的方法，或一种求 x 的近似解的迭代方法。

直接法

直接法就是在求最优解 x的过程中，只用到函数的函数值，而不必利用函数的解析性质，直接法也是一种迭代法，迭代步骤简单，当目标函数 f(x) 的表达式十分复杂，或写不出具体表达式时，它就成了重要的方法。

可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。基本内容是：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。 [1]

例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树

管道网络中每条边的最大通过能力（容量）是有限的，实际流量不超过容量。

最大流问题(maximum flow problem)，一种组合最优化问题，就是要讨论如何充分利用装置的能力，使得运输的流量最大，以取得最好的效果。求最大流的标号算法最早由福特和福克逊与与1956年提出，20世纪50年代福特(Ford)、(Fulkerson)建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成成分。

最小费用最大流问题是经济学和管理学中的一类典型问题。在一个网络中每段路径都有“容量”和“费用”两个限制的条件下，此类问题的研究试图寻找出：流量从A到B，如何选择路径、分配经过路径的流量，可以在流量最大的前提下，达到所用的费用最小的要求。如n辆卡车要运送物品，从A地到B地。由于每条路段都有不同的路费要缴纳，每条路能容纳的车的数量有限制，最小费用最大流问题指如何分配卡车的出发路径可以达到费用最低，物品又能全部送到。

旅行推销员问题（英语：Travelling salesman problem, TSP）是这样一个问题：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是组合优化中的一个NP困难问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要。

最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出，并且是在最优化领域中进行了深入研究。许多优化方法都用它作为一个测试基准。尽管问题在计算上很困难，但已经有了大量的启发式算法和精确方法来求解数量上万的实例，并且能将误差控制在1%内

计划评审法(Program Evaluation and Review Technique，简称PERT)，是指利用网络分析制订计划以及对计划予以评价的技术。它能协调整个计划的各道工序，合理安排人力、物力、时间、资金，加速计划的完成。在现代计划的编制和分析手段上，PERT被广泛使用，是现代化管理的重要手段和方法。

关键路线法(Critical Path Method，CPM)，又称关键线路法。一种计划管理方法。它是通过分析项目过程中哪个活动序列进度安排的总时差最少来预测项目工期的网络分析。

人口系统数学模型，用来描述人口系统中人的出生、死亡和迁移随时间变化的情况，以及它们之间定量关系的数学方程式或方程组，又称人口模型。

初值问题是指在自变量的某值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解的这类问题。

如果在自变量的某值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解，则这类问题称为初值问题。

边值问题是定解问题之一，只有边界条件的定解问题称为边值问题。二阶偏微分方程(组)一般有三种边值问题：第一边值问题又称狄利克雷问题，它的边界条件是给出未知函数本身在边界上的值；第二边值问题又称诺伊曼边值问题或斜微商问题，它的边界条件是给出未知函数关于区域边界的法向导数或非切向导数；第三边值问题又称鲁宾问题，它的边界条件是给出未知函数及其非切向导数的组合

目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法。线性规划的一种特殊类型。它是在线性规划基础上发展起来的，多用来解决线性规划所解决不了的经济、军事等实际问题。它的基本原理、数学模型结构与线性规划相同，也使用线性规划的单纯形法作为计算的基础。所不同之处在于，它从试图使目标离规定值的偏差为最小入手解题，并将这种目标和为了代表与目标的偏差而引进的变量规定在表达式的约束条件之中。

时间序列（或称动态数列）是指将同一统计指标的数值按其发生的时间先后顺序排列而成的数列。时间序列分析的主要目的是根据已有的历史数据对未来进行预测。

支持向量机(Support Vector Machine，SVM)是Corinna Cortes和Vapnik等于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。

在机器学习中，支持向量机（SVM，还支持矢量网络）是与相关的学习算法有关的监督学习模型，可以分析数据，识别模式，用于分类和回归分析。

聚类分析法是理想的多变量统计技术，主要有分层聚类法和迭代聚类法。 聚类分析也称群分析、点群分析，是研究分类的一种多元统计方法。

例如，我们可以根据各个银行网点的储蓄量、人力资源状况、营业面积、特色功能、网点级别、所处功能区域等因素情况，将网点分为几个等级，再比较各银行之间不同等级网点数量对比状况。

成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 是一种统计方法。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。

在实际课题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。

主成分分析首先是由K皮尔森（Karl Pearson）对非随机变量引入的，尔后H霍特林将此方法推广到随机向量的情形。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。

因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术。最早由英国心理学家CE斯皮尔曼提出。他发现学生的各科成绩之间存在着一定的相关性，一科成绩好的学生，往往其他各科成绩也比较好，从而推想是否存在某些潜在的共性因子，或称某些一般智力条件影响着学生的学习成绩。因子分析可在许多变量中找出隐藏的具有代表性的因子。将相同本质的变量归入一个因子，可减少变量的数目，还可检验变量间关系的假设。

判别分析又称“分辨法”，是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。

其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。据此即可确定某一样本属于何类。

当得到一个新的样品数据，要确定该样品属于已知类型中哪一类，这类问题属于判别分析问题。

对互协方差矩阵的一种理解，是利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。它的基本原理是：为了从总体上把握两组指标之间的相关关系，分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1（分别为两个变量组中各变量的线性组合），利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。

对应分析也称关联分析、R-Q型因子分析，是近年新发展起来的一种多元相依变量统计分析技术，通过分析由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。可以揭示同一变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系。

对应分析主要应用在市场细分、产品定位、地质研究以及计算机工程等领域中。原因在于，它是一种视觉化的数据分析方法，它能够将几组看不出任何联系的数据，通过视觉上可以接受的定位图展现出来。

多维标度法是一种将多维空间的研究对象(样本或变量)简化到低维空间进行定位、分析和归类，同时又保留对象间原始关系的数据分析方法。

在市场营销调研中，多维标度法的用途十分广泛。被用于确定空间的级数(变量、指标)，以反映消费者对不同品牌的认知，并且在由这些维构筑的空间中，标明某关注品牌和消费者心目中理想品牌的位置。

偏最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。 用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。 很多其他的优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表达。

系统介绍了禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、蚁群优化算法、人工神经网络算法和拉格朗日松弛算法等现代优化计算方法的模型与理论、应用技术和应用案例。

禁忌（Tabu Search）算法是一种元启发式(meta-heuristic)随机搜索算法，它从一个初始可行解出发，选择一系列的特定搜索方向（移动）作为试探，选择实现让特定的目标函数值变化最多的移动。为了避免陷入局部最优解，TS搜索中采用了一种灵活的“记忆”技术，对已经进行的优化过程进行记录和选择，指导下一步的搜索方向，这就是Tabu表的建立。

模拟退火算法来源于固体退火原理，是一种基于概率的算法，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

传算法（Genetic Algorithm）是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。遗传算法是从代表问题可能潜在的解集的一个种群（population）开始的，而一个种群则由经过基因（gene）编码的一定数目的个体(individual)组成。每个个体实际上是染色体(chromosome)带有特征的实体。染色体作为遗传物质的主要载体，即多个基因的集合，其内部表现（即基因型）是某种基因组合，它决定了个体的形状的外部表现，如黑头发的特征是由染色体中控制这一特征的某种基因组合决定的。因此，在一开始需要实现从表现型到基因型的映射即编码工作。由于仿照基因编码的工作很复杂，我们往往进行简化，如二进制编码，初代种群产生之后，按照适者生存和优胜劣汰的原理，逐代（generation）演化产生出越来越好的近似解，在每一代，根据问题域中个体的适应度（fitness）大小选择（selection）个体，并借助于自然遗传学的遗传算子（genetic operators）进行组合交叉（crossover）和变异（mutation），产生出代表新的解集的种群。这个过程将导致种群像自然进化一样的后生代种群比前代更加适应于环境，末代种群中的最优个体经过解码（decoding），可以作为问题近似最优解。

The Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS) is a multi-criteria decision analysis method, which was originally developed by Hwang and Yoon in 1981[1] with further developments by Yoon in 1987,[2] and Hwang, Lai and Liu in 1993[3] TOPSIS is based on the concept that the chosen alternative should have the shortest geometric distance from the positive ideal solution (PIS)[4] and the longest geometric distance from the negative ideal solution (NIS)[4]

TOPSIS是一种多准则决策分析方法，最初由Hwang和Yoon于1981年开发[1]，1987年由Yoon进一步开发，[2]和Hwang， 1993年赖和刘。[3] TOPSIS是基于这样一个概念，即所选择的方案应该具有离正理想解（PIS）最短的几何距离[4]和距负理想解（NIS）最远的几何距离[4]。

模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。

数据包络分析方法(Data Envelopment Analysis,DEA)是运筹学、管理科学与数理经济学交叉研究的一个新领域。它是根据多项投入指标和多项产出指标，利用线性规划的方法，对具有可比性的同类型单位进行相对有效性评价的一种数量分析方法。DEA方法及其模型自1978年由美国著名运筹学家ACharnes和WWCooper提出以来，已广泛应用于不同行业及部门，并且在处理多指标投入和多指标产出方面，体现了其得天独厚的优势。

对于两个系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性大小的量度，称为关联度。在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。因此，灰色关联分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的一种方法。

主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标（即主成分），其中每个主成分都能够反映原始变量的大部分信息，且所含信息互不重复。这种方法在引进多方面变量的同时将复杂因素归结为几个主成分，使问题简单化，同时得到的结果更加科学有效的数据信息。在实际问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。主要方法有特征值分解，SVD，NMF等。

秩和比法（Rank-sum ratio，简称RSR法），是我国学者、原中国预防医学科学院田凤调教授于1988年提出的，集古典参数统计与近代非参数统计各自优点于一体的统计分析方法，它不仅适用于四格表资料的综合评价，也适用于行×列表资料的综合评价，同时也适用于计量资料和分类资料的综合评价。

灰色预测是就灰色系统所做的预测

灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量关系大多表现为相关关系，因此，回归分析预测法是一种重要的市场预测方法，当我们在对市场现象未来发展状况和水平进行预测时，如果能将影响市场预测对象的主要因素找到，并且能够取得其数量资料，就可以采用回归分析预测法进行预测。它是一种具体的、行之有效的、实用价值很高的常用市场预测方法，常用于中短期预测。

包含未知函数的差分及自变数的方程。在求微分方程 的数值解时，常把其中的微分用相应的差分来近似，所导出的方程就是差分方程。通过解差分方程来求微分方程的近似解，是连续问题离散化 的一个例子。

马尔可夫预测法主要用于市场占有率的预测和销售期望利润的预测。就是一种预测事件发生的概率的方法。马尔科夫预测讲述了有关随机变量 、 随机函数与随机过程。

逻辑性的思维是指根据逻辑规则进行推理的过程；它先将信息化成概念，并用符号表示，然后，根据符号运算按串行模式进行逻辑推理；这一过程可以写成串行的指令，让计算机执行。然而，直观性的思维是将分布式存储的信息综合起来，结果是忽然间产生想法或解决问题的办法。这种思维方式的根本之点在于以下两点：1信息是通过神经元上的兴奋模式分布储在网络上；2信息处理是通过神经元之间同时相互作用的动态过程来完成的。

中文名 神经网络算法 外文名 Neural network algorithm

1 因为是圆周运动，因此建立极坐标系比较合适；

2 假定：慢跑者是匀速（线速度）运动，狗的运动可分解为沿径向的匀速运动，和与慢跑者角速度相同的圆周运动。

3 以时间t为参数建立方程，将慢跑者的线速度提取出角速度方程，并以此做为狗的圆周运动的角速度，从而建立狗的径向运动方程和圆周运动方程，化简后即为狗的运动轨迹方程。

4 两条曲线产生的交点即为狗追上慢跑者的点，在解方程时即可求出时间t。

1通过阅读背景材料，你能想到哪些神经元的空间几何性质可以作为分类前被提取出来的特征？（可结合Neuromantic软件辅助查看神经元结构）并根据自己所提取的特征说明：特征提取最重要的原则是什么？（即为什么要选择某些特征作为识别分类的参考依据？）

2利用附件中样本神经元的空间几何数据，根据第(1)小题中所提到的5类神经元的几何特征（中间神经元可以又细分3类），设计一个神经元空间形态分类的算法。要求算法原理简述，算法流程框图，以及可能的结论。

3经元的形态复杂多样，神经元的分类命名问题至今仍是热点，我们所看到的5类神经元仅仅是比较重要的类别，实际上还有很多其他类别，你是否可以根据你所提出的神经元分类方法，将所有神经元按几何特征分类命名，来给生物学家们提出神经元命名建议？要求给出命名规则，或者名称编码方式，再或者符号图形命名原则等各种命名方式。

4神经元的实际形态是随着时间的流逝，树突和轴突不断地生长而发生变化的，你们能预测神经元形态的生长变化吗？这些形态变化对你们确定的几何形态特征有什么影响？以及随着神经元的生长，你所设计的命名规则是否仍然可行？

大一想参加数学建模的话，建议可以去多问一些学长，一般学长们对这些都是蛮了解的，特别是那些之前有参加过数学建模的，可以从他们身上学到很多东西的。

下面是 关于参加数学建模的经历，来自网上，可以作为自己学习和参考的资料，因为每个人参与是不同的，主要是找到适合自己的方法，下面的资料可以作为自己的参加数学建模入门的参考的。

原文：

数学建模是指将实际问题变成数学问题这个过程，这个过程首先需要用数学语言来描述实际问题，将它变成一个数学问题，利用现成的数学工具或发展新的数学工具来加以解决。

我是中科院2012级新生，大学期间曾先后获得美国数学建模竞赛国际二等奖、“高教杯”全国数学建模竞赛国家二等奖、“高教杯”全国数学建模竞赛省级一等奖、第二届MATHORCUP全球数学建模挑战赛一等奖、苏北数学建模联赛一等奖、“电工杯”数学建模竞赛国家三等奖，在数学建模竞赛中积累了些许经验，希望通过数学中国这个平台与大家分享一下，以求对数模入门者有所帮助。8

大一下学期，我正式接触数学建模，当时感觉这个东西很神奇，完全不知道怎么回事。看着一篇篇充满公式和漂亮图表的论文，我觉得学长们太厉害了，完全看不懂。后来，我认识了一名数学建模指导老师以及几个数模学长；在他们的带领下，我逐渐入门，最终取得了些成绩。回首三年的数模经历，我认为学习数模基本要服从掌握扎实数学基础、熟悉数学模型、学习优秀数模论文3个阶段。3 N U7 m$ g2 x7 }8 ^

从听说数模时的神圣到参加数模时的淡然，从接触数模时的迷茫到对数模竞赛的熟知，在摸索中一步一步成长。回首四年的参赛历程，我认为学习数学建模知识应该具备的数学基础有高等数学、线性代数、概率论与数理统计，在此基础上重点看一下运筹学的书籍。当然，数学建模不仅仅是要求数学知识扎实，还需要参赛者广泛涉猎知识（包括物理、生物、心理学等），因为许多数学建模题目要求背景知识比较深，比如说12年MCM A题要求画出一棵树，这就需要参赛队员了解某类植物树叶生长具备的特点，涉及生物学知识；第二届MATHORCUP全球数学建模挑战赛A题也涉及到空气动力学知识。因此，数学建模是以数学为基础，综合各门学科（涵盖自然科学和社会科学）的一项赛事。

具备上述基础知识以后，我就着重看一些建模方面的书籍，主要看了以下4本书：赵静和但琦的《数学建模与数学实验》、姜启源和谢金星的《数学模型》、《运筹学》、肖华勇的《实用数学建模与软件应用》。每一本书都有自己的特色，也没必要仔仔细细地把整本书都看完，甚至你可以只知道模型的大致步骤，真正用到的时候再翻书详细了解这个模型。因为数学建模本身就是一个学习的过程，在短短3天时间里，将陌生的知识转化成自己的知识是具有挑战的，更何况还要对模型进行改进，但是正是这样，我们才能不断接触新知识，不断培养自己的学习能力。

熟悉模型之后，我就基本能够看懂大部分的优秀论文了。我个人认为看一些“高教杯”特等奖论文及美赛Outstanding对自己思路、知识、写作能力提升非常快，这些论文一般逻辑性很强，层次感出众。在欣赏优秀论文的过程中，我十分注意模型的适用范围，举个例子来说，对于预测类的题目，比较常用的预测模型有时间序列模型、灰色预测模型、贝叶斯预测模型、神经网络预测模型等，这些模型并不是对所有的数据都是适用的，有些模型需要先对数据进行剔除、平均等处理，这些细节需要特别注意，一旦不注意就会影响整篇论文的质量。( _( e- {2 T ] Q" O {# v

上述三步进行之后，接下来就是实战演练了。我当时见到数学建模竞赛就参加，参加完后主动找组委会要评语（因为那些评语里记录着你的不足，便于今后改正），参加次数多了，你对时间的把握、知识的积累、论文的写作等方面会掌握的比较到位。目前比较大型的数学建模竞赛有以下几个：

1每年2月份的美国数学建模竞赛- D2 V6 f" O3 K! Z! O( B

2每年9月份的“高教杯”全国数学建模竞赛

3奇数年11月份的“电工杯”全国数学建模竞赛0 w3 D( C( v2 I' u

4数学中国网络挑战赛' ]( A5 s T' Z5 m+ B7 l

5校苑数模网举办的挑战赛3 A, `) K) p3 Y' j9 H3 Q) `

6每年五一的苏北数学建模联赛

7华东数学建模竞赛

8华中数学建模竞赛, N" d! h" ] S0 {) e; h; j

9东三省数学建模竞赛

作为一名真正的数学建模爱好者，上述竞赛我们都可以参加，这些竞赛都可以锻炼我们的能力。% Q+ m0 }5 h+ @7 A0 ~

最后，我想强调以下两点：6 x9 G4 y$ a2 |% b% T

1数学建模竞赛不是一个人能够独自完成的，它需要3个人相互合作，往往，

团队合作能力决定你竞赛的成败。此外，3个人最好都能都了解建模、编程和写作，然后再发挥每个人的特长，这样就不会出现建模人员所建模型不能求解的问题，就不会出现写作队员时间比较紧以至于写不完的问题，就不会出现编程队员不理解模型而无从下手的问题。; x! F/ m Z; y( V U' L% X" i/ j

2做每一道数学建模题的时候我们一定要做到有根有据，模型假设以及模型建立均是如此，也就是说数模最忌讳弄虚作假，因为那么做对我们能力一点好处都没有，哪怕我们建立的模型简单。

数学建模

数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。

过程

模型准备

了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。

模型假设

根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

模型建立

在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。

模型求解

利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。

模型分析

对所得的结果进行数学上的分析。

模型检验

将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

模型应用

应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

大学生数学建模竞赛

全国大学生数学建模竞赛

全国大学生数学建模竞赛是国家教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行；竞赛一般在每年9月末的三天内举行；大学生以队为单位参赛，每队3人，专业不限。

全国大学生数学建模竞赛章程（2008年）

第一条 总则 全国大学生数学建模竞赛（以下简称竞赛）是教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。 第二条 竞赛内容 竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 第三条 竞赛形式、规则和纪律 1．全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行。 2．竞赛每年举办一次，一般在某个周末前后的三天内举行。 3．大学生以队为单位参赛，每队3人（须属于同一所学校），专业不限。竞赛分本科、专科两组进行，本科生参加本科组竞赛，专科生参加专科组竞赛（也可参加本科组竞赛），研究生不得参加。每队可设一名指导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论，否则按违反纪律处理。 4．竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。 5．竞赛开始后，赛题将公布在指定的网址供参赛队下载，参赛队在规定时间内完成答卷，并准时交卷。 6．参赛院校应责成有关职能部门负责竞赛的组织和纪律监督工作，保证本校竞赛的规范性和公正性。 第四条 组织形式 1．竞赛由全国大学生数学建模竞赛组织委员会（以下简称全国组委会）主持，负责每年发动报名、拟定赛题、组织全国优秀答卷的复审和评奖、印制获奖证书、举办全国颁奖仪式等。 2．竞赛分赛区组织进行。原则上一个省（自治区、直辖市）为一个赛区，每个赛区应至少有6所院校的20个队参加。邻近的省可以合并成立一个赛区。每个赛区建立组织委员会（以下简称赛区组委会），负责本赛区的宣传发动及报名、监督竞赛纪律和组织评阅答卷等工作。未成立赛区的各省院校的参赛队可直接向全国组委会报名参赛。 3．设立组织工作优秀奖，表彰在竞赛组织工作中成绩优异或进步突出的赛区组委会，以参赛校数和队数、征题的数量和质量、无违纪现象、评阅工作的质量、结合本赛区具体情况创造性地开展工作以及与全国组委会的配合等为主要标准。 第五条 评奖办法 1．各赛区组委会聘请专家组成评阅委员会，评选本赛区的一等、二等奖（也可增设三等奖），获奖比例一般不超过三分之一，其余凡完成合格答卷者可获得成功参赛证书。 2．各赛区组委会按全国组委会规定的数量将本赛区的优秀答卷送全国组委会。全国组委会聘请专家组成全国评阅委员会，按统一标准从各赛区送交的优秀答卷中评选出全国一等、二等奖。 3．全国与各赛区的一、二等奖均颁发获奖证书。 4．对违反竞赛规则的参赛队，一经发现，取消参赛资格，成绩无效。对所在院校要予以警告、通报，直至取消该校下一年度参赛资格。对违反评奖工作规定的赛区，全国组委会不承认其评奖结果。 第六条 异议期制度 1．全国（或各赛区）获奖名单公布之日起的两个星期内，任何个人和单位可以提出异议，由全国组委会（或各赛区组委会）负责受理。 2．受理异议的重点是违反竞赛章程的行为，包括竞赛期间教师参与、队员与他人讨论，不公正的评阅等。对于要求将答卷复评以提高获奖等级的申诉，原则上不予受理，特殊情况可先经各赛区组委会审核后，由各赛区组委会报全国组委会核查。 3．异议须以书面形式提出。个人提出的异议，须写明本人的真实姓名、工作单位、通信地址（包括联系电话或电子邮件地址等），并有本人的亲笔签名；单位提出的异议，须写明联系人的姓名、通信地址（包括联系电话或电子邮件地址等），并加盖公章。全国组委会及各赛区组委会对提出异议的个人或单位给予保密。 4．与受理异议有关的学校管理部门，有责任协助全国组委会及各赛区组委会对异议进行调查，并提出处理意见。全国组委会或各赛区组委会应在异议期结束后两个月内向申诉人答复处理结果。 第七条 经费 1．参赛队所在学校向所在赛区组委会交纳参赛费。 2．赛区组委会向全国组委会交纳一定数额的经费。 3．各级教育管理部门的资助。 4．社会各界的资助。 第八条 解释与修改 本章程从2008年开始执行，其解释和修改权属于全国组委会。

不要理他们~~~

我自己以前写过一篇类似的日志 你改一改拿去吧

一绪论

昨日买甘蔗，发现一整根甘蔗四元，如果分段卖每段一元，分段方法是把一根甘蔗按长度等距离分四段。而由于不同部分的甘蔗粗细程度跟甜度不一样，造成了购买者的不公平，这与我们社会主义分配要重视公平与效率有极大矛盾，而且蔗头部分食用价值小，导致蔗头的那段往往卖不出去，这又减少了蔗农收入，甘蔗作为我国南方重要产物，既是广大蔗农唯一的可靠收入来源，又是重要的食品业原料，在农业生产中占有重要地位。胡主席曾说过，三农问题是我国的基础问题，其中促进农民增收又是基础中的基础，本文为贯彻十七大精神及胡主席讲话精神，为了保证广大蔗农的利益和社会主义分配的公平进行，对甘蔗进行分节的合理化做了初步的推算，推算的思路如下：

1计算出甘蔗的总含糖量

2按总含糖量把甘蔗平分作为甘蔗分节的初步依据

3在2的基础上考虑吃甘蔗的成本（如更粗的甘蔗吃起来更累等），对甘蔗分节进行进一步合理化

二理论模型

（一）甘蔗的总含糖量

1截面积公式

设甘蔗的截面积与高度的函数关系为f(x),其中x为高度，由常理推断可知：f（x）为x的减函数，即：f’（x）<0，为方便期间，假设甘蔗截面积为圆形，截面圆半径与高度的函数关系为一次函数，即：r（x）=b-ax，（a，b为参数）则有：

f（x）=πr（x）²=π（b-ax）² （1）

2甜度公式

设在高度x处，每单位体积甘蔗的含糖量为g（x），甘蔗的总含糖量为u,则在高度x处含糖总量du有：

du=g（x）dv （2）

而dv=f（x）dx （3）

由（2）（3）式可知：

du=f（x）g（x）dx （4）

由生物学知识可知：

g（x）一般为指数式衰减，当高度达某一程度h时可近似认为含糖量为0，所以可设 ：

得到：

由此，我们得到了甘蔗的甜度公式：

这个甜度公式反映了甜度与高度的函数关系，由式中可以看出甜度与高度呈明显的减函数关系。

3总含糖量

下面我们开始计算甘蔗的总含糖量u，

经过计算得：

这就是长度为h的甘蔗的总含糖量

（二）把甘蔗进行分节

假设把甘蔗分为n段，则每一段含糖量为u/n。

则有：

则可以通过上式推导出每一个

由于要吃午饭，本文暂不推导，有兴趣的同学可以自行计算。

（三）考虑吃甘蔗的成本

假设吃甘蔗的痛苦程度与截面积的关系为线性关系，即

p（x）=mg（x）

则吃甘蔗的享受程度q（x）=u（x）-p（x）

即：享受程度与甜度成正比，与痛苦程度成反比

由此得到

然后将（二）中u（x）替换为q（x），求出各个hi，然后hi-h（i-1）即为各段长度

三结论及展望

从上述结论可以看出为保证广大蔗农的利益和消费者的公平，甘蔗的分段应遵循科学原则，合理分段。

未来的工作：由式中可以看出，本文计算还即为粗糙，下一步研究要利用统计学原理对甘蔗甜度及痛苦程度等进行精确测定模拟函数。

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