带虚数的积分如何计算

这里， 为常微分方程的右端函数，而 为所求未知函数的初始值。求解常微分方程初值问题用指令ode23 或ode45。使用这两条命令中的任何一条都必须事先编写好函数文件并保存在工作目录下（如取文件名为yprimem）。命令的具体使用格式为

[x,y] = ode23('yprime', x0, xn, y0)

其中，yprime 为描述常微分方程右端函数的函数文件名，而x0 和 xn分别为自变量的初始点和终值点，y0为未知函数的初值。

例如求一阶常微分方程

在（0，1）区间内的数值解，并与该初值问题的解析解

进行比较。

首先编缉两个函数文件，第一个用于描述微分方程右端函数(文件名：ff1m)：

function z=ff1(x,y)

z=x-y+1;

另一个用于描述微分方程的解析解（文件名：ff2m）：

function y=ff2(x)

y=x+exp(-x);

将这两个函数文件保存在工作目录下，然后求出初值问题的数值解以及微分方程解析解在对应自变量的离散点处的函数值，最后同时绘出两个函数的图形加以比较。在MATLAB环境中键入下列指令：

[x,y]=ode23('ff1',0,1,1);

y=ff2(x);

plot(x,y,’o’,x,y)

计算机屏将显示出数值解（用小圆o表示）和解析解的图形

常微分方程是研究许多自然科学问题和技术问题的有力工具，因而具有重要的实用价值；它们在力学、天文学、物理学中，在许多化学和生物学问题中，有着广泛的应用．这是因为大量现象、过程所服从的客观规律往往能够写成常微分方程的形式，因此这些方程本身就是相应客观规律的定量表示

定义 1 如果在一个(或者一组 m(有限个))方程中，未知的 (unknown) 量是一个(或一组 m 有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量 (independent variable) 的导数或微分，则称这方程为常微分方程 (ordinary differential equation) (或者常微分方程组( ODE's)), 简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE's))或方程(组) (提示 11)

定义 2 微分方程中实质上含有的未知函数 x 的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于 x 的阶

微分方程组中各个未知函数 的最高阶导数的阶数 之和称为微分方程组的阶 (计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示12)

n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数 F 在其变量的某一区域 (domain) 中有定义，并且一定含有未知函数 x 对自变量 t 的 n 阶导数

定义 3 假设有在区间 I 上有直到 n 阶的连续导数的函数：(可以是由隐式或参数形式决定的)在区间 I 上满足恒等式

，

我们就说该函数是在区间 I 上方程 的解 (solution)．称区间 I 是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式 (explicit) 解，隐式 (implicit) 解和参数形式解 (提示13)

定义 4 微分方程的解 ，或隐式解 在 t - x 平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线 (integral curve) 如果在积分曲线上函数 等于常数，则 也称为微分方程的一个 积分 (integral)

定义 5 已就最高阶导数解出的微分方程

称为微分方程的正规形式 (normal form)(提示11)

定义 6 若微分方程 中的函数关于未知函数及其导数 是一次有理整式，则称方程是线性的 (linear)，称它是 n 阶线性 (微分)方程．一般形式为：

，

若其中 ，则称它是 n 阶线性齐次 (homogeneous) 方程；否则称为线性非齐次 (inhomogeneous) 方程．这时称 为线性方程的非齐次项 (提示11)

定义 7 不是线性的微分方程称为非线性 (nonlinear) 方程．(提示11)

定义 8 满足 n 阶微分方程(组)的一个(一组)依赖于 n 个 任意(arbitrary)独立常数 的解 ，，(其中矢量 x 和 的维数为未知函数的个数 m 不一定与阶数 n 相同)称为 n 阶微分方程(组)的通解 (general solution) (提示14)

定义 9 不含任意常数的确定的微分方程(组)的解称为特解．

定义 10 为了确定微分方程的一个特解所给出这个解必须满足的条件称为微分方程的定解条件：常见的有：初始条件 (initial condition)、边界条件 (boundary condition)．

定义 11 n 阶常微分方程的初始条件：指定方程 的解在时刻 以及 x 及其直到 阶导数应取的初始值 (initial value)

．

定义 12 定解问题：求微分方程满足定解条件的解．当定解条件为初始条件时，相应的问题称为初值问题 (initial value problem)，或称为 Cauchy 问题．本教程只讨论初值问题．

方向场: 对于一阶正规型微分方程 ，，它的解是 t-x 平面上的一条曲线，在其每一点上都具有切线，切线的斜率为 如果通过 中每一点 (t,x) 都画一微小线段，使其斜率等于 ，则得方程的方向场 (field of directions)．

这样，求方程在区域 内求一经过初始点 的积分曲线，就是在区域 内求一条经过点 的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相同．

等倾线: (isocline) 是方向场中，方向相同的点的几何轨迹．微分方程 的等倾线方程为 ，其中 k 为参数．在画方向场时，可以先画等倾线，再在等倾线上画方向相同的微小线段．通过等倾线法这种图示法可以近似地画出积分曲线．

1、（1）虚部在1,0,-1三者间摆动，不收敛。

（2）

所以|zn|收敛于0，从而zn也收敛于0。

（3）将z写成指数形式：z=re^it（易见r>0），那么它的共轭z'=re^(-it)，所以

(z/z')^n=e^(2nit)=cos(2nt)+isin(2nt)收敛等价于2t=2kπ即t=kπ，即z是实数。

2、

（1）实部级数是几何级数（绝对收敛），如果原级数收敛，则必然导致虚部级数也收敛。但因为虚部级数是调和级数，发散，所以假设不成立，即原级数发散。

（2）用比值法，可知级数绝对收敛，从而收敛。

（3）这是几何级数，公比的模>1，所以通项不收敛于0，进而级数发散。

用NL公式。

e^(-it)的一个原函数是F(t)=ie^(-it),把t=+∞和0分别代进去。

F(+∞)-F(0),由於当t→+∞时,-it→-∞,所以ie^(-it)→0,或者说F(+∞)=0而F(0)=i,所以结果为0-i=-i。

复数的基本运算

（1）加减运算

复数的加减运算采用代数形式较为简便，或在复平面中使用平行四边形法则。

（2）乘除运算

复数的乘除运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。

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