什么是模式耦合

耦合模理论（coupled-mode theory）是指研究两个或多个电磁波模式间耦合的一般规律的理论。耦合可以发生在同一波导（腔体）中不同的电磁波的模式之间，也可以发生在不同波导的电磁波模式之间。

研究两个或多个电磁波模式间耦合的一般规律的理论，又称耦合波理论。广义地说，它是研究两个或多个波动之间耦合的普遍理论。

耦合可以发生在同一波导（或腔体）中不同的电磁波模式之间，也可以发生在不同波导（或腔体）的电磁波模式之间。通常，耦合发生在同一类波动之间，但也可以发生在不同类型的波动之间，例如行波管中的两个电磁波模式与两个空间电荷模式之间的耦合。

扩展资料：

耦合模方程的不同形式为了导出耦合模方程，需要将麦克斯韦方程中的场按正交函数集展开，采用不同的正交函数集能得到不同的耦合模方程。

例如，波导中的正交函数集对应于其全部电磁波模式（对于开波导还应包括辐射模）。凡沿波导独立传输而不存在耦合的都称为简正模，耦合模则是非简正模。不均匀波导中的电磁波可以按参考波导中的简正模集展开，选择不同的参考波导，对应有不同的简正模集，得到不同的耦合模方程。

以变截面波导为例（图2），用虚线表示不同截面位置处的三种参考波导所分别对应的三组简正模：理想模、本地模和超本地模。

与理想模对应的参考波导是均匀波导，其截面形状和大小与实际波导输入端处一致；与本地模对应的参考波导是截面形状和大小与观察点处实际波导相一致的均匀波导。

与超本地模对应的参考波导是形状与观察点处实际波导一致、且两者纵剖面边界线相切的喇叭形波导。后两组模式随观察点位置而改变，其模式特性主要由“本地”特性决定。

较完整的频谱图：

设抽样频率为Fs（Hz），信号点数为N，信号序列为x。

f = fftshift(fft(x));

w = linspace(-Fs/2, Fs/2, N);%频率坐标，单位Hz

plot(w,abs(f));

title('信号的频谱');

xlabel('频率(Hz)');

原有模拟信号的频谱只在0到Fh(信号的最高频率）之间，抽样后的频谱则有很多，分别分布在取样频率各次谐波的两侧。

扩展资料：

矢量可以在某一正交坐标系（正交矢量空间）中进行矢量分解；类似的，信号（函数）也可以在某一正交的信号空间（函数集）中进行分解。而在实际应用中使用最多的正交函数集是三角函数集（正弦或余弦信号）。任一信号，只要符合一定条件都可以分解为一系列不同频率的正弦（或余弦）分量的线性叠加；每一个特定频率的正弦分量都有它相应的幅度和相位。

因此对于一个信号，它的各分量的幅度和相位分别是频率的函数；或者合起来，它的复数幅度是频率的函数。这种幅度（或相位）关于频率的函数，就称为信号的频谱。

-信号频谱

　　摘　要：小波是在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数，小波函数决定了小波变换的效率和效果。小波函数可以灵活选择，并且可以根据所面对的问题构造小波函数。通过对几种常见连续小波的数学表达式及其相应波形和振幅谱的分析研究，解释了它们的主要特性。

关键词：小波函数　Haar小波　Morlet小波　Marr小波　高斯小波

中图分类号：O174　　　　文献标识码：A　　　　　文章编号：1007-3973（2012）007-111-02

1 引言

随着石油天然气日益增长的需求与发展，对油气勘探提出了更高的要求，地震勘探是油气勘探的主要方法之一。长期以来，在地震资料处理中，付里叶变换是最基本的工具，通过付氏变换，把时间域与频率域联系起来，通过信号的频谱特性来研究时域内难以研究的问题，但它的缺陷在于无法分析时域信号的局部频率特征信息，不具有时频局部化的能力。小波变换很好的弥补了付氏变换的不足。小波变换研究信号的局部特征，在时间、频率两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以小波变换被称为分析信号的显微镜。

小波函数决定了小波变换的效率和效果。根据要从信号中提取的信息不同，应恰当地选择或构造小波函数。要准确的进行小波变换，选择最优的小波函数是非常必须且非常重要的，故小波函数特性的分析是最基本但最重要的研究，了解和掌握了小波函数的特性我们才能进行小波分析与变换。

2 几种连续小波的特点

21 小波函数

连续小波变换CWT定义为

其中系列函数

称为小波函数或简称小波，它是由函数 �%q(t) 经过不同的时间尺度伸缩和不同的时间平移得到的。其中a是时间轴尺度伸缩因子，b是时间平移因子，系数|a|-1/2是归一化因子，它的引入是为了让不同尺度的小波能保持相等的能量。

22 Haar小波

Haar小波可以说是所有已知小波中最简单的小波。

Haar 小波：源自于数学家 Haar 于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：

Haar函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数。Haar小波是对称的，是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波。对于一维Haar小波可以看成是完成了差分运算，即给出与观测结果的平均值不相等的部分的差。它是非连续的，类似一个阶梯函数。由于Haar小波的不连续性，使其在实际的信号分析与处理中受到了一定的限制。

23 Morlet小波

Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，其定义如下：

通常，�%r≥5，�%r=5的情况用的最多。

Morlet小波是一种复数小波，其在时、频域都有很好的局部性，常用于复数信号的分解及时频分析中。Morlet小波不存在尺度函数，快速衰减但非紧支撑。它是对称的但非正交，用于连续小波变换，是一种应用较为广泛的小波函数。其时间域分实部与虚部。

24 高斯小波

高斯小波是高斯函数的一阶导数，其定义如下：

高斯小波是由一基本高斯函数对时间求导而得的，其为指数级衰减，非紧支撑且非正交的小波函数；具有非常好的时间频率局部化；关于Y轴反对称。高斯小波在信号与图像的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。

25 Marr小波

Marr小波的形状像墨西哥草帽，因此也叫墨西哥草帽小波。Marr小波在视觉信息加工研究和边缘检测方面获得了较多的应用，它实际上市高斯函数的二阶导数。其定义为：

这是高斯函数的二阶导数，其在时、频域都有很好的局部性。高斯小波为指数级衰减，非紧支撑且非正交的函数，其关于Y轴对称，用于连续小波变换。在信号与图像的边缘提取中具有重要的应用，主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。

26 小波函数的比较

3 小波函数的选择

在理论上，选择和构造一个小波函数要求其具有一定的平滑性、紧支撑性、对称性和消失矩阶数等。

(1)小波形状的选择。

如果进行时频分析，则要选择光滑的连续小波，因为时域越光滑的小波函数，在频域的局部化特性越好。如果进行信号检测，则应尽量选择与信号波形相近似的小波。

(2)连续小波的支撑区域的选择。

连续小波函数都在支撑区域之外快速衰减。支撑区域越长，频率分辨率越好；支撑区域越短，时间分辨率越好。

针对地震信号的特点，利用小波分析后重构信号和原始信号的误差大小来判定小波函数的优劣，并考虑到消失矩阶数，最终选定适用最优小波。

4 结束语

尽管小波分析在地震信号处理中有着广泛的应用，但是不同的小波具有不同的时间频率特性，用不同的小波对同一信号进行分析也会得到不同的结果。要从地震信号中提取不同的信息，应选用不同的小波函数。

由以上分析可知，几种经典小波各具有不同的特点和解析表达式，在进行地震资料处理与解释时，应根据不同的需要选择合适的小波函数。

参考文献：

[1]　王西文地震资料处理和解释中的小波分析方法[M]北京:石油工业出版社,2004

[2]　陈玉东地球物理信息处理基础[M]北京:地质出版社,2006

[3]　张华,陈小宏,杨海燕地震信号去噪的最优小波基选取方法[J]石油地球物理勘探,2011,46(1):70-75

[4]　焦叙明时频分析及其在地震资料处理分析中的应用[D]青岛:中国海洋大学,2007

        1）利用频率成分和图像外表之间的对应关系，使一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。

        2）图像的变换过程可类比于数学上去相关处理，在空域相互交叉难以描述的特征，在频域往往得到更为直观的表达、分离甚至集中。

        3）图像的滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波难以解释的某些性质。

        4）理论上可以在频率域指定滤波器，通过反变换，以其空域响应作为构建空间域滤波器的指导。

        5）一旦通过频率域试验选择了空间滤波，具体实施可在空间域进行。

        系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。

        线性系统的定义：对于某特定系统，有：

该系统是线性的当且仅当：

从而有：

        线性系统移不变性的定义——对于某线性系统，有： ，当输入信号沿时间轴平移T，有： ，则称该线性系统具有移不变性。

        卷积的定义：对于一个线性系统的输入f(t)和输出y(t)，其间必定存在关系：

h(t)称为线性系统的单位冲激响应函数，其含义为：当线性系统输入f(t)为单位脉冲函数时，线性系统的输出响应。上式称之为卷积积分。

        脉冲函数的定义：也叫 函数

脉冲函数的极限定义：脉冲函数可以看成是一系列函数的极限，这些函数的振幅逐渐增大，持续时间逐渐减少，而保持面积不变。

离散一维卷积：

二维卷积的定义：

离散二维卷积：

        相关的定义——任意两个信号的相关函数定义为：

相关与卷积的关系：

        连续函数集合的正交性——正交函数集合 ：

当C=1时，称集合为归一化正交函数集合，即每一个向量为单位向量。其物理意义为多维空间坐标的基轴方向互相正交。

        正交函数集合的完备性——若f(x)是定义在 和 区间的实值信号，平方可积。可以表示为：

对任意小的 ，存在充分大的N，用N个有限展开式估计f(x)时：

可有：

则称函数集合U是完备的。

        正交函数的离散情况。N个正交向量：

当C=1时，称归一化正交。

        N个正交向量矩阵：

必满足： 。

        一维正交变换——对于一维向量f，用上述正交矩阵进行运算： ；若要恢复f，则 。

        以上过程称为正交变换。

        一般范式——酉变换（unitary transform）：若A为复数矩阵，正交的条件为： 。其中 为 的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉矩阵（unitary matrix）。对于任意向量f的运算称为酉变换：

        酉变换、正交变换与信号分析——正交变换是酉变换的特例；它们都可以用于信号分析；用于信号分析的基函数集合和正交矩阵都应满足正交性和完备性。

        二维酉变换—— 二维函数可以类似于一维用正交序列展开和恢复：

上式中，上面的被称为正变换核，下面的被称为反变换核。

        变换核的可分离性：

其中 为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：

通常选择 。当此时，二维酉变换正变换表示为：

用矩阵表示： 。类似地，对于 的二维函数f(x,y):

        基图像——对反变换 ： 可看成是基图像， 则是权因子。图像 可以用 个基图像的加权和来表示。

        酉变换的性质——1）酉矩阵是正交阵： ；2） 为酉阵，则 和 都是酉阵；3）酉变换是能量保持的变换：对于一维酉变换 ，有 ；二维情况下，则有： ；4）酉变换能量的紧缩：正交酉变换往往趋于将信号能量压缩到相对少的变换系数中，由于总能量保持不变，因此许多变换函数将包含很少的能量（K-L变换可以达到最大的能量紧缩）；5）酉变换去相关：当输入向量元素间高度相关时，变换系数趋向于去相关，这意味着协方差矩阵的非对角项和对角项相比趋于变小（K-L变换可以得到完全的去相关）；6）均值和方差：设 的均值和协方差为 和 ，则 的均值为：

则 的协方差为：

7）其他性质：a） 为酉阵，则其行列式值为 ；b）若a为向量，则作酉变换后向量模保持不变： ，则 。

        一个例子——给定正交矩阵A和图像U， ， ，求：图像U经变换A后的变换图像V。可有：

反变换为：

变换 的基图像 为 的各列向量的外积（向量积）：

        什么是图像变换——1）将图像看成是线性叠加系统；2）图像在空域上具有很强的相关性；3）图像变换是将图像从空域变换到其他域如频域的数学变换；4）借助于正交变换的特性可使在空域上的复杂计算转换到频域后得到简化；5）借助于频域特性的分析，将更有利于获得图像的各种特性和进行特殊处理。

        可进行图像变换的基本条件——1）满足正交、完备两个条件的函数集合或矩阵才能用于图像的分析；2）常用的几种变换：傅立叶变换、WALSH变换、哈达玛变换、Haar变换、SLANT变换、K-L变换以及特定条件下的CONSINE变换、SINE变换等，都满足正交性和完备性两个条件。

        离散图像的正交变换为图像信号在一组二维离散完备正交基上的展开，这种正交基展开具有无损重构的性质，以及图像能量的集中和图像信号元素的去相关性能，在图像处理中具有重要的作用。

        若离散图像f(m,n)及其在离散完备正交基{a(u,v;m,n)}上的展开系数为g(u,v)，即：

        离散图像正交变换的特性——1）二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的正交性，满足

正交性保证变换后图像的紧缩性、图像的去相关性及任何被截断的级数展开将使均方误差和为最小。2）二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的完备性，满足

完备性保证变换后图像无失真的重构，即保证了当包括了全部系数时，重构误差将为零。

是!

这类积分题型有很明显的特征

一般f(x)g(x)中含有一个三角函数

而另外一个或者是三角函数,或者是e^kx,当然可以更复杂

直接求原函数是求不出来的

但是可以用分步积分法求结果,设积分为A

过程就算了,打不出来,也懒得手写……

思路：分步积分,大概进行两次就可以得到(1+常数)A=常数,而求出A

自己可以算一下,cosmxcosnx,m≠n在(0,π)的积分为0

如果你做出来了还可以尝试一下sinnx e^x在的积分多了解多算,还是蛮简单的

信号的频谱宽度叫做带宽，意思是一个射频信号能量所占频谱的宽度。大多数调制信号都需要通过占用一定的带宽来实现调制信息。随着通信科技的发展，越来越多的宽带调制信号出现（其中CDMA和WCDMA信号就是典型的宽带信号），因此对信号占用带宽测试应用日渐增多。

两者的频谱特点

1、周期信号的频谱特点：周期信号的频谱是离散的。

2、非周期信号的频谱特点：非周期信号的频谱是连续的。

频谱利用率定义为：

每小区每MHz支持的多少对用户同时打电话；而对于数据业务来讲，定义为每小区每MHz支持的最大传输速率。在这里，小区的频率复用系数f非常重要：f越低，则意味着每小区可选的频率自由度越大。在CDMA系统中，每个小区都可以重复使用同一频带(f=1)。在一个小区内对每个移动台的总干扰是同区内其他移动台干扰加上所有邻区内移动台干扰之和。

-频谱

我们知道：矢量可以在某一正交坐标系（正交矢量空间）中进行矢量分解；类似的，信号（函数）也可以在某一正交的信号空间（函数集）中进行分解。而在实际应用中使用最多的正交函数集是三角函数集（正弦或余弦信号）。任一信号，只要符合一定条件都可以分解为一系列不同频率的正弦（或余弦）分量的线性叠加；每一个特定频率的正弦分量都有它相应的幅度和相位。因此对于一个信号，它的各分量的幅度和相位分别是频率的函数；或者合起来，它的复数幅度是频率的函数。这种幅度（或相位）关于频率的函数，就称为信号的频谱。当把信号频谱，即幅度（或相位）关于频率的变化关系用图来表示，就形成频谱图。从频谱图上，我们既可以看到这个周期信号由哪些频率的谐波分量（正弦分量）组成；也可以看到，对应各个谐波分量的幅度，它们的相对大小就反映了各谐波分量对信号贡献的大小或所占比重的大小。

这样，信号一方面可用一时间函数来表示，另一方面又可以用频率函数来表示。前者称为信号的时域表示法，后者称为信号的频域表示法。无论是时域（时变函数），还是频域（频谱），都可以全面的描述一个信号。因此，经常需要把信号的表述从时域变换到频域，或者频域变换到时域，以及两者之间的关系。这种转换关系可以通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。因此信号的频谱既包含有很强的数学理论——涉及傅立叶变换、傅立叶级数等；又具有明确的物理涵义——包括谐波构成、幅频相频等。

总之而言，信号的频谱是信号的一种新的表示方法，从频谱可以看到这个周期信号由哪些频率的谐波分量（正弦分量）组成；也可以看到，对应各个谐波分量的幅度，它们的相对大小就反映了各谐波分量对信号贡献的大小或所占比重的大小。

“信号频谱”概念的微课视频链接