微分方程的分类

微分方程可分为以下几类，而随着微分方程种类的不同，其相关研究的方式也会随之不同。

常微分方程及偏微分方程

-常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变量的函数 。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：

f\left(x, \frac{d^n y}{dx^n},\frac{d^{(n-1)} y}{dx^{(n-1)}},\cdots, \frac{dy}{dx}, y\right)=0

常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变量导数的最高阶数 :p3，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程。例如以下的贝塞尔方程：

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

（其中y为应变量）为二阶微分方程，其解为贝塞尔函数。

-偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知数是多个自变量的函数 ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。像以下的方程就是偏微分方程：

\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0

线性及非线性

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。

若微分方程中没有出现未知数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现未知数及其微分项的乘积，此微分方程为线性微分方程，否则即为非线性微分方程。

齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。

若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程:p315-316，因此简化求解的过程。

针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有混沌现象。有关非线性微分方程的一些基本问题，例如解的存在性、唯一性及初始值非线性微分方程的适定性问题，以及边界值非线性微分方程都是相当难的问题，甚至针对特定非线性微分方程的上述基本问题都被视为是数学理论的一大突破。例如2000年提出的7个千禧年大奖难题中，其中一个是纳维-斯托克斯存在性与光滑性，都是探讨纳维－斯托克斯方程式其解的数学性质，至2012年8月为止此问题尚未被证明。

线性微分方程常常用来近似非线性微分方程，不过只在特定的条件下才能近似。例如单摆的运动方程为非线性的微分方程，但在小角度时可以近似为线性的微分方程。

举例

以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。

非齐次一阶常系数线性微分方程：

\frac{du}{dx} = cu+x^2

齐次二阶线性微分方程：

\frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0

描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：

\frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0

非齐次一阶非线性微分方程：

\frac{du}{dx} = u^2 + 1

描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：

L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0

以下是偏微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x及t或者是x及y。

齐次一阶线性偏微分方程：

\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0

拉普拉斯方程，是椭圆型的齐次二阶常系数线性偏微分方程：

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0

KdV方程，是三阶的非线性偏微分方程：

\frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}

①确定系统的输入和输出；

②列出微分方程；

③初始条件为零，对各微分方程取拉氏变换；

④求系统的传递函数。

例如：0初始条件下

两边拉普拉斯变换

Y(s)+μ sY(s)+ks^2Y(s)=F(s)

传递函数 Y(s)/F(s)=1/(ks^2+μ s+1)是个2阶系统

传递函数特点

传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应；是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关；只适用于线性定常系统；传递函数是单变量系统描述，外部描述；传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映在非零初始条件下系统的运动情况；

一般为复变量 S 的有理分式，即 n ≧ m。且所有的系数均为实数；如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应；如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。

-传递函数

将 y' 写成 dy/dx，然后两边同乘以 dx，

原方程化为 xdy＋ydx＝xe^x dx，

即 d(xy)＝xe^x dx，

积分得 xy＝xe^x - e^x＋C，

代入初值 x＝1，y＝1 得 C＝1，

所以所求特解是 xy＝(x-1)e^x＋1。

若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数)

根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P'(y)=Q'(x),在G内恒成立

例：判断方程（3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程，并求其通解

（3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0,

P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y,

δP/δy=12xy=δQ/δx,

所以这是全微分方程，

u(x,y)=∫[0,x](3x^2+6xy^2)dx+∫[0,y]4y^3dy

=x^3+3x^2y^2+y^4,

方程通解:x^3+3x^2y^2+y^4=C

就是函数的定义域和同时使得方程有意义的定义域的交集。

在微积分里面，对于间断点，如果是可去的，也可以算是定义域里面的点。

对于无限的情形，一般也可以把0与∞看成互为倒数，当成定义域的（圆括号）边界。

多元微分方程公式：dy/dx=1/(x+y)。

一般来说，高阶微分方程的求解比较复杂，在此仅介绍几种容易求解的类型，这几种方程的解法思路主要是利用变换将高阶方程化为较低阶的方程，将这种方法称为降阶法（method of reduction of order）。

含义

沿任何直线 y=kx 趋近于原点 (0,0) 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 y=x2趋近于原点时，f趋近于05。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:例如, 含有两个变量的实数函数f(x,y)，对于每一个固定的y，f关于x的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的x，f关于y的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。