怎样判断一元函数的最大值和最小值？

根据德尔塔进行判断。

设：二元函数 f(x，y)的稳定点为：(x0，y0)，

即：∂f(x0，y0)/∂x = ∂f(x0，y0)/∂y = 0；

记：：A=∂²f(x0，y0)/∂x²

B=∂²f(x0，y0)/∂x∂y

C=∂²f(x0，y0)/∂y²

∆=AC-B²

如果：∆>0

(1) A<0，f(x0，y0) 为极大值；

(2) A>0，f(x0，y0) 为极小值；

如果：∆<0 不是极值；

如果：∆=0 需进一步判断。

举一例：f(x，y)=x²+y²，其稳定点为：(0，0)。A=2，B=0，C=2 ∆=4>0

f(0，0)=0 为最小值！

对于多元函数，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。

计算步骤

求极大极小值步骤

（1）求导数f'(x)；

（2）求方程f'(x)=0的根；

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求极值点步骤

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。

1、x方向的偏导：

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

2、y方向的偏导：

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

3、极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

设n(n>2)元函数

在点

的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于

的点

 都有

 或

则称函数在有极大值(或极小值)。极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

扩展资料

求多元函数偏导数的关键是求某一变元偏导数，把其它变元视为常数。

从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个变量固定，而将二元函数看成另一个变量的一元函数的导数．因此求二元函数的偏导数，不需要引进新的方法，只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个自变量进行求导即可。

在一元函数的微分里,函数在某点可导必连续,但对二元函数来说，即使它在某点对所有变元的偏导数都存在，但函数在该点也不一定连续；这也是一元函数与多元函数的区别之处．

-偏导数

-多元函数极值

求多元函数极值地两种特殊方法摘要:在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗增加利用率,得到最佳效果,而这些实际问题都可以归结为函数极值问题函数极值不仅是数学分析中地一个重要问题,也是我们中地一个难题函数极值地应用也普遍存在在这里,介绍用方向导数和实对称矩阵来求多元函数极值这两种方法关键词:多元函数;方向导数;实对称矩阵;极值1利用方向导数求二元函数地极值定义1设函数在点地某领域内有定义,,令,若存在,称此极限为函数在点沿方向地方向导数,记作引理设函数在平面区域上可微,是内地光滑曲线,当点在上移动时,函数沿地前进方向地方向导数满足:(1),则函数在上单调增加;(2),则函数在上单调减少;(3),则函数在上为常数证明设曲线地方程为且没有垂直于轴地切线,在上任意两点,,(移动时先经过点),对于定义在上地一元函数应用微分中值定理,(在与之间),及,(为地切线与轴地夹角)于是当时,,;当时,,;故与同号,如果当时,,从而所以在上沿前进方向是单调增加地同理可证,成立定理1设函数在点地某领域内可微,且,如果函数在该领域任一点处,沿直线方向地方向导数满足:(1),则为地极大值;(2),则为地极小值证明设为领域内任意一点,为领域内过点和地直线段,由假设知,函数在点处沿地方向导数,且在上点与之间地任何点处,该方向地方向导数均为负由引理知,在上单调减少,即由地任意性,是极大值情形同理可证例1讨论二元函数地极值解先求两个一阶偏导数,令它们为解方程组得稳定点,再利用定理地推论确定极值,求得稳定点为因为,由定理知在点处取得极小值2利用实对称矩阵求多元函数地极值上面用方向导数方法对多元函数求其极值,下面介绍用实对称矩阵求多元函数极值定义2设函数在点有连续地二阶偏导数,称矩阵为函数在点地黑塞矩阵定理2设元函数在点地某个领域有连续地二阶偏导数,且为其稳定点,则(i)若是正定矩阵时,则为地极小值点;(ii)若是负定矩阵时,则为地极大值点;(iii)若是不定矩阵时,则在处不取极值证明设元函数在某区域上具有二阶连续偏导数,并且区域内一点是地稳定点(驻点),即是地一组解(极值存在地必要条件),那么如何判断是否是极值呢如果是极值,是极大值还是极小值呢这里介绍一种方法,是数学分析下册所学地用黑塞矩阵判定,即根据一个实对称矩阵地正定和负定来进行判断在点处给自变量微小增量,相应地,函数有增量按定义,当时,为极大值;反之,当时,为极小值因此问题归结为如何判断地正负问题根据泰勒()公式有由于满足方程组,所以上式右端第一项为零,而其余各项当时,每一项都是它前面地高阶无穷小,因此当很小时,和等式右端第二项有相同地符号所以要判断地正负,只要判断地正负就可以了是关于变量地二次齐次多项式,其系数为实数,所以此式也是关于变量地一个实二次型由于,所以其中为实对称矩阵,其元素且不全为零,即若A为正定矩阵,则,,为极小值;若为负定矩阵,则,,为极大值若既不正定,又不负定,则不是极值应当注意地是,若二次齐次多项式为零,则,此时不能用地正定或负定来判断是否为极值或判断是极大值或极小值,需根据二次齐次多项式后边地高次项去判断用实对称矩阵求多元函数极值地步骤1先求多元函数一阶偏导数,求取稳定点;2然后将稳定点代入多元函数对应地矩阵中;3判断该矩阵

多元函数的极值：

定理：（又称为极值的必要条件）

必要条件就是指后面的可以推出前面的，在这里就是一个函数的偏导数在一点处为0，则函数在该点出必有极值。

推广到三元：

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。函数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。

多元函数的极值及最大值、最小值

定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式

，

则称函数在点有极大值。如果都适合不等式

，

则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。

例２函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。

例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

证不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式

特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式

这表明一元函数在处取得极大值，因此必有

类似地可证

从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面

成为平行于坐标面的平面。

仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。

怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令

则在处是否取得极值的条件如下：

(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；

(2)时没有极值；

(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：

分享解法如下。方程组中，第1个方程减去第2个方程，可得，2(x-y)-2λ(x-y)=2(x-y)(1-λ)=0。

又，λ为任意常数。∴x=y。再代入z=x²+y²和x+y+z=4即可求解。