概率统计中，分布函数与概率转换问题

由分布函数的定义 P(X <= x ) = F(x)，所以

P(0<= X <=1) = P( X<= 1) - P(X<0) = F(1) - F(0-0)

P(0< X <=1 ) = P(X<=1) - P(X<=0) = F(1) - F(0)

P(0 < X < 1) =P(X<1) - P(X<=0) = F(1-0) - F(0)

F(a-0)表示函数F(x)在a点处和左极限。 以上是一般的情况。

如果随机变量X是离散型的，则

P(0<= X <=1) = P( 0<X<= 1)+ P(X=0) = P(X<=1) - P(X<=0) + P(X=0) = F(1) - F(0) + P(X=0)

P(0< X <=1 ) = P(X<=1) - P(X<=0) = F(1) - F(0)

P(0 < X < 1) = P( 0<X<= 1) - P(X=1) =P(X<=1) - P(X<=0) - P(X=1) = F(1) - F(0) - P(X=1)

如果随机变量X是连续型的，则它的分布函数处处连续，则

P(0<= X <=1) = P(0< X <=1 ) =P(0 < X < 1) = F（1）- F（0）

这段文字主要是介绍在概率论与数理统计中，如何通过已知随机变量的分布函数或概率密度函数来求另一个随机变量的概率密度函数。具体来说，通过两个例题来说明如何使用这种方法。

在第一个例题中，已知两个随机变量X和Y，其中Y是通过对X进行某种函数变换得到的。如果我们已知X的概率密度函数或分布函数，那么我们可以通过变换函数的性质来求出Y的分布函数，然后再对其求导数得到概率密度函数。这个例题中，Y的变换函数是e^X，X的分布函数和概率密度函数分别为P(X≤y)和f(x)，我们通过变换函数得到Y的分布函数为P(Y≤y)=P(e^X≤y)=P(X≤ln y)=F_X(ln y)，然后对其求导数得到Y的概率密度函数为f_Y(y)=f_X(ln y)·(1/y)，其中ln y大于0。

在第二个例题中，我们已知随机变量X服从均匀分布U[0,1)，需要求出变换函数Y=e^X的概率密度函数。首先我们需要求出Y的分布函数，对于y在(0,1)内，有P(Y≤y)=P(e^X≤y)=P(X≤ln y)=ln y，对于y小于等于0和大于1的情况，Y的概率密度函数为0。然后对分布函数求导数得到概率密度函数为f_Y(y)=1/y，其中y在(0,1)内，其他情况概率密度函数为0。

需要注意的是，在一些情况下，变换函数不是严格单调增或严格单调减，这时需要对变换函数进行分类讨论，以便求出Y的分布函数和概率密度函数。

概率论中随机变量的分布函数，是从整体上（宏观上）来讨论随机变量取值的概率分布情形的。分布函数中的自变量是随机变量X，因变量（函数）是其概率；分布函数在x=a点的函数值F（a），就是以a为右端点所有左边随机变量取值的概率P（x《a）故而，随机变量的分布函数对所有类型的随机变量都适合，包括离散型与连续型。离散型的分布函数F（x），是以x为右端点所有左边随机变量取值的概率求和；连续型的分布函数F（x），是以x为右端点所有左边随机变量密度函数的积分。分布列与分布律是一回事，就是描述离散型随机变量取值的概率

都用分部函数法，

X与Y的概率密度函数都是

f(x)=

{1/θ·e^(-x/θ) x≥0

{ 0 x＜0

分布函数都是

F(x)=

{1-e^(-x/θ) x≥0

{ 0 x＜0

(1)U的分布函数为

FU(z)=P(U≤z)

=P[max(X,Y)≤z]

=P(X≤z,Y≤z)

=P(X≤z)·P(Y≤z)

=

{[1-e^(-z/θ)]² z≥0

{ 0 z＜0

∴U的概率密度函数为

fU(z)=[FU(z)]'=

{2/θ·e^(-z/θ)·[1-e^(-z/θ)] z≥0

{ 0 z＜0

(2)V的分布函数为

FV(z)=P(V≤z)

=P[min(X,Y)≤z]

=1-P[min(X,Y)＞z]

=1-P(X＞z,Y＞z)

=1-P(X＞z)·P(Y＞z)

=1-[1-F(z)]²

=

{1-e^(-2z/θ) z≥0

{ 0 z＜0

∴V的概率密度函数为

fV(z)=[FV(z)]'=

{2/θ·e^(-2z/θ) z≥0

{ 0 z＜0