系统的频率特性是什么？常用的几何表示方法有哪些?

首先分析离散时间系统在指数序列 （ ）输入下的响应。设系统是因果的，单位样值响应为 ，根据卷积公式，响应 （46-1） 上式花括号中的项为 在 处的值，设 存在，于是 （46-2）该式说明，系统在指数序列输入条件下，响应也为指数序列，其权值为 。若取 ，也即 （ ），则有 （46-3）由于输入序列的计时起点为负无限大，按式（46-3）求得的响应应该是有始输入 的稳态解。 一般为复数，可用幅度和相位表示为 （46-4）于是，输出为 （46-5）该式表明，系统引入的幅度改变因子为 ，相位改变量为 。若输入为正弦序列 （46-6）则输出 （46-7）其中在以上推导过程中，要求 必须存在，也即 的收敛域必须包含单位圆，或者说 的全部极点要在单位圆内。当输入由两个不同频率的复指数序列的线性组合构成时，由线性系统的叠加性质，其输出为相应输出的线性组合，即其中 和 可以是复数。随频率 的变化称为离散时间系统的频率响应。 称为幅度函数，而 称为相位函数。由于 为 的周期函数，周期为 ，因而 也是 的周期函数。例如，若系统函数设a为实数， ，则频率响应函数为幅度函数和相位函数分别为按以上两式绘出的幅频特性和相频特性如图46-1所示，它们均是周期的。(a)幅频响应 (b)相频响应图46-1 频率响应当 为实序列时，由z变换定义式与 成共轭关系，则有 （46-8） （46-9）即幅度函数是频率的偶对称函数，而相位函数是频率的奇对称函数，考虑到它们都是以 为周期的，故在 范围内，幅频特性以 为中心对称，相频特性以 为中心奇对称，见图46-1。因此，在绘制离散时间系统的频率特性时，只需要绘出 范围内的频响曲线。根据系统函数的极零点分布，也可以通过几何作图方法简单而直观地绘出离散系统的频率响应，这与连续系统中频率响应的几何作图类似。考虑仅有一个极点和一个零点的系统函数用 置换z，频率响应为 参看图46-2，从极点指向 点的矢量称为极点矢量，从零点指向 点的矢量称为零点矢量。当 从0到 变化时， 点沿单位圆移动，极点矢量和零点矢量随着发生变化。当 离极点比较近时，极点矢量的模 相对较小，幅度函数则较大，当 离零点比较近时，零点矢量的模 相对较小，幅度函数也相对较小。按这种方法，可粗略地绘出幅频特性。图46-2 频率响应的几何绘制例46-1 试绘制 的幅频响应和相频响应。解 ， ， 的极零点分布如图46-2所示。当 时，极点矢量的模最小，在该频率传递函数的幅度最大，可计算出随着 的增加，极点矢量的模增大，而零点矢量的模减小，因而幅度函数不断变小；在 处，极点矢量最大，零点矢量最小，因而幅度函数最小，其值为幅频响应如图46-3(a)所示。相频响应也可用几何作图的方法绘出，对每一频率，它等于零点矢量的辐角减去极点矢量的辐角，相频响应如图46-3(b)所示。(a) (b)图46-3 的频率响应例46-2 传递函数 ，试定性绘制幅频响应。解 传递函数的极点和零点分别为 ， ，如图46-4(a)所示。可求出当 从0开始增加时，如图46-4(b)所示，幅度为随着 的增加， 和 增大，而 和 减小，极点 离 点最近，它起主导地位，由于 随 增加而减小，因而幅度的总趋势增大；当 增加到图46-4(c)位置时， 非常小，幅度达到极大值；随着 的继续增加， 越来越小，当 时， 点位于零点上，故幅度为零；当 进一步增加时，如图46-4(d)所示， 和 减小，而 和 增大，零点 离 点最近，起主导地位，由于 随 增加而增大，则幅度的总趋势不断增加；在 处，可求出幅频响应如图46-5所示。 (a) (b) (c) (d)图46-4 频率响应的几何确定图46-5 幅频响应

若周期函数的周期为T，满足下述条件的函数称为偶谐函数：

f(t+T/2)=f(t)。

若周期函数的周期为T，满足下述条件的函数称为奇谐函数：

f(t+T/2)=-f(t)。

偶谐函数只含偶次谐波，奇谐函数只含奇次谐波，若函数既不是偶谐函数，也不是奇谐函数，那么，既包含奇次谐波，也包含偶次谐波。

设信号f（t）的周期为T，若f（t+T/2）=-f（t），即在一个周期内，前半个周期和后半个周期互为对称，相互抵消，称为半波对称，则偶此项为0。

若f（t+T/2）=f（t），则奇数项为0。

1、奇谐函数

若周期信号波形沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴像对称，即满足：

f(t)=-f(t+T/2)

则称为奇谐函数或半波对称函数，这类函数的傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量。

2、偶谐函数

若周期信号波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠，即满足：

f(t)=f(t+T/2)

则为偶谐函数或半周期重叠函数，其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶次谐波分量。

扩展资料：

奇谐信号只有奇次谐波，奇谐信号特点是将信号平移半个周期、和原来的波形正好是倒的。

偶谐信号信号就只有偶次谐波。特点是把信号平移半个周期，和原来的波形重合。

其基频与奇次谐波两者的波峰、波谷的对应位置是峰对峰、谷对谷， 因此可归纳出奇次谐波失真不会造成波形的正负半周不对称。

那就是任何周期的波了，一般的波通过傅里叶级数可以产生基波分量、奇次谐波分量和偶次谐波分量。

设f(t)为一非正弦周期函数,其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。

即其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；

A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍,称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；

二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。

奇谐函数

若周期信号 波形沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴像对称,即满足

f(t)=-f(t+T/2)

则 称为奇谐函数或半波对称函数这类函数的傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量

偶谐函数

若周期信号 波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠,即满足

f(t)=f(t+T/2)

则 为偶谐函数或半周期重叠函数,其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶次谐波分量

第2章 信号分析

本章提要

 信号分类  周期信号分析--傅里叶级数  非周期信号分析--傅里叶变换  脉冲函数及其性质

信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段

§2－1 信号的分类

两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。

进一步分为：周期信号，非周期信号。



x(

质量－d簧系统的力学模型

非确定性信号（随机信号）：给定条件下

取值是不确定的  按取值情况分类：模拟信号，离散信号

数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。  信号描述方法 时域描述 如简谐信号

频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。

§2－2 周期信号与离散频谱

一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式  周期信号时域表达式

T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”

#

 傅里叶级数的三角函数展开式

（，…）

傅立叶系数：

式中 T--周期；0--基频, 0=2/T。  三角函数展开式的另一种形式：

周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法  频谱图

 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性

例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶

级数并画出频谱图 解：

解：

信号的基频

傅里叶系数

n次谐波的幅值和相角

最后得傅立叶级数

频谱图

二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式

 欧拉公式

或

 傅立叶级数的复指数形式

 复数傅里叶系数的表达式

其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。  一般cn是个复数。

因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此

#

即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。

 cn的复指数形式

共轭性还可以表示为

即：cn与c-n模相等，相角相反。  傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0

（等于三角

函数模的一半）

相角相等）

用cn画频谱：双边频谱

第一种：幅频谱图:|cn|-图:n-

相频谱，

第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图：

Imcn-；也就是an-和-bn- #

§2－3 非周期信号与连续频谱

分两类： a准周期信号

定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成

频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b瞬变非周期信号

几种瞬变非周期信号

数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换

演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（222）借助（216）演变成：

定义x(t)的傅里叶变换X(ω)

X(ω)的傅里叶反变换x(t):

 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波

的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函

数。  对应关系：

X()描述了x(t)的频率结构

X()的指数形式为

 以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得

X( f ) 频谱图

幅值频谱图和相位频谱图：

幅值频谱图

相位频谱图

()

实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω

) 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。

二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性

（二）对称性

（注意翻转）

（三）时移性质

（幅值不变，相位随 f 改变±2ft0） （四）频移性质

（注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性

（六）微分性质

（七）卷积性质

（1）卷积定义

（2）卷积定理

三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数：

(t)

0)

定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值：

脉冲强度（面积）

（二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质：

xx(t0)(tt0)

函数值：

强度：

结论：1结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)

在脉冲发生时刻的函数值

2脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2

(b) 利用结论2

结论：平移

x(t

（三）脉冲函数的频谱

均匀幅值谱

由此导出的其他3个结果

（利用时移性

质）

（利用对称性

质）

（对上式，

再用频移性质）

（四）正弦函数和余弦函数的频谱

余弦函数的频谱



(f)

正弦函数的频谱

(f)

谐波是指对周期性非正弦交流量。

进行傅里叶级数分解所得到的大于基波频率整数倍的各次分量，通常称为高次谐波，而基波是指其频率与工频(50Hz)相同的分量。

谐波产生的原因主要有，由于正弦电压加压于非线性负载，基波电流发生畸变产生谐波。主要非线性负载有UPS、开关电源、整流器、变频器、逆变器等。

泛音是物理学上的谐波，但次数的定义稍许有些不同，基波频率2倍的音频称之为一次泛音，基波频率3倍的音频称之为二次泛音，以此类推。

谐波的频率必然也等于基波的频率的整数倍，基波频率3倍的波称之为三次谐波，基波频率5倍的波称之为五次谐波，以此类推。不管几次谐波，他们都是正弦波。

扩展资料

谐波分析是信号处理的一种基本手段。在电力系统的谐波分析中，主要采用各种谐波分析仪分析电网电压、电流信号的谐波，该类仪表的谐波分析次数一般在40次以下。

对于变频器而言，其谐波分布与电网不同，电网谐波主要为低次谐波，而变频器的谐波主要为集中在载波频率整数倍附近的高次谐波，一般的谐波分析设备只能分析50次以下的谐波，不能测量变频器输出的高次谐波。

对于PWM波，当载波频率固定时，谐波的频率范围相对固定，而所需分析的谐波次数，与基波频率密切相关，基波频率越低，需要分析的谐波次数越高。一般宜采用宽频带的，运算能力较强、存储容量较大的变频功率分析仪，根据需要，其谐波分析的次数可达数百甚至数千次。

例如，当载波频率为2kHz，基波频率为50Hz时，其40次左右的谐波含量最大；当基波频率为5Hz时，其400次左右的谐波含量最大，需要分析的谐波次数一般至少应达到2000次。

同时，选择仪表的同时，还应选择合适带宽的传感器，因为传感器的带宽将限制进入二次仪表的信号的有效带宽。一般用选择宽频带的变频电压传感器、变频电流传感器或电压、电流组合式的变频功率传感器。

参考资料：

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