图像预处理的几何变换

几何变换可改变图象中物体(象素)之间的空间关系。这种运算可以看成将各象素在图象内移动的过程。

几何变换中灰度级插值是必不可少的组成部分，因为图象一般用整数位置处的象素来定义，某个点经变换后可能映射到多个点之间。

仿射变换(Affine Transformation)和图象卷绕(ImageWarping)是两类常见的几何运算。 1、最近邻插值

最简单的插值方法是最近邻插值，即选择离它所映射到的位置最近的输入象素的灰度值为插值结果。

最邻近插值的特点有：

1简单快速；

2灰度保真好；

3误差较大；

4视觉特性较差

5马赛克效应

2、双线性插值：

双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。假如我们想得到未知函数f在点P(x,y)的值，假设我们已知函数f在Q11（x1,y1），Q12（x1,y2），Q21（x2,y1），Q22（x2,y2）四个点的值。如下图所示：

首先在x进行线性插值，得到两个点R1与R2：

,其中R1=（x,y1）;

,其中R2=（x,y2）;

然后在y方向进行线性插值，得到所要求的点P(x,y)，点P(x,y)的值由下式给出：

,其中y1=f(R1)，y2=(R2)

这样就得到了未知函数f在点P(x,y)的值，以下式子给出：

如果选择一个坐标系统使得的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，如图所示：

那么插值公式就可以化简为一个双曲面抛物面方程的形式： 的形式，代入各个点的值则可以得到：

由此式可以得带双曲抛物面的各个参数的值为：

线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行y方向的插值，然后进行x方向的插值，所得到的结果是一样的。

双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值

双线性插值的特点：

1计算过程中充分的考虑到了各邻点的特征，具有灰度平滑过渡的特点；

2一般情况下可以得到满意的结果；

3具有低通滤波的特性，使图像轮廓变的模糊；

4平滑作用会使图像细节退化，尤其是在放的的时候；

5不连续性会产生不希望的结果。

3、 高阶插值（三次卷积插值）：

在满足Nyquist条件下，从离散信号X（nTs）可以恢复连续信号x（t）：

sinc函数如图所示：

为了简化计算，仅取原点周围有限范围的函数（即高阶插值）：

利用三次多项式来近似理论上的最佳插值函数sinc（x），得到以下式子：

当|x|<1时；

当1≤|x|≤2时；

当|x|>2时。

由此形成的三次卷积插值法，又称三次内插法，两次立方法（Cubic），CC插值法等。

利用插值点周围的16个邻点像素值：

首先确定辅助点位1p,2p,3p,4p各点的亮度值，再由此确定P点的值。由以下公式给出：

其中：

由此可以算出插值点P的的值。

三次卷积插值算法的特点：

1是满足Nyquist条件下，最佳重构公式的近似；

2只有图像满足特定条件时，三次卷积插值算法才能获得最佳的结果；

3可使待求点的灰度值更好的模拟实际可能的值；

4可以取得更好的视觉效果；

5三次卷积插值算法的突出优点是高频信息损失少，可将噪声平滑；

644时，像元均值和标准差信息损失小；

7计算量大为增加。 空间变换包括可用数学函数表达的简单变换(如：平移、拉伸等仿射变换)和依赖实际图象而不易用函数形式描述的复杂变换(如对存在几何畸变的摄象机所拍摄的图象进行校正，需要实际拍摄栅格图象，根据栅格的实际扭曲数据建立空间变换；再如通过指定图象中一些控制点的位移及插值方法来描述的空间变换)。

1、仿射变换(affine transfomation)

仿射变换变换的公式如下：f(x)=AX=b

其中A是变形矩阵，b是平移矢量。

任何一个放射变换可以分解为尺度、伸缩、扭曲、旋转、平移的组合。

2、基本变换

(1)基本几何变换的定义

对于原图象f(x，y)，坐标变换函数

x’=a(x，y)；y’=b(x，y)

唯一确定了几何变换：g(x’，y’)=f(a(x，y)，b(x，y))；

g(x，y)是目标图象。

(2)平移变换

(3)旋转变换：绕原点旋转(度

(4)水平镜像

(5)垂直镜像

(6)缩放变换

3、透视变换(Persp ective Tmnsfomation)

透视变换是中心投影的射影变换，在用非齐次射影坐标表达时是平面的分式线性变换，透视变换常用于图象的校正。

4、几何校正

几何校正是指按照一定目的将图象中的典型几何结构校正为没有变形的本来形式。

例如，对如F的走廊图象进行校正，分两种情况，一种是针对地砖形状的校正，另一种是针对最右侧有把手的门形状的校正。

5．图像卷绕(Image Warping)

图像卷绕是通过指定一系列控制点的位移来定义空间变换的图象变形处理。非控制点的位移根据控制点进行插值来确定。

有限单元法是指将连续的介质(如零件、结构等)看作由在有限个节点处联接起来的有限个小块(称为元素)所组成，然后对每个元素通过取定的插值函数，将其内部每一点的位移(或应力)用元素节点的位移(或应力)来表示，随后根据介质整体的协调关系，建立包括所有节点的这些未知量的联立方程组，最后用计算机求解该联立方程组，以获得所需的解答。

几何变换要求有空间变换和灰度插值。

灰度级插值

输出像素通常被映射到输入图像中的非整数位置，即位于四个输入像素之间，因此，为了决定与该位置相对应的灰度值，必须进行插值运算。

1最近邻插值

最简单的插值方法为零阶插值或称为最近邻插值，即令输出像素的灰度值等于离它所映射到的位置最近的输入像素的灰度值。

当图像中包含像素之间灰度级有变化的细微结构时，最近邻插值法会在图像中产生人工的痕迹。锯齿形边缘。



2双线性插值

一阶插值（双线性插值）效果比零阶插值好，但是程序稍微复杂，运行时间长。由于通过四个点确定一个平面是过约束问题，所以在一个矩形栅格上进行一阶插值需要用到双线性函数。





3高阶插值

在几何运算中，双线性灰度插值的平滑作用可能会使图像的细节产生退化，尤其是在进行放大处理时，影响更为明显。在其他应用中，双线性插值的斜率不连续性会产生不希望的结果。这两种情况都可以通过高阶插值得到修正。

空间变换

1简单变换

平移，放大，旋转。





2通过指定控制点进行变换

通过指定图像中所选的一系列控制点的位移值来描述空间变换。由于真正被指定的只有一小部分像素，所以非控制点的位移必须由插值来决定。



四边形顶点（输入的控制点）直接映射到相应的矩形顶点上，而输入四边形内部的点则被映射到对应输出矩阵内部的点上。

如果多项式的项数与控制点数相同，则可以设计出能够准确地映射指定的控制点的变换，通过解线性方程组，可求得多项式的系数，用矩阵求逆一般就能得到所需结果。

然而，如果控制点数多余多项式项数，则必须采用拟合来决定多项式系数，这时候，要求空间变换整体上与指定的控制点最佳拟合，但是，每个控制点不一定严格吻合。

用一维或者二维函数拟合一组指定的数据点，用来决定最佳拟合函数的系数的伪逆技术常被用来进行多项式卷绕，计算量惊人。

控制栅格插值。如果多项式卷绕做起来不现实，应该将图像分成小块进行卷绕变换。最常用的做法中，输入的控制点形成一个栅格，此栅格映射为输出图像中连通的、水平放置的矩形栅格。双线性插值常用于控制栅格插值，这是因为它计算简单，并且可以产生一个能保持连续性和连通性的光滑映射。

几何运算的应用：几何校正calibation，图像校直rectification，图像配准，图像样式转换，地图投影。

K30=σs/125。地基系数k30内插法公式K30=σs/125。K30，是表示土体表面在平面压力作用下，产生的可压缩性的大小。是用直径为300mm的刚性承载板进行静压平板载荷试验，取第一次加载测得的应力—位移（σ—s）曲线上s为125mm所对应的荷载σs。