有界函数的具体证明方法？？谢谢

设函数f(x)的定义域为D，f(x)集合D上有定义。如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在X上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界;等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。

扩展资料：

函数的有界性与其他函数性质之间的关系。函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。

1、单调性

闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

2、连续性

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

3、可积性

闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

无界函数

类似的我们可以定义无界函数: 设ƒ为定义在D上的函数，若对于任何M（无论M多大），都存在x0∈D，使得|ƒ(x)|≥M。相关详细定义请查看无界函数

-有界函数

设F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)

由于可导必连续，既然F(x)可导，它一定连续

一个区间上，可积，则他的变限积分在这个区间上是连续的，变限积分加上任意常数c，就是这个函数的不定积分，就是所有原函数的可能性。既然变限积分是连续的，加c之后自然也是连续的。

扩展资料：

函数可积不一定存在原函数。按条件的强度来说，可积是个较弱的条件，因为可积的充分条件是“在闭区间上有界且只有有限个间断点。”

可积的必要条件就是函数有界。

函数可积，只能知道他的变限积分所构造的函数连续。连续是比可积稍强的条件，也就是说，闭区间连续一定可积，且必有原函数，而且该函数的原函数一定可导。

1、所谓“可积性”integrability，是指函数图形下方跟 x 轴

     之间的面积，可以通过积分计算，不会出现无穷大的现象。

2、本题所谓的什么优函数（不清楚优函数在英文里面是什么东西），

     就此函数本身来说，左右极限都存在，是跳跃型间断点，具体

     请参看下面的解答，跟的函数图形。

3、由于在 x = 0 点处是唯一的间断点，而且是跳跃幅度有限的间断

     点，只要在有限的区间积分，都是可积的。

4、由于不知道本题的整体题意，无法给出更进一步的详细解答。

      期待着楼主的问题补充，跟追问，有问必答。

5、若点击放大，更加清晰。