高等数学，多元函数的极值及其求法

设所求点 P(x,y)

则 P 到 直线 x+2y-16 = 0 距离的平方 是

(x+2y-16)^2/(1^2+2^2) = (x+2y-16)^2/5

距离平分之和 S = x^2+y^2+(x+2y-16)^2/5

S'<x> = 2x+2(x+2y-16)/5

S'<y> = 2y+4(x+2y-16)/5

解得唯一驻点 P(8/5, 16/5), 即为所求。

套公式。求对x偏导 令=0，对y偏导，令=0，求出x,y 然后求对x二次偏导，令为A，对x求一次对y求一次，令为B，对y二次偏导，令为C，AC-B²＞0有极值，A＞0极小值，A＜0极大值

用分部积分法，

设u=e^x,v'=cosx,

u'=e^x,v=sinx,

原式=e^xsinx-∫e^xsinxdx,

u=e^x,v'=sinx,

u'=e^x,v=-cosx,

原式=e^xsinx-(-cosxe^x+∫e^xcosxdx)

=e^xsinx+cosxe^x-∫e^xcosxdx,

2∫e^xcosxdx=e^xsinx+cosxe^x

∴∫e^xcosxdx=(e^xsinx+cosxe^x)/2+C

解（拉格朗日乘数法）：设F=xy+λ(x+y-1)

令Fx=y+λ=0(1)

Fy=x+λ=0(2)

Fλ=x+y-1=0(3)

解方程组(1),(2)得x=y

代入(3)得x=y=1/2

故z的极大值=z(1/2,1/2)=(1/2)(1/2)=1/4

方法一

作拉格朗日函数F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2−z)+μ(x+y+z−4)

首先，求解其驻点。

令⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪F′x=2x+2λx+μ=0F′y=2y+2λy+μ=0F′z=2z−λ+μ=0F′λ=x2+y2−z=0F′μ=x+y+z−4=0，

求解方程组可得，(x1,y1,z1)=(1,1,2)，(x2,y2,z2)=(−2,−2,8)

因为u(x1,y1,z1)=6，u(x2,y2,z2)=72，

故所求的最大值为72，最小值为6

方法二注意到约束条件x+y+z=4，即z=4−(x+y)，故可将原问题转化为：

求函数u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在约束条件x+y+x2+y2=4下的最值

设F(x,y,λ)=x2+y2+x4+2x2y2+y4+λ(x+y+x2+y2−4)，

令⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪F′x=4x3+4xy2+2x+λ(1+2x)=0F′y=4y3+4x2y+2y+λ(1+2y)=0F′z=x+y+x2+y2−4=0，

解得，(x1,y1)=(1,1)，(x2,y2)=(−2,−2)，

代入z=x2+y2，得z1，=2，z2=8

因为u(x1,y1,z1)=6，u(x2,y2,z2)=72，

故所求的最大值为72，最小值为6