为了解决单位冲激函数（狄拉克Delta函数）的积分。

系统在单位阶跃输入作用下，系统在零初始条件下的输出响应为c(t)=1-2e^-2t+e^-t，系统的传递函数r(t)=1(t)进行拉氏变换得到R(S)=1/s，c(t)进行拉氏变换得到C(S)=1/s-1/(s+2)+1/(s+1)，G(S)=C(s)/R(S)=(2-ss)/(ss+3s+2)。

引入单位阶跃函数为了解决单位冲激函数（狄拉克Delta函数）的积分，系统在输入信号激励下的响应问题中，为了区分信号加入系统前后两个时点。

信号加入系统开始起作用的时点称为“0时刻”后沿，记为0+，t=0+，就是t>0；输入信号要加而未加入的时点称为0时刻前沿，记为0-，t=0-,就是t<0。

扩展资料：

一般认为，阶跃信号对于系统来说是十分严峻的工作状态，因为阶跃信号中存在跃断点（不连续点）。针对零初始状态系统在单位阶跃输入下的响应情况。

定义了一系列动态性能指标，用以评判系统的动态性能，如超调量、衰减比、上升时间、调节时间、峰值时间等等。

-单位阶跃函数

因为冲激函数只在t=0处有定义，其值为无穷大，且有∫(-∞,+∞)δ(t)dt=1

所以有∫（-∞，+∞）f(x)δ(t)dt=f(0)

于是有∫tδ(t)dt=0,∫t^2δ(t)dt=0

∫∫uvδ(u-v)dudv

=∫v^2dv

=1/3v^3+c

将此被积函数写为[f(x)+f(-x)]x^3 +x^4,其中[f(x)+f(-x)]x^3为奇函数,在对称区间[-1,1]上积分为零,x^4是偶函数,在对称区间[-1,1]上的积分等于在区间[0,1]上积分的二倍,x^4的原函数为x^5/5,用牛顿莱布尼兹公式可知,此积分值为2/5

函数积分值为零,函数值未必是零例如周期函数 sin(),cos(),整周期积分值为零,非整周期积分值不为零

反之,如果 f(x) = 0; 函数积分值 为 0

函数积分值,可以写成累加和：sum( f(xi) dx )

也可以理解为函数曲线和水平轴之间的面积,f(x) = 0 面积自然为 0

如果 无论积分区间（上下限） 怎么变化,积分值为零,也就是“函数曲线和水平轴之间的面积”始终为0,那么只有 函数曲线和水平轴 重合 才有可能也就是 f(x) = 0;

单位冲激偶信号(δ(t)的导数)与f（t）乘积的广义积分公式：

冲激信号可以求导数，它的导数即为冲激偶信号，以δ'(t)表示。冲激偶信号具有筛选特性、抽样特性、尺度特性等。

"单位冲激函数"是“信号与系统”学科中的一个重要概念。它是一个“面积”等于1的理想化了的窄脉冲。也就是说，这个脉冲的幅度等于它的宽度的倒数。

当这个脉冲的宽度愈来愈小时，它的幅度就愈来愈大。当它的宽度按照数学上极限法则趋近于零时，那么它的幅度就趋近于无限大，这样的一个脉冲就是“单位冲激函数”。

扩展资料

狄拉克δ函数有以下性质：

偶函数性:δ( − x) = δ(x)

展缩特性（尺度特性）：δ(ax) = |a|^-1 δ(x)

xδ(x) = 0,xδ(x − a) = aδ(x − a)

δ(x2 − a2) = (2 | a | ) − 1[δ(x + a) + δ(x − a)]

狄拉克δ函数的表达式：

在实际工程中，像“单位冲激函数”这样的信号是不存在的，至多也就是近似而已。在理论上定义这样一个函数，完全是为了分析研究方便的需要。

非零点脉冲函数为零，积分为零；零点第二项为1，对脉冲函数积分结果为1；相加结果为1。

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。

拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

在“电路分析”中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV。

如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，于是响应的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函数H（s）的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)。