∫e的不定积分

具体回答如下：

原式=∫e^(-x^2)dx

=∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy

=∫∫e^(-r^2) rdrdα

=(∫e^(-r^2) rdr)(∫dα)

=π∫e^(-r^2) dr^2

=π(1-e^(-r^2) |r->+∝

=π

∵ ∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy

=(∫e^(-x^2)dx)(∫e^(-y^2)dy)

=(∫e^(-x^2)dx)^2

∴∫e^(-x^2)dx=√π

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

e的n次方积分公式：∫（0，π/2）［cos（x）］^ndx=∫（0，π/2）［sin（x）］^ndx=（n-1）/n（n-3）/（n-2）。

先对x的n次方积分，后面托个积分号里面是对e的-x次方的积分加上，对e的-x次方积分，后面托个积分号里面是对x的n次方的积分，把一个积分分成两步来积。∫（e^x）²dx=∫（e^x）d（e^x）=（e^x）²/2+C=［e^（2x）］/2+C。

一个数的零次方

任何非零数的0次方都等于1。

通常代表3次方。

5的3次方是125，即5×5×5=125。

5的2次方是25，即5×5=25。

5的1次方是5，即5×1=5。

e^xsinx的不定积分为e^x(sinx-cosx)/2+C。

解：∫e^xsinxdx

=∫sinxd(e^x)

=e^xsinx-∫e^xd(sinx)

=e^xsinx-∫e^xcosxdx

=e^xsinx-∫cosxd(e^x)

=e^xsinx-e^xcosx+∫e^xd(cosx)

=e^xsinx-e^xcosx-∫e^xsinxdx

那么可得，2∫e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosx

所以∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2+C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

这个结果不是初等函数。

下面很简单说明这不是初等函数的原因。

令t=1/x，则x=1/t,

dx

=

d(1/t)

=

-1/(t^2)dt

原不定积分=

∫

e^t

(-1/(t^2))

dt

=

-

∫

e^t/t^2

dt

根据分部积分法

∫

udv

=

uv

-

∫

vdu，得

∫

1/t^2

d(e^t)

=-

∫

1/t^2

d(e^t)

=

e^t/t^2

-

∫

e^t

d(1/t^2)

=

e^t/t^2

-

∫

e^t

(-1/(t^3))

dt

=e^t/t^2

+

∫

e^t

/t^3

dt

因此

原不定积分

=

-

∫

1/t^2

d(e^t)=

-(e^t/t^2

+

∫

e^t

/t^3

dt)

又可以继续对∫

e^t

/t^3

dt进行分部积分，如此不断，直至无穷。

事实上把

∫

e^t/t^2

dt

中的t的指数改成1后，∫

e^t/t

dt

同样可以进行如上的分部积分。

因此∫

e^t/t

dt

是一个无穷级数，∫

e^t/t

dt

=

e^t/t

+

e^t/t^2

+

e^t/t^3

+

(直觉上具有这种无穷级数形式的就不是初等函数了~~~)

用Risch算法可以说明e^t/t的原函数不是任何初等函数的组合，不是初等函数。

对∫

e^t/t

dt

分部积分得:

∫

e^t/t

dt

=

e^t/t

+

∫

e^t

/t^2

dt

因此∫

e^t

/t^2

dt

=

∫

e^t/t

dt

-

e^t/t

既然∫

e^t/t

dt

不是初等函数，那么它减去一个初等函数后也不是初等函数

因此∫

e^t

/t^2

dt

也不是初等函数

因此原不等积分

∫

e^(1/x)

dx

=

∫

e^t

/t^2

dt

=

∫

e^t/t

dt

-

e^t/t

=

∫

e^t/t

dt

-

xe^(1/x)

也不是初等函数

其中，∫

(负无穷到x)

e^t/t

dt

常用

Ei

(x)表示，只能用初等函数(例如多项式)逼近

设你所要求的积分为A,

令 B＝ ∫ e^(-x^2)dx 积分区间为负无穷到正无穷,

又 B＝ ∫ e^(-y^2)dy 积分区间为负无穷到正无穷

被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数,所以A=B/2

B^2= (∫ e^(-x^2)dx)(∫ e^(-y^2)dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy

将上述积分化到极坐标中,x^2+y^2=r^2

∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy = ∫ ∫ r e^(-r^2)dr dθ r从0到正无穷,θ从0到2π

= ∫ 1/2 dθ θ从0到2π

= π

所以B＝√π

所以你要求的原积分就是 B/2 = √π /2

当然,你要是知道B＝ ∫ e^(-x^2)dx 这个积分是泊松积分,而泊松积分的值就等于√π的话,