设连续型随机变量x的概率密度函数为F(x)=kx 0<x<2;0 其他，求（1）常数k的值（2）分布函数F(X)（3）E(2X)

根据概率密度函数的定义，我们有：

（1）常数k的值

要使F(x)是一个合法的概率密度函数，必须满足：

- F(x)≥0

- ∫F(x)dx=1

将题目中的F(x)代入，得到：

- kx≥0

- ∫kxdx=1

解得：

- k>0

- k=1/2

所以常数k的值为1/2。

（2）分布函数F(X)

分布函数F(X)是概率密度函数F(x)的积分，即：

F(X)=∫F(x)dx

将题目中的F(x)代入，得到：

当x<0时，F(X)=0

当0≤x<2时，F(X)=∫(1/2)x dx=(1/4)x^2+C

当x≥2时，F(X)=1

由于分布函数要求在负无穷处为零，在正无穷处为一，所以C=0。因此，

当x<0时，F(X)=0

当0≤x<2时，F(X)=(1/4)x^2

当x≥2时，F(X)=1

（3）E(2X)

E(2X)是随机变量2X的数学期望，它等于概率密度函数乘以自变量的积分，即：

E(2X)=∫(2X) F(x) dx

将题目中的F(x)代入，并利用已知条件k=1/2和0<x<2，得到：

E(2X)=∫(from 0 to 2)(X)(1/4)x dx=(from 0 to 8)/12-(from 0 to 8)/12=(8/3)-(8/12)=(16/12)

所以E(2X)=(16/12)

概率密度函数:在数学中，连续型随机变里的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变里的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

公式：

其中入>0是分布的一个参数,常被称为率参数(rate par ameter)。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[o, oo)。如果一个随机变里X呈指数分布，则可以写作:x~Exponential(入 )。

分布：

在概率论和统计学中，指数分布(Exponential distribution)是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

概率密度和分布函数的区别是概念不同、描述对象不同、求解方式不同。

1、概念不同：概率指事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小；分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

2、描述对象不同：概率密度只是针对连续性变量而言，而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论，包括连续性和离散型。

3、求解方式不同：已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。对离散型随机变量而言，如果知道其概率分布（分布列），也可求出其分布函数；当然，当知道其分布函数时也可求出概率分布。

参考资料：

-概率密度

-分布函数

这题变相考你定积分而已

EX = 定积分 （x从0到1）(ax^2 + bx + c)x dx

= ax^4/4 + bx^3/3 + cx^2/2 | 0到1

= a/4 + b/3 + c/2 = 05, (1)

EX^2 = 定积分 (x从0到1) (ax^2 + bx + c)x^2 dx

= ax^5/5 + bx^4/4 + cx^3/3 | 0到1

= a/5 + b/4 + c/3 ,

于是DX = (a/5 + b/4 + c/3) - 025 = 015,于是

a/5 + b/4 + c/3 = 04, (2)

最后一个条件就是概率密度本身的积分要等于1：

1 = 定积分 (x从0到1) ax^2 + bx + c dx

= ax^3/3 + bx^2/2 + cx | 0到1

= a/3 + b/2 + c , (3)

联立（1）,（2）,（3）,可以解出：

a = 12, b = -12, c = 3