概率密度，分布函数

一、从数学上看，分布函数F(x)=P(X<x)，表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。

概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx，即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。

换句话说，概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密度”一词可以由此理解。

二、一元函数下

概率分布函数是概率密度函数的变上限积分,就是原函数

概率密度函数是概率分布函数的一阶导函数

多元函数下

联合分布函数是联合密度函数的重积分

联合密度函数是联合分布函数关于每个变量的偏导

三、概率密度只是针对连续性变量而言，而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论，包括连续性和离散型；

已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。

对离散型随机变量而言，如果知道其概率分布（分布列），也可求出其分布函数；当然，当知道其分布函数时也可求出概率分布。

对于二维连续变量的分布函数F(x，y)，一般应用其概率密度函数f(x，y)的定积分求解；对于非连续变量，需要分别累加求得与一维随机变量的求法相仿。

∴本题中，当x∈(0,∞)、y∈(0，∞)时，分布函数F(x，y)=∫(-∞，x)du∫(-∞,y)f(u，v)dv=∫(0，x)du∫(-0，y)2e^(-2u-v)dv=∫(0，x)2e^(-2u)du∫(-0，y)e^(-v)dv=[1-e^(-2x)][1-e^(-y)]。

当x∉(0，∞)、y∉(0，∞)时，分布函数F(x,y)=∫(-∞，0)du∫(-∞，0)f(u，v)dv=0。

扩展资料：

随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。

事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。

可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更直观简明，处理更方便。因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。

——二维随机变量

定义:设X是一个随机变量，x是任意实数,函数 称为X的分布函数

①定义域：

②值域： (非负性和有界性)

③应用：对于任意的x 1 ,x 2 ,存在x 1 <x 2 ,那么

                                  

④分布函数：正是引入了分布函数，因此可以采用高等数学中的工具，来研究随机现象。

将X看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-o,x]上的概率

求X分布函数，及

解：

已知离散型X：

则

①F(x)图形：一条阶梯型曲线，在x_k处间断，是一个跳跃间断点

②F(x)在X=x k 处有跳跃值：P k =P{X=x_k}

③F(x):分段函数；分段区间；左闭右开

例1：已知离散X的分布函数

求X的分布律。解答如下：

例2：一个靶子是半径为2m 的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示d着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。

(此例题对理解连续型随机变量很重要)

解：

①当x<0,{X≤x}是不可能事件,因此

②当0≤x≤2，P{0≤X≤x}=kx 2 (概率与面积成正比，k是正比系数，常数)，特别：取x=2 P{0≤x≤2}=4k，同时由实际得，P{0≤x≤2}=1，因此 k=1/4；故有：

③当x≥2时，又已知{0≤x≤2}，数轴上X≥2已经超过了范围，因此是必然事件。故 因此：

2、设随机变量X的概率密度为

求随机变量 的概率密度

解：由分布函数定义可知

①当 时：

②当 时:

③当 时：

因此：

从而随机变量Y=eX的概率密度 为：

总结首先根据分布函数定义 写出关于Y的分布函数 ,然后根据分布函数的导数是概率密度，可求出Y的概率密度．

均匀分布，均匀分布密度函数f(x)=1/(a-b),x大于a小于b，求分布函数积分就可得，然后求导得次密度函数。

设密度函数f（x）的某一个原函数是h（x），那么f（x）的所有原函数可以写成h（x）+c（c是常数）的形式。

若概率密度函数为f（x），且F'（x）=f（x），则概率分布函数为F（x）+C，C为常数，可以根据x趋于无穷时概率分布函数等于1求得。

离散型随机变量

的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更直观简明，处理更方便。因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。

　　对密度函数求定积分，即F(x)=∫[-∞,x]f(x)dx。

　在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。

连续型随机变量 求分布函数时，一般分段点的取法同密度函数，不用专门讨论分段点

不用定义求解

但要注意分布函数的定义，是以x为右端点所有左侧区间上密度函数的积分。

分区间讨论时，注意左闭右开。也就是区间左端点闭而右端点开

已知概率密度函数

那么进行分段积分即可

分为三段，x<0，0<x<1，x>1

于是积分得到分布函数

F(x)=0，x<0

F(x)=∫(0到x) xdx=x²/2，0<x<1

F(x)=1/2+∫(1到x) 2-x dx

F(x)=2x-05x²-1，1≤x≤2

F(x)=1，x>2