怎么用直接展开法把函数展开成幂级数？比如说这两个

　　利用已知展开式

　　　　e^x =∑(n≥0)[(x^n)/n!]，x∈R，

与

　　　　1/(1-x) = ∑(n≥0)(x^n)，|x|<1

来展开，可得

　　　　e^(-x²) = ∑(n≥0){[(-x²)^n]/n!}，x∈R，

与

　　　　x/(9+x²) = (x/9)/(1+x²/9)

　　　　　　 = ∑(n≥0)[(-x²/9)^n]，|x|<1。

cosx展开成幂级数方法：

1、求出f(x) 的各阶导函数，并且它们在x=0处的各阶导数值，如果某一阶导数不存在，则函数无法展开成幂级数；

2、写出幂级数 f(0)+f'(0)x+[f''(0)/2!]x^2++[f(n)(0)/n!]x^n+（其中f(n)(0)表示在x=0处的n阶导数值），并求其收敛半径R；

3、考察x在区间（-R，R）内时余项R（n)的极限是否为零，R(n)=[f(n+1)(a)/(n+1)!]x^(n+1),a是0到x之间的某个数，若为零则上式就是展开式。

cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-+(-1)^nx^2n/(2n)!+,x属于R。

幂级数含义：

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

幂级数的和函数：

若对幂级数中的每一个x都有a +a x+a x+…+a x+…=S(x)，则称S(x)为幂级数的和函数。

定理：设函数 在点X0的某一邻域内只有各阶导数，则在该邻域内能展开成Taylor级数的充分条件是的Taylor公式中的余项的极限为零。 3 4小结： 幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间绝对收敛

常用的是

1/(1-x)=1+x+x²+x³+， 收敛域为|x|<1

这其实是等比数列的求和公式得来的：公比为x, 首项为1的等比数列求和。

而y=ln(1+x)

y'=1/(1+x)

再将1/(1+x)用上面公式展开，即

y'=1/(1+x)=1-x+x²-x³+

积分得y=x-x²/2+x³/3-