验证函数f(x)=根号x在[4,9]满足拉格朗日中值定理,要详细规范的证明过程!

f（9）-f（4）=f′（x0）（9-4）

证明：由f（x）=√x,

∴f′（x）=1/2√x,

1/2√x=（√9-√4）/（9-4）

1/2√x=1/5

∴x0=25/4

拉格朗日定理（拉格朗日中值定理）

设函数f(x)满足条件：

（1）在闭区间〔a，b〕上连续；

（2）在开区间（a，b）可导；

则至少存在一点ε∈（a，b），使得

f(b)-f(a)

＝

f(ε)'(b

-

a)

此题f（x）＝y＝x的2/3次幂，

可以看出f（x）为初等函数，故其在定义域内连续且可导

f（x）的导数f’（x）＝2除以3倍的三次根号x，令b＝2

a＝-1，

f’（b）＝f’（2）＝2除以3倍的三次根号2，

f’（a）＝f'(-1)=-2/3

，b-a＝3

故f(ε)'＝2除以3倍的三次根号＝f(b)-f(a)除以(b

-

a)

推出

ε＝098

方法是这样，结果不知道对不对啊

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。这样会使成立条件范围进一步缩小，因为原定理并没有强制要求两端点导数存在，也就是说原函数没必要在两端点各多存在一个左导数与右导数。

解析：

该定理给出了导函数连续的一个充分条件。必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。

函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。

f(1)=0, f(e)=1, 所以在(1,e)间存在a(那字母太难打)，使f'(a)=1/(e-1) 事实上，f'(x)=1/x, 当a=e-1时，就有f'(a)=1/(e-1) 而a=e-1就在(1,e)间, 所以拉格朗日中值定理在这里成立。