二阶偏导数怎么求？

郭敦荣回答：

二元函数z=f（x，y）的二阶偏导数共有四种情况：

（1）∂z²/∂x²=[∂（∂z/∂x）]/ ∂x；

（2）∂z²/∂y ²=[∂（∂z/∂y）]/ ∂y；

（3）∂z²/（∂y ∂x） =[∂（∂z/∂y）]/ ∂x，；

（4）∂z²/（∂x∂y） =[∂（∂z/∂x）]/ ∂y

其中，∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y）称为函数对x，y的二阶混合偏导数，其求法上面已给出了基本公式，下面举例说明，

设二元函数z=sin（x/y），求∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y），

解∵∂z/∂x=（1/y）cos（x/y），∂z/∂y=（－x/y²）cos（x/y），

∴∂z²/（∂y∂x） =[∂（∂z/∂y）]/ ∂x=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。

∂z²/（∂x∂y） =[∂（∂z/∂x）]/ ∂y=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。

1、求导数，有三个法则 rule：

     A、积的求导法则 = product rule；

     B、商的求导法则 = quotient rule；

     C、链式求导法则 = chain rule。

2、在多元函数的求导中，求的是偏导数，方法依然是这三个法则，

      尤其是链式求导法则，是我们自始至终必须使用的法则。

      无论是隐函数，还是显函数，或是复合函数，均是如此。

      显函数 = explicit function；

      隐函数 = implicit function；

      复合函数 = composite function。

      楼主的问题，就是属于隐函数的问题。

3、具体示例 exemplification 如下，每张均可点击放大；

4、楼主若有具体问题，欢迎追问。

求隐函数的二阶偏导分两部：

（1）在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导,然后再解出Z关于X的一阶偏导。

（2）再在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导此方程当中一定既含有X的一阶偏导,也含有二阶偏导。最后把（1）中解得的一阶偏导代入其中,就能得出只含有二阶偏导的方程，解出即可。

例如：

:

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

以<>表示下标。

z = f(x-y,xy^2) = f(u,v), 其中 u = x-y, v = xy^2, 得。

z'= f'u'+f'v'= f'+y^2f'。

z'= f'u'+f'v'= -f'+2xyf'。

z''= [f'+y^2f']'= f''u'+f''v'+2yf'+y^2[f''u'+f''v']。

 = -f''+(2xy-y^2)f''2xy^3f''+2yf'上述是典型的复合连续函数求二阶偏导数，写法规范。

引入:

偏导数在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。

偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。