单射的可逆函数

另一单射函数的定义为其作用可取消的函数。更精确地说，f : X → Y为单射，若存在一函数g : Y → X，使得对所有X内的x，g(f(x)) = x，亦即g o f 等同于X上的恒等函数。

注意，g不一定是一f的完全反函数，因为其他顺序的复合f o g不一定是在X上的恒等函数。

事实上，将一单射函数f : X → Y变成一双射函数，只需要将其陪域Y替换成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其对所以X内的x，g(x) = f(x)；如此g便为单射的了。确实，f可以分解成inclJ,Yog，其中inclJ,Y来由J至Y的内含映射。

可逆相变的亥姆霍兹函数求法：G=H－TS。

下标nc表示系统中各种物质的物质的量均不发生变化。表明了系统的亥姆霍兹函数随系统的温度和体积而变化的依赖关系。如果一个封闭系统经过一个等容过程，系统的亥姆霍兹函数的变化为ΔA，则根据式可得式中ΔS为此过程中系统的熵变。

尽管吉布斯自由能

（Gibbs free energy）是最常用的一种用来度量热力学势的方法，特别是在化学领域中，一些场合的等压的限制导致应用的不便。 例如，在爆炸的研究中，因为爆炸反应有引起压力变化的本质特性而经常使用亥姆霍兹自由能。它也经常被用来在精确的热力学性质关系式中定义纯物质状态方程基本状态方程。

满射也好证明

∀<a,<b,c>> ∈A×（B×C）

则a∈A

<b,c>∈B×C

从而b∈B, c∈C

因此<a,b,c>∈A×B×C

也就是说，对任意A×（B×C）中的元素，都是可以找到原像的，因此是满射。