怎么用电脑画函数图像?

要用电脑画函数图像，可以先选择数学软件或绘图软件，比如Wolfram Mathematica、GeoGebra或Microsoft Excel等，然后按照以下步骤进行 *** 作：1 打开数学软件或绘图软件，创建新文档或工作簿。2 在软件的函数绘制模块中，选择要绘制的函数类型，比如线性函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等。3 输入要绘制的函数表达式或用软件提供的函数绘制工具绘制函数图像。4 根据需要调整坐标轴的范围、标度、标题等。5 可以添加图例、注释、箭头等元素美化图像。6 保存图像或导出为文件。需要注意的是，不同的软件可能 *** 作方式略有不同，具体步骤可参考软件的使用说明。

高一数学二次函数与一元二次方程教案

知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x 轴交点及一元二次方程的根。

（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。

能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。 情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入

等式ax 2+bx +c =0(a ≠0)是关于x 的一元二次方程，关系式y =ax 2+bx +c (a ≠0)则是关于自变量x 的二次函数。今天我们将进一步研究它们之间的关系。 二、新授 观察思考：

1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如

①方程x -2x -3=0与函数y =x 2-2x -3；

2

②方程x -2x +1=0与函数y =x 2-2x +1；

2

③方程x 2-2x +3=0与函数y =x 2-2x +3。

研讨探究

问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x 轴交点坐标有什么关系 ？ 探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。 ⑴以①为例（幻灯片）

结论：一元二次方程x -2x -3=0的判别式∆＞0 ⇔一元二次方程x -2x -3=0有两个

不相等的实数根⇔对应的二次函数y =x 2-2x -3的图象与x 轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。

（2）再研究②③，能得类似的结论吗？

22

结论：一元二次方程x -2x +1=0判别式∆=0一元二次方程x -2x +1=0⇔有两

22

等根⇔对应的二次函数y =x -2x +1的图象与x 轴有唯一的交点为（1，0）。

22

一元二次方程判别式x -2x +3=0∆﹤0 ⇔一元二次方程x -2x +3=0

2

方程无实数根⇔对应的二次函数y =x 2-2x +3的图象与x 轴没有交点。

联想发散

2

2、一元二次方程ax +bx +c =0（

a ＞0）根的个数及其判别式与二次函数

y =ax 2+bx +c （a ＞0）图象与x 轴的位置之间有什么联系？）

思考：当二次函数y =ax 2+bx +c （a ﹤0）时，是否也有类似的结论呢？ 探究点二：函数的零点

一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的的实数根就是二次函数y =ax 2+bx +c 的值为零时自变量的x 的值，也就是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标，因

2

此一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0)的的实数根也称为二次函数

y =ax 2+bx +c (a ≠0)的零点。

一般地，对于函数y =f (x ) ，把使f (x ) =0的实数叫做函数y =f (x ) 的零点。 函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系：

函数y =f (x ) 的零点⇔方程f (x ) =0实数根⇔函数y =f (x ) 的图象与x 轴的交点横坐标。

探究点三：函数的零点的求解与判定

练习:说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的零点情况：

2

①方程x -2x -3=0与函数y =x -2x -3； 2

②方程x -2x +1=0与函数y =x 2-2x +1； 22

③方程x -2x +3=0与函数y =x -2x +3

x

2

注:(1)函数的零点是数，不是一个点。 （2）并不是所有函数都有零点。

例1、 求证：一元二次函数 y =2x +3x +7有两个零点 小结：函数零点的求解与判断

①（代数法）求方程 f(x)=0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并

利用函数的性质找出零点．

例2 如图（幻灯片）是一个二次函数y =f (x ) 的图象。 ⑴写出这个二次函数的零点； ⑵写出这个二次函数的解析式；

⑶试比较f (-4) f (-1) ，f (0)f (2)与0的大小关系。

2

解：⑴由图象可知此函数的零点是：x 1=–3，x 2=1。

⑵由⑴可设f (x ) =a (x +3)(x -1) ∵f (-1) =4∴a =1 ∴f (x ) =-(x +3)(x -1) 。

即这个二次函数的解析式为f (x ) =-x 2-2x +3。 ⑶∵f (-4) =-5, f (-1) =4, f (0)=3, f (2)=-5， ∴f (-4) f (-1) =-20﹤0，f (0)f (2)=-15﹤0。

设问1:已知二次函数f(x)的图象，判断f(-2)、f(0)、f(4)、f(6)与0的大小；如果

开口向下呢？

设问2:如果二次函数y ＝f(x)的零点是－1和5，如图3，试判断f(-2)f(0)、f(4)f(6)

与0的大小。

设问3:如果不知道二次函数y ＝f(x)的零点，但是有f(-2)f(0)

得出什么样的结论？你能否画出它的大致图像？根据图像你能够得到什么样的式子？（幻灯片）

结论：如果二次函数y=f(x)对于实数m,n,m

得f(x0)=0,即函数在区间(m,n)上有一个零点

2

2

不求a 、b 、c 的值，可以判断方程ax +bx +c =0的两根所在的区间是（）

(A )(-3, -1)和(-1,1) (B ) (-3, -1)和(2,4) (C ) (-1,1)和(1,2) (D ) (-∞, -3)和(4, +∞)

三、课堂小结

◆函数零点与方程根的联系；

◆一元二次方程根的分布与函数图象之间的关系及处理方法； ◆本节课运用了哪些数学思想方法

四、作业 课本 P81习题1、2。

备用：若方程2ax 2-x -1=0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是（B ）

(A )a ﹤

-1

(B )a ﹥1 (C )

-1

﹤a ﹤1 (D )0≤a ＜1

解：设f (x ) =2ax 2-x -1

由题意得：f (0)f (1)＜0 ∴(-1)(2a -1-1) ＜0解得a ﹥1 ∴选B

要画出二次函数的图像，需要按照以下步骤进行：1 确定函数的基本形状。二次函数的基本形状是开口朝上或者朝下的U形。如果a\u003e0，则开口朝上；如果a\u003c0，则开口朝下。2 确定函数的顶点。函数的顶点是二次函数的最高点或者最低点。它可以通过求解函数的一阶导数来获得。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其一阶导数为f'(x) = 2ax + b。令f'(x) = 0，解出x的值，然后将x的值代入f(x)中求得y的值，就可以得到函数的顶点。3 确定函数的x和y的截距。截距是指函数与x轴或者y轴相交的点。当f(x) = 0时，表示函数与x轴相交；当x = 0时，表示函数与y轴相交。因此，可以通过求解f(x) = 0或者f(0)来确定函数的截距。4 确定函数的对称轴。对称轴是指函数图像的两侧完全相同的一条线。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴可以通过求解x = -b / 2a来获得。5 绘制函数图像。根据上述步骤，我们可以得到函数的基本形状、顶点、截距和对称轴。然后，我们可以根据这些信息来绘制函数的图像。需要注意的是，当截距很大或者函数的变化很快时，需要适当调整坐标轴的比例，以便更好地显示函数的变化。

1、二次函数的定义

一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．如y=3x2，y=3x2－2，y=2x2＋x－1等都是二次函数．

注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式；

(2)二次函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数；

(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数；

(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2－x(x－1)化简后变为y=x，故它不是二次函数．

2、二次函数y=ax2的图象和性质

（1）函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上所有二次函数的图象都是抛物线．

二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)．

①当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a>0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而减小；当x>0时，函数y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0；

②当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点．也就是说，当a<0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而增大；当x>0时，函数y随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0；

③当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大．

（2）二次函数y=ax2的表达式的确定

因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值．

3、二次函数y=ax2＋c的图象与性质

(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．

(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．

当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．

当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．

(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．

抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．

二、重点知识讲解

1、二次函数的基本特征是其函数解析式是关于自变量的二次式，在判断一个函数是否为二次函数时，应抓住这个基本特征，同时应注意a≠0这个条件

例1、下列函数中，（x，m为自变量），哪些是二次函数？

（1）n=m2－3m＋　　　（2）y=－1＋x2

（3）　　　（4）

（5）y=ax2＋bx＋c　　　　（6）

解：

根据二次函数的定义可知

（1）（2）（6）是二次函数，其中（6）式可写成，而（3）的右边不是整式．（4）是m的三次函数，（5）中a应不为0．

2、学习y=ax2的图象及性质时应着重掌握对称轴、顶点、性质；在学习性质时，应当注意a的作用，它的符号决定了抛物线的开口方向，它的绝对值决定了抛物线的开口大小。

例2、在同一直角坐标系中，

(1)画出下列函数的图象．①；②y=2x2；③；④y=－2x2；

(2)说出四个图象的区别与联系．

分析：

列表时，应在顶点的左右两侧对称地选取自变量x的值，并把函数放在一起，把y=2x2和y=－2x2放在一起列表时要方便些．一般情况下，包括顶点，描出5至7个点即可．连线时要注意平滑，图象的两边要伸展出去．

解：(1)①列表：

x

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

845

2

05

0

05

2

45

8

－8

－45

－2

－05

0

－05

－2

－45

－8

x

－2

－15

－1

－05

0

05

1

15

2

y=2x2

8

45

2

05

0

05

2

45

8

y=－2x2

－8

－45

－2

－05

0

－05

－2

－45

－8

②描点；

③连线．如图所示．

(2)四个图象的区别与联系，如下表：

函数

区别 联系

图象开口方向

抛物线位置

开口大小

y=2x2

a>0，开口向上

抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴上方，并向上无限延伸

当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽

四个图象的顶点都是原点，对称轴都是y轴

y=－2x2a<0，开口向下

抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴下方，并向下无限延伸

当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽

反思：①对于y=2x2和y=－2x2，|a|>1，在选取x的值时，每两点相隔半个单位比每两点相隔一个单位画图方便．

②一定要对图象仔细观察，常误认为|a|越大，开口越大，|a|越小，开口越小．而实际上恰好相反，即|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．

③用平滑曲线连接各点时，两点间不能出现直线的情况．

例3、已知抛物线y=ax2经过点A(－2，－8)．

(1)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上：

(2)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．

分析：

先把点A(－2，－8)代入抛物线的表达式y=ax2中，确定a的值，从而确定抛物线y=ax2的表达式，再把B点坐标代入验证是否满足抛物线的表达式，最后将y=－6代入表达式，即通过解方程求出横坐标．

解：

(1)把(－2，－8)代入y=ax2得－8=a(－2)2．

∴a=－2．∴抛物线的关系式为y=－2x2．

∵－4≠－2×(－1)2，∴点B(－l，－4)不在此抛物线上．2)由－6=－2x2，得，

　　∴抛物线上纵坐标为－6的点有两个，即(，－6)和(，－6)．

　　反思：由于抛物线是轴对称图形，所以除顶点外，每一个y值都对应着两个x值．注意不要漏掉一个．

例4、在同一直角坐标系中，作出二次函数y=2x2－2和y=2x2＋3的图象，观察图象，可得出哪些结论？

解析：

　　按作二次函数图象的三个步骤，列表，描点，连接可分别作出它们的图象，再由它们的形状，开口方向，对称轴，顶点坐标及平移等可得．

解：（1）列表：

x

－2

－1

0

1

2

……

y=2x2－2

105 6

0

－2

0

6

105

……

y=2x2＋3

155

11

5

3

5

11

155

……

　　（2）描点；

　　（3）用光滑曲线连接，得两支抛物线．

设y=2x2＋3　①和y=2x2－2　　②

　　观察两函数图象可知：

　　1）①、②的图象形状相同；

　　2）开口方向相同，都向上；

　　3）对称轴都是y轴；

　　4）①的图象顶点坐标是（0，3），②的图象顶点坐标是（0，－2），其中①的图象可以看成是②的图象向上平移5个单位得到，反之②的图象也可以看成是①的图象向下平移5个单位得到．

　　5）当x<0时，①、②中y的值随x增大而减小，当x=0，①、②中y=0，当x>0时，①、②中y的值随x增大而增大．

三、难点知识突破

1、对二次函数概念的理解

例5、已知函数(m是常数)．当m为何值时，此函数为二次函数

分析：

　　根据二次函数的定义知m2－3m－2=2且m＋1≠0．即当m=4(m=－1不合题意，舍去)时，y=5x2＋3x是二次函数．

解：

　　由题知m2－3m－2=2，m＋1≠0，解得m=4．∴当m=4时，此函数为二次函数．

误区警示：

　　在求解本题时，既要考虑x的最高次项的指数为2，又要考虑它的系数不为0，缺一不可，否则容易犯顾此失彼的错误．

2、数形结合是数学的重要思想之一，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它的顶点的纵坐标对应着Y的最值；它的图象与X轴的位置关系对应着Y的符号。下面以两道简单的例题进行说明。例6、求下列函数的最值：

（1）y=3x2　　　　（2）y=-3x2

解析：

　　（1）由y=3x2的图象可知，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大，因此，顶点为图象的最低点，顶点的纵坐标为y的最小值。

　　（2）同理由y=-3x2的图象可知当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，因此，顶点为图象的最高点，顶点的纵坐标为y的最大值。

3、二次函数Y=ax2＋c的表达式的确定

　　二次函数y=ax2＋c的表达式中含有a、c两个字母系数，一般需要两个独立的条件并用待定系数法确定a、c即可．有时在实际问题中，还需要根据抛物线的位置和形状来设出函数表达式，再利用待定系数法来确定函数表达式．

例7、已知抛物线y=ax2＋c与直线y=x＋l交于两点A(1，m)和B(n，－1)，求抛物线的解析式．

分析：

　　先由两点A、B在直线y=x＋1上，分别求得m，n的值，从而得A、B两点的坐标，又抛物线过A、B两点，代入表达式中，解方程组得出结论．

解：

　　∵抛物线y=ax2＋c与直线y=x＋l交于两点A(1，m)，B(n，－1)，

　　∴A(1，2)，B(－2，－1)．代入抛物线的表达式中，得

　　解这个方程组，得a=－1，c=3．

　　故抛物线的表达式为y=－x2＋3．

　　反思：解题次序很重要，本题应该先由A、B在直线上，求得m，n的值，然后再用待定系数法求a、c的值，从而得到抛物线的表达式．另外，点在直线或抛物线上，则点的坐标适合直线或抛物线对应的表达式．

1、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质

　　①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．

　　②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．

　　③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．

2、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质：

　　一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：

　　①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；

　　②对称轴是平行于y轴的直线x=h；

　　③顶点坐标是(h，k)．

　　二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．

3、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质

　　二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，对二次函数y=ax2＋bx＋c可通过配方求其顶点坐标与对称轴．

二次函数y=ax2＋bx＋c总可通过配方得

　　即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．

　　当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．

　　当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，同时由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到．

　　第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；

　　第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位．

　　抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同．

4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法

　　根据二次函数图象的基本特征，通常采用五点法．

　　步聚：（1）先根据函数的解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；

　　（2）求出抛物线y=ax2＋bx＋c与坐标轴的交点；

　　当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D，将这五个点按从左到右的顺序连接起来．

　　当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图，如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接起来，画出二次函数的图象．

5、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系

a、b、c的代数式

作用

字母的符号

图象的特征

a

1．决定抛物线的开口方向；

2．决定增减性

a＞0

开口向上

a＜0

开口向下

c

决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)

c＞0

交点在x轴上方

c=0

抛物线过原点

c＜0

交点在x轴下方

决定对称轴的位置，对称轴是

ab＞0

对称轴在y轴左侧

ab＜0

对称轴在y轴右侧

二、重难点知识讲解

1、二次函数的三种形式：

（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；

（2）顶点式：y=a(x-h)2＋k（h，k）为函数图象的顶点；

（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(x1，0)，(x2，0)为函数图象与x轴的交点

2、图象的变换

　　（1）平移的方向的确定是一个难点，对此，我们可以通过顶点的变化情况来决定。例如：y=x2＋2x＋3顶点坐标为(-1，2)，y=x2顶点坐标为(0，0)，将(0，0)向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到(-1，2)，因此，将y=x2向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到y=x2＋2x＋3。

　　（2）左右平移改变的是x的值，上下平移改变的是y的值，一般地，左加右减，上加下减。例如：y=x2＋2x＋3向右平移1个单位，得到y=(x－1)2＋2(x－1)＋3，向下平移2个单位，就得到y=(x－1)2＋2（x－1）＋3－2，整理后就得到y=x2。

3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式

　　用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式。如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式。

三、典型例题讲解

例1、已知抛物线，求：

(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；

(2)作出草图；

(3)根据图象指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0；

(4)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？

分析：

　　解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．

解：

　　(1)．

　　∵，∴抛物线开口向上．

　　抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．

　　(2)抛物线与x轴的交点是(－10，0)，(－2，0)，与y轴的交点是(0，10)，草图如图所示．

　　(3)当x＜－10或x＞－2时，y＞0；

　　当x=－10或x=－2时，y=0；

　　当－10＜x＜－2时，y＜0．

　　(4)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．

反思：

　　画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．

例2、抛物线y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则a、b、c的符号为（　）

A．a＜0，b＞0，c=0　　　　　　B．a＜0，b＜0，c＞0

C．a＜0，b＜0，c=0　　　　　　D．a＜0，b＞0，c＜0分析：

　　由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，抛物线与y轴交于O点，则x=0时，y=0，得c=0，故排除B，D对称轴在y轴左侧，则，a、b同号f，因a＜0，故b＜0．所以选C．

答案：C

反思：

　　由图象确定a，b，c的符号，其中a，c的符号可直观得到．只有b的符号的确定较繁，但也有技巧，只要看对称轴的位置即可，若对称轴在y轴左侧，则a、b同号；若对称轴在y轴右侧，则a，b异号，简称“左同，右异”．

例3、(2006年，黄冈模拟)一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1)；③当x＞－1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．

分析：

　　此题中的抛物线表达式符合y=a(x＋1)2＋k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解．

　　由①知，抛物线开口方向向上，a＞0，取a=1，由③知可令此抛物线的对称轴为x=－1，因此可设y=(x＋1)2＋k，将点(－1，1)代入，得k=1．

　　∴y=(x＋1)2＋1．

答案：y=2(x＋1)2＋1，等

反思：解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据限制条件作答．

例4、已知二次函数的图象的顶点是（1，-8），且经过点（3，0），求这个二次函数关系式．

分析：

　　因为已知二次函数图象顶解法四：因为抛物线顶点为（1，－8），所以设函数关系式为y=a(x-1)2－8．

　　把(3，0)代入上式，得O=a(3－1)2－8．∴a=2．

　　∴二次函数关系式为y=2(x－1)2－8=2x2－4x－6

　　解法五：∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴一个交点为（3，0），设另一交点为（x2，0），则1=

　　∴x2=－1∴设二次函数关系式为y=a(x+1)(x-3)

　　把（1，－8）代入上式，得－8=a·2·（-2）．∴a=2．

　　∴二次函数关系式为y=2(x＋1)（x－3）=2(x2－2x－3)=2x2-4x-6．

反思：

　　求二次函数关系式方法，应根据具体问题是灵活应用，选取最简方案．

例5、如图，已知抛物线y=x2－ax＋a＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D(0，8)，直线DC∥x轴，交抛物线于另一点C．动点P以每秒2个单位长度的速度从C出发，沿C→D运动．同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ，CB．设点P的运动时间为t秒．

　　(1)求a的值；

　　(2)当t为何值时，PQ∥y轴；

　　(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

分析：

　　(1)将D(0，8)代入抛物线的表达式中可求出a的值；

　　(2)当PQ∥y轴时，DP=OQ，用t的关系式分别表示DP的长和OQ的长，即可求出t的值；点及与x轴一个交点，故可用一般式，顶点式或两点式．

(3)应用可求出t的值，此时实质是解含t的方程．

解：

　　(1)∵D(0，8)在抛物线上，

　　∴a＋2=8，∴a=6，

　　(2)当a=6时，抛物线的表达式为：y=x2－6x＋8．

当y=8时，x2－6x=0，

∴x1=0，x2=6．

即C点坐标为(6，8)．

当y=0时，x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4．

∴A(2，0)，B(4，0)．

∴CP=2t，AQ=t．

∴P(6－2t，8)，Q(2＋t，0)．

由6－2t=2＋t，解得．

即当秒时，PQ∥y轴．

(3) ．

由4t＋8=14，得．∴当秒时，四边形PQBC的面积是14．

反思：

　　函数与几何知识相结合，一定要依据几何性质找到变量间的数量关系．同时注意平面直角坐标系中，与y轴平行的直线上的点的纵坐标相同．

求二次函数解析式的三种方法如下：

在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件，设出恰当的解析式，具体如下：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=a(x－m)2+k(a≠0)来求解。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解。

值得注意的是，用交点式来求二次函数的解析式，前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。

求解二次函数解析式，典型例题分析1：

已知一个二次函数图象经过（-1，-3）、（2，12）和（1，1）三点，那么这个函数的解析式是_______。

解：将点（-1，-3）、（2，12）和（1，1）坐标代入y=ax2+bx+c，可得：

-3=a（-1）2+b（-1）+c

12=a·22+b·2+c

1=a·12+b·1+c

解得a=3,b=2,c=-4。

因此所求函数解析式为y=3x2+2x-4。

求出待定系数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c

解题反思：

已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，把问题转化为求解一个三元一次方程组，易得a=3,b=2,c=-4，故所求函数解析式为y=3x2+2x-4。

求解二次函数解析式，典型例题分析2：

已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

解：设此二次函数的解析式为，由题意得：

-9=a（-1）2+b（-1）+c

-3=a·12+b·1+c

-5=a·32+b·3+c

解得a=-1,b=3,c=-5。

∴所求的二次函数的解析式为

求解二次函数解析式，典型例题分析3：

在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），求抛物线的解析式。

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，

将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，

解得a=025．

故抛物线的解析式为y=025（x﹣1）2﹣1

求解二次函数解析式，典型例题分析4：

已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。

解：设抛物线y=a(x－m)2+k，由题意得：

m=-1，k=-2

∴y=a(x+1)2-2

∵抛物线过点（1，10）

∴a(1+1)2-2=10

所以a=3

即解析式为y=3x2+6x+1

求解二次函数解析式，典型例题分析5：

已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。

解：设所求解析式为y=a(x+5)(x－2)

∵图象经过（3，－4）

∴a(x+5)(x－2)=-4

∴a=-05

即：y=05(x+5)(x－2)

则所求解析式为y=-05x2-15x+5

求解二次函数解析式，典型例题分析6：

已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点

∴设二次函数的解析式为y=ax(x-3)

∵y=-2x2+8x-9的顶点为A（2，-1）。

∴将A点的坐标代入y=ax(x-3),

得到a=05

∴y=05x(x-3),

即y=05x2-15x

记住二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

解：当-1＜x＜3，一次函数y＝kx＋（2k-5）与x轴有交点，即0＝kx＋（2k-5），x＝（5-2k）／k＝5／k-2，

∴-1＜5／k-2＜3，即1＜5／k＜5

①5／k＞1，5／k-1＞0，（5-k）／k＞0，0＜k＜5

②5／k＜5，（5-5k）／k＜0，k＞1

∴1＜k＜5

y=ax²+bx+c，

化为顶点式是：y=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a

配方过程如下：y=ax²+bx+c=a(x²+bx/a)+c=a(x²+bx/a+b²/4a²-b²/4a²)+c=a(x+b/2a)²-b²/4a+c=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a

在二次函数的图像上：

顶点式：y=a(x-h)²+k, 抛物线的顶点P（h,k）

顶点坐标：对于一般二次函数 y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b²)/4a)

二次函数一般式(  ）(a不等于0)已知三点求二次函数解析式（]]y=ax^2b]i]]]+bx+cb]i])可设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c知道3点了，分别代入这个解析式，就可以得出3个方程，3个方程，3个未知数，就可以求出a，b，c了还有就是。

如果3个交点中有2个交点是二次函数与x轴的交点那么，可设这个二次函数解析式为：y=a（x-x1）（x-x2）（x1，x2是二次函数与x轴的2个交点坐标），根据另一个点就可以求出二次函数解析式如果知道顶点坐标为（h，k），则可设：y=a（x-h）2+k，根据另一点可求出二次函数解析式。

扩展资料：

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

参考资料：