复变函数练习题，，，，，

第1：如果|f(z)|是常数，那么 又因为f解析，所以 代入第二个等式得到 得到关于u和v的线性方程组 相应的系数行列式为 根据克拉默法则，如果行列式不为0，那么u和v只有0解，此时f（z）是常数。如果行列式为0，那么ux=0，vx=0，根据柯西黎曼条件得到uy=0，vy=0，所以f（z）也是常数。如果arg f(z)是常数，那么 其中实函数R(x,y)非负。（因为表示f(z)的模）那么 因为f（z）解析，所以 这是关于Rx和Ry的线性方程组，其中系数行列式为 所以Rx和Ry只有零解，所以R是常数，所以f(z)=Re^iθ是常数。证毕。第2题：因为f(z)解析，所以u和v可微，对u(x,y)=C1两边同时取微分得到 所以向量(ux,uy)是曲线u(x,y)=C1上点(x,y)处的法向量。同理向量(vx,vy)是曲线v(x,y)=C1上点(x,y)处的法向量。那么 其中箭头处利用了柯西-黎曼方程。因为法向量互相垂直，所以切向量也必定互相垂直，因此两曲线正交。（对任何C1和C2成立，所以两曲线族正交）第3题：奇点对应分母的零点：z=±1所以解析区域是C\{1,-1}。导数为

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浅谈分段函数

陈长松

所谓“分段函数”，习惯上是指在定义域上的不同部分，有不同对应法则的函数。分段函数不是几个函数，而是同一个函数，只是为了解决问题的需要，才将它分为几个式子来表示，下面举例予以说明。

例1 求函数的单调区间。

分析：按常规解法，去掉根号得

先去掉第一层绝对值符号得

再去掉第二层绝对值符号，得

至此可求出单调区间。

注：此题也可利用图象求解，利用分段函数可以方便地求出某些函数的单调区间。

例2 已知函数满足，当时，。求在R上的表达式。

解：

当x<0时，

例3 已知，将在上的最小值记为，试求的表达式。

分析：以函数的对称轴，与区间的位置关系分三种情况讨论。

（1）当对称轴在区间左侧，即时，；

（2）当对称轴在区间内时，即时，；

（3）当对称轴在区间的右侧时，即。

则

注：分段函数是研究函数的一个不可缺少的工具，必须引起注意。

一,精心选一选(每小题4分,共40分每小题有4个选项,其中只有一个选项是符合题目要求的)

1二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是(

)

A3

B5

C-3和5

D3和-5

2若二次函数y=x2-x与y=-x2+k的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是(

)

A这两个函数图象有相同的对称轴

B这两个函数图象的开口方向相反

C方程-x2+k=0没有实数根

D二次函数y=-x2+k的最大值为

3已知二次函数(a≠0)的图象如右图所示,则下列结论:①a,b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0其中正确的个数是(

)

Al个

B2个

C3个

D4个

4已知抛物线的部分图象如右图所示,若y<0,则x的取值范围是(

)

A-15

已知二次函数y=3(x-1)+k的图象上有三点A(,y),B(2,y),C(-,y),则y,

y,y的大小关系为(

)

A

y>

y>

y

By>

y>

y

C

y>

y>

y

Dy>

y>

y

6已知二次函数且,则一定有(

)

A

B

C

D

7已知抛物线为整数)与x轴交于点,与轴交于点,且,则等于(

)

A,

B,

C,2

D,

8在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(

)

9小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是(

)

A35m

B4m

C45m

D46m

10用列表法画二次函数的图象时先列一个表,当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时,函数y所对应的函数值依次为:20,56,110,182,274,380,506,650其中有一个值不正确,这个不正确的值是(

)

A

506

B380

C274

D182

二,耐心填一填(本大题共5小题,每小题4分,共20分)

11平移抛物线y=

x2+2x-8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式

12二次函数y=-x2+6x-5,当

时,

,且随的增大而减小

13抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是x=____

14二次函数的最小值是_____________

15如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象,观察图象写出y2≥y1时,x的取值范围______________

三,解答题(本大题共10小题,每题6分,共60分)

16已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,

(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标,并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线

(2)若点(x0,y0)在抛物线上,且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围

参考答案:

选择

1D

2D

3B

4B

5D

6A

7D

8B

9B

10C

二,填空

11

12x>5

13x=-1

142

15-2≤x≤1

三,解答题

16(1)

顶点M(1,4)

图略

(2)

-5≤y0≤4

答案补充

SORRY

我不会将打上

二元一次方程组

1) 66x+17y=3967

25x+y=1200

答案：x=48 y=47

(2) 18x+23y=2303

74x-y=1998

答案：x=27 y=79

(3) 44x+90y=7796

44x+y=3476

答案：x=79 y=48

(4) 76x-66y=4082

30x-y=2940

答案：x=98 y=51

(5) 67x+54y=8546

71x-y=5680

答案：x=80 y=59

(6) 42x-95y=-1410

21x-y=1575

答案：x=75 y=48

(7) 47x-40y=853

34x-y=2006

答案：x=59 y=48

(8) 19x-32y=-1786

75x+y=4950

答案：x=66 y=95

(9) 97x+24y=7202

58x-y=2900

答案：x=50 y=98

(10) 42x+85y=6362

63x-y=1638

答案：x=26 y=62

(11) 85x-92y=-2518

27x-y=486

答案：x=18 y=44

(12) 79x+40y=2419

56x-y=1176

答案：x=21 y=19

(13) 80x-87y=2156

22x-y=880

答案：x=40 y=12

(14) 32x+62y=5134

57x+y=2850

答案：x=50 y=57

(15) 83x-49y=82

59x+y=2183

答案：x=37 y=61

(16) 91x+70y=5845

95x-y=4275

答案：x=45 y=25

(17) 29x+44y=5281

88x-y=3608

答案：x=41 y=93

(18) 25x-95y=-4355

40x-y=2000

答案：x=50 y=59

(19) 54x+68y=3284

78x+y=1404

答案：x=18 y=34

(20) 70x+13y=3520

52x+y=2132

答案：x=41 y=50

(21) 48x-54y=-3186

24x+y=1080

答案：x=45 y=99

(22) 36x+77y=7619

47x-y=799

答案：x=17 y=91

(23) 13x-42y=-2717

31x-y=1333

答案：x=43 y=78

(24) 28x+28y=3332

52x-y=4628

答案：x=89 y=30

(25) 62x-98y=-2564

46x-y=2024

答案：x=44 y=54

(26) 79x-76y=-4388

26x-y=832

答案：x=32 y=91

(27) 63x-40y=-821

42x-y=546

答案：x=13 y=41

(28) 69x-96y=-1209

42x+y=3822

答案：x=91 y=78

(29) 85x+67y=7338

11x+y=308

答案：x=28 y=74

(30) 78x+74y=12928

14x+y=1218

答案：x=87 y=83

(31) 39x+42y=5331

59x-y=5841

答案：x=99 y=35

(32) 29x+18y=1916

58x+y=2320

答案：x=40 y=42

(33) 40x+31y=6043

45x-y=3555

答案：x=79 y=93

(34) 47x+50y=8598

45x+y=3780

答案：x=84 y=93

(35) 45x-30y=-1455

29x-y=725

答案：x=25 y=86

(36) 11x-43y=-1361

47x+y=799

答案：x=17 y=36

(37) 33x+59y=3254

94x+y=1034

答案：x=11 y=49

(38) 89x-74y=-2735

68x+y=1020

答案：x=15 y=55

(39) 94x+71y=7517

78x+y=3822

答案：x=49 y=41

(40) 28x-62y=-4934

46x+y=552

答案：x=12 y=85

一元一次不等式

X^-X-6>0

2X^-3X-2>0

-3X^+6X>2

4X^-4X+1>0

X^-2X+3<0

(X+4)(X-1)<0

X-3/X+7<0

4X^-4X>15

14-4X^≥X

X(X+2)<X(3-X)+1

-X^-2X+8≥0

(5-X)(X+4)<0

(X+7)(2-X)<0

(3X+2)(2X-1）<0

（1/2X-1)(5x+3)≥0

0<X^-X-2<4

2X^-3X+1<0

(2X+1)(4X-3)>0

-3X^+4X+4<0

0<4X^-11X-3<3

一元一次不等式组

1、2X+3＞0

-3X+5＞0

2、2X＜-1

X+2＞0

3、5X+6＜3X

8-7X＞4-5X

4、2（1+X）＞3（X-7）

4（2X-3）＞5（X+2）

5、2X＜4

X+3＞0

6、1-X＞0

X+2＜0

7、5+2X＞3

X+2＜8

8、2X+4＜0

1/2（X+8）-2＞0

9、5X-2≥3（X+1）

1/2X+1＞3/2X-3

10、1+1/2X＞2

2（X-3）≤4

1 5x+3x＞2

2 -3y+9＜7

3 9(7+x)＜4

4 (3+8)x＞6

5 5-3/1 x＞5

6 11x-5x＞3

7 -3a-9a＞11

8 -4a+9＞6

9 33x+33＜1

10 5b-9＜9b

116x+8＞3x+8

123x-7≥4x-42x-19＜7x+31．

13．3x-2(9-x)＞3(7+2x)-(11-6x)．

152(3x-1)-3(4x+5)≤x-4(x-7)．

16．2(x-1)-x＞3(x-1)-3x-5．

17．3[y-2(y-7)]≤4y．

18．15-(7+5x)≤2x+(5-3x)．

191+1/2X＞2

202（X-3）≤4

1因为 反比例函书Y=K-3/X的图象位于一三象限

所以 K-3>0,k>3

因为 正比例函数Y=(2K-9)X过二四象限,

所以 2K-9<0,k<2/9

及3<k<2/9

所以k的整数值为4

2因为反比例函数Y=K\X的图象经过点P(A,B）

所以p=ab

因为AB分别是一元二次方程X^2+KX+4=0的两根

所以p=ab=4

由勾股定理得到原点的距离为2倍根号2