小波函数的历史

小波的发展和几条不同的思路相关@最早的是 Alfred Haar 在20世纪早期的工作。对小波理论有窠出贡献的有 Pierre Goupillaud,Alex Grossman 和 Jean Morlet 的表述，现在称为CWT （1982），Jan-Olov Strömberg 在离散小波上的早期工作（1983），英格丽·多贝西 (Ingrid Daubechies）的紧支撑正交小波（1988），Stephane Mallat 的多分辨率框架（1989），Nathalie Delprat CWT的时域频域解释 （1991），David E Newland 的调和小波变换和之后的很多其他人㠂

时间线

- 第一个小波（Haar小波）由 Alfred Haar 给出 （1909年）

- 1950年代以来： Jean Morlet 和 Alex Grossman

- 1980年代以来： Yves Meyer,Stéphane Mallat，英格丽·多贝西 (Ingrid Daubechies),Ronald Coifman,Victor Wickerhauser

小波变换

存在着大量的小波变换，每个适合丠同的应用。完整的列表参看 小波相关的变换列表 ，常见的如下：

- 连续小波变换 (CWT)

- 离散小波变换 (DWT)

- 快速小波变换 (FWT)

- 小波包分解 (Wavelet packet decomposition) (WPD)

（1）Harr小波见［例6-1］。

（2）Littlewood-Paley基，它的数学表示式为

ψLP（t）=（πt）-1（sin2πt-sinπt） （6-99）

当t→∞时，它的振幅按 速度衰减，因此，其时域局域化性质差。但它的傅氏变换为

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是一个紧支撑函数，因此该小波基具有良好的频域局域化性质，可以证明，它是L2（R）的一个标准正交基。

（3）Meyer小波，其尺度函数（在频域内的形式）为

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式中v（t）是满足下列条件

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的一个光滑函数｛可取v（t）=t4（35-84t+70t2-20t3）（0≤t≤1）｝。Φ（ω）的曲线见图6-20所示。

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所构造标准正交小波为：

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曲线Ψ（ω）见图6-21所示。

（4）Batlle-Lemarie小波，尺度函数为一次样条函数时

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φ（t）的傅氏变换 如图6-22所示。尺度函数为二次样条函数时

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如图6-23所示。此时，φ（t）的傅氏变换为

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同样，还可利用N阶样条来构造正交的尺度函数和小波函数，这就是Battle—Lemarie小波函数系列。该小波系列有如下几个特点：

1）是非紧支集，即它们的定义域不是有限范围的；

2）样条函数阶次N越大，小波函数越光滑，其衰减就越缓慢。对指数衰减性要求而言，这种小波函数的光滑阶是有限的；

3）N阶样条函数的对称性与由它构造出的正交尺度函数φ（t）的对称性相同，但Battle-Lemarie系列小波函数ψ（t）都关于t=1/2对称。

图6-22 尺度函数为一次样条函数所构造Battle-Lemarie小波

图6-23 尺度函数为二次样条函数所构造Battle-Lemarie小波

（5）Daubechies紧支集正交小波

对于正交小波，我们希望它是有限支集的，以使Mallat算法（后面介绍）更快捷；希望它是光滑的，以便高精度地模拟和分析信号；希望它的时域和频域的局部化能力是很强的，以便在信号分析处理中发挥突出的作用。Ingrid Daubechies为此做出了杰出的贡献，她构造了Daubechies小波函数，所有有关小波分析的著作中都讨论和引用了Daubechies小波。虽说此小波没有明确的表达式（除一阶形式，即Haar小波外），但双尺度函数h的平方模有显式表达，即：假设 ，其中 为二项式的系数，则有

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其中 ，详细见本章最后一节。

T=wpdec(y,5,'db40');

%对信号y进行小波包分解，层数为5，得到的T为小波树，plot一下就可看到

a10=wprcoef(T,[1,0]);

%a10是对节点[1,0]进行重构后得到的信号。貌似没有对那一层重构这一说法吧，只能是对某层的某个节点进行重构。节点的编号你可以从小波树中看出来

这是我的做法，不过用的是小波包分解。不知对你有没有用

这问题看似简单实际好有意思，有些不知如何说起，尺度就是尺度，不是时间也不是空间，所以从理论上没有单位，你没见过哪个文献中尺度是有单位的吧？它是CWT中的概念，DWT通常是不提尺度的，要简要定义，尺度表明的是小波函数伸缩的状态，例如尺度12，表明将原始小波函数伸长12倍后进行CWT，得到尺度12下信号的CWT小波系数。“那么这个2到底对应haar小波中尺度a多少米呢”这话本身从理论上就没有定义过，也不知道如何定义，或根本没有必要定义。

为啥不知如何说起呢？是因为尺度在时域是可以通过小波函数的支撑长度和信号本身的采样频率换算为频率的，例如尺度1到底对应多少hz的频率（到底代表多少是根据你信号的采样频率变化的），这之间的转换可以在网上搜索“小波时频图”有详细代码和解释。但空域中没有定义频率hz这些玩意儿，一般定义的是波数，你得进行时空的转换，可以参考上面的代码理一理。所以尺度不代表多少米或多少秒，硬要转换可以转为频率和波数，但概念上它并不代表或描述频率和波数，只是小波函数伸缩状态的描述，可以对应频率和波数。