三角学的简史

以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。同时还研究三角函数的性质以及它的应用。

古埃及人已有三角学知识，三角法主要是适应测量上的需要而产生的。例如，建筑金字塔，整理尼罗河泛滥后的耕地，以及通商航海，观测天象的需要。希腊的自然哲学家泰勒斯的相似理论，可以认为是三角学的萌芽，但历史上都认为希腊的天文学家喜帕恰斯是三角学的创始者。他著有三角学12卷，并作成弦表。

印度人从天文、测量的角度，曾研究过三角学，在公元6世纪,有阿耶波多第一也曾作出正弦表。中国唐代，瞿昙悉旺达在他所编的《开元占经》中曾介绍了印度的正弦表。

德国的J雷格蒙塔努斯曾研究过天文学与三角学。在他的《论三角》一书中，有仿印度人的正弦表作成的非常精密的正、余弦表。他对天文、航海、测量方面都有很大的贡献。

16世纪法国著名数学家F韦达的《应用于三角形的数学法则》，是他对三角法研究的第一本书，其中包括他对解直角三角形、斜三角形的一些贡献，例如有正切定理：17世纪法国数学家棣莫弗也研究过三角问题。他曾发现有名的棣莫弗定理：从17世纪后半期到18世纪,I牛顿和丹尼尔第一·伯努利曾发现各种三角级数，直到近代，才在三角学中引进使用的三角符号，并将三角法作为解析学的一部分，这是从L欧拉开始的，欧拉曾发现： 中国的戴煦在他所著的《外切密率》中，讨论了三角函数线与弧度之间的关系，并在他的《假数测图》中，结合三角函数与对数函数的幂级数阐明了三角函数对数表的作法。 在直角坐标系中,以原点O为顶点，射线Ox为始边，Op为终边的角为θ,设点p的坐标为(x,y),距离|Op|=r,这时6个由角θ的大小确定，都是θ的函数，称它们为角θ的三角函数（见图1），分别记以下面的符号： 分别叫做角θ的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。另外在中国古书中，又把1-cosθ、1-sinθ分别叫做正矢、余矢，用下面符号表示： ,　因为一个角θ加以360°或2π弧度的整数倍，它的终边与角θ的终边相同，因此 即三角函数是周期函数，以2π为周期。

如图2以O为圆心,以1为半径作单位圆。设它与x轴、y轴交于点A、B,∠AOp的终边与圆的切线AT、BT┡分别交于T、T┡，pM⊥Ox，pN⊥Oy。这时 另外Mp、OM、AT、BT┡、OT、OT┡、MA、NB叫做三角函数线，中国古代把它叫做八线。因此，曾把三角法叫做八线学。利用三角函数线，可以画出三角函数的曲线。例如，标准正弦曲线y=sinx（如图3）。三角函数的基本公式有和角公式： 由此可以导出差角公式、倍角公式、半角公式以及和差化积与积化和差等公式。如果θ表示弧度，对于θ的任意值，sinθ、cosθ可用下面的无穷级数表示：式中n!=1×2×3×…×n。求某一角的正弦值和余弦值，可以按这些无穷级数求出，并且可以精确到任意小数位。 设平面三角形的三个角为A、B、C，它们的对边分别为α、b)、с，则有

正弦定理（R为外接圆半径）；余弦定理

又设球面三角形的三个角为A、B、C,它们的对边分别为α、β、у，则有

正弦定理

余弦定理

利用上述定理以及其他一些定理，可在已知三角形的某些元素（边或角）时求出其他未知元素。反三角函数其定义如表所示：三角学 一般指含有某些三角函数的方程，这些三角函数的自变量中含有未知数。适合于方程的一个未知数的实数值（可以理解为角的弧度数）叫做三角方程的一个解；适合于方程的未知数的实数值的集合叫做三角方程的通解。

形如sinx=α的方程叫做最简三角方程。它们的解分别是：

① sinx=α

当|α|>1时无解。当α=1时和当α=-1时通解。当|α|<1时，通解为x=nπ+(-1)narcsinα（n为整数）。

② cosx=α

当|α|>1时无解。当α=1时通解为x=2nπ，当α=-1时通解为x=(2n+1)π。当|α|<1 时通解为x=2nπ±arccosα（n为整数）。

③ tanx=α

通解为nπ+arctanα（n为整数）。

④ cotx=α

通解为nπ+arccotα（n为整数）。

一些特殊形式的三角方程可有精确解法。例如，形如ƒ（sinx,cosx,tanx,cotx）=0的方程，这里ƒ是有理函数，可用万能公式， 然代入原方程,即可得到关于t的有理方程。用这个方法,可以求出除了形如x=(2n+1)π以外的方程的所有解。不能用精确解法来解的三角方程，可以用近似方法求解。

即对数运算的符号英语，是名词logarithms缩写而来。

对数运算定义如下：若an=b(a>0且a≠1) 则n=logab。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底的b的对数”。零和负数没有对数。

明末清初，西方初等数学开始陆续传入我国，使我国的数学研究出现一个中西融会贯通的局面。鸦片战争以后，西方近代数学开始传入我国，我国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。

在西学东渐的过程中，徐光启的《几何原本》梅文鼎的《梅氏丛书辑要》以及李善兰等人关于西方数学的翻译和著述，促进了中西方数学的融合。

1604年，徐光启考中进士后，担任翰林院庶吉士，就在北京住了下来。在此之前，意大利传教士利玛窦到我国，在宣武门外置了一处住宅长期留居，进行传教活动。

徐光启在公余之暇，常常去拜访利玛窦，彼此慢慢熟悉了，开始建立起深厚的友谊。利玛窦用古希腊数学家欧几里得的著作《欧几里得原本》做教材，在家对徐光启讲授西方的数学理论。

经过一段时间的学习，徐光启完全弄懂了欧几里得这部著作的内容，深深地为它的基本理论和逻辑推理所折服，认为这些正是我国古代数学的不足之处。于是，徐光启建议利玛窦同他合作，一起把它译成中文。

1607年的春天，徐光启和利玛窦译出了这部著作的前6卷。付印之前，徐光启又独自一人将译稿加工润色了3遍，尽可能把译文改得准确。

这部著作的拉丁文原名叫《欧几里得原本》，如果直译成中文，不大像是一部数学著作。如果按照它的内容，译成《形学原本》，又显得太陈旧了。利玛窦认为，中文里的“形学”，英文叫做“Geo”，它的原意是希腊的土地测量的意思，他建议最好能在中文的词汇里找个同它发音相似意思也相近的词。徐光启查考了10多个词组，都不理想。后来他想起了“几何”一词，觉得它与“Geo”音近意切，建议把书名译成《几何原本》，利玛窦感到很满意。

1607年，《几何原本》前6卷正式出版，马上引起巨大的反响，成了明代末期从事数学工作的人的一部必读书，对发展我国的近代数学起了很大的作用。

《几何原本》是我国第一部数学翻译著作，其中的许多数学名词如“几何”等为首创，徐光启认为对它“不必疑”“不必改”，“举世无一人不当学”。

徐光启在翻译了《几何原本》之后，又介绍了西方三角学的著作《大测》和《测量全义》等。

1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有数学家方中通等人。穆尼阁去世后，方中通等人据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。

《历学会通》中的数学内容主要有《比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》。

前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍过的球面三角外，尚有半角公式半弧公式德氏比例式纳氏比例式等。

方中通个人所著的《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入对数学的发展十分重要，它在历法计算中立即就得到了应用。

清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有梅文鼎《梅氏丛书辑要》和年希尧《视学》等。

梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机。年希尧的《视学》是我国第一部介绍西方透视学的著作。

清代康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作。

1712年，多学科科学家明安图天文历算家陈厚耀等按照康熙皇帝的旨意编纂天文算法书，完成了《律历渊源》100卷，以康熙“御定”的名义于1723年出版。

其中的《数理精蕴》分上下两编。上编包括《几何原本》《算法原本》，均译自法国作品著作;下编包括算术代数平面几何平面三角立体几何等初等数学，附有素数表对数表和三角函数表。

由于《数理精蕴》是一部比较全面的初等数学百科全书，并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究有一定影响。

综上述可以看到，清代初期数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。

后来，随着《算经十书》与宋元时期数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循汪莱李锐李善兰等。

他们的工作，和宋元时期的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的;和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。

在传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记《畴人传》，收集了从黄帝时期至1799年已故的天文学家和数学家270余人，和明代末期以来介绍西方天文数学的传教士41人。这部著作收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响。

1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入我国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。

第二次鸦片战争后，清代朝廷开展“洋务运动”，主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作。

其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》和《代微积拾级》;华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》和《决疑数学》;邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》和《笔算数学》;谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》和《八线备旨》等。

在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今还在应用，但所用数学符号大部分已被淘汰了。“戊戌变法”以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书。

几何原本

初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。在初等函数的时候，基本初等函数已经不用继续研究了，直接拿出来使用。他们的性质不用再证明。就像几何部分的公理定理推论一样，都是不用再证明的了。就称他们为基本初等函数。

薛凤祚少时随魏文魁学习中国历算。后于清顺治三年(公元1646年)在南京结识波兰传教士穆尼阁，随他学习西方自然科学。

顺治九年(1652)前后，薛凤祚至南京，拜波兰传教士穆尼阁(Smogulecki)为师，从事天文、历法学和算学研究，学习西方新法。穆尼阁博学多才，具有丰富的天文、数学知识，在物理、化学方面也颇有造诣，为第一个在中国传播哥白尼《天体运行论》者。薛凤祚与穆尼阁合作，介绍翻译西方科学，协同翻译西方天文历算著作《天步真原》。

《历学会通》内容涉及天文﹑数学﹑医药﹑物理﹑水利﹑火器等。主要是介绍天文学和数学。天文部分有太阳太阴诸行法原、木星﹑火星﹑土星经行法原、交蚀法原、历年甲子、求岁实、五星高行、交蚀表、经侵行签、西域回回术、西域表、今西法选要、今法表等。书中既翻译介绍了欧洲天文学和阿拉伯天文学，也有中国传统的方法，力求将中西回各法融会贯通。他是继《崇祯历书》之后最先系统介绍按第谷体系计算太阳﹑月亮﹑行星﹑交蚀等方法的天文学家。在计算中首次引进了对数﹑三角函数对数。将西方的六十进位制改成十进位制，重新编制三角函数对数表，还介绍了一至二万的常用对数表。薛凤祚所著《历学会通》的数学部分主要是传自穆尼阁的《比例对数表》、《比例四线新表》和《三角算法》等各一卷。《比例对数表》和《比例四线新表》分别给出了1-20000的六位对数表和六位三角函数（正弦、余弦、正切、余切）对数表。书中把“对数”称为“比例数”或“假数”，并简单解释了把乘除运算化为加减运算的道理。这是对数方法在中国的首次介绍。《三角算法》中所介绍的平面三角与球面三角法比《崇祯历书》介绍得更完整。如平面三角中包含有正弦定理、余弦定理、正切定理和半角定理等，且多是运用三角函数的对数进行计算。球面三角中增加半角公式、半弧公式、达朗贝尔公式和纳皮尔公式等。除正弦、余弦定理外，还有半角公式、半弧公式等。该书还包括力学、水利、乐律、医学等内容，所载知识在当时都较为新颖。

薛凤祚综合整理介绍了中、西、回(阿拉伯)天文学。他的求岁时》两书，对太阳、地球、月亮的运行规律，黄道、赤道的夹角，都作了深入地研究和详尽地阐述。他经过实地观测和精密地计算，求出的地球绕太阳一周需要的时间，较现在举世公认的时间仅差13分37秒。另外，他还测定出太阳并不是西方天文学家所说的“恒星”，而是每年以52秒的速度运行着的自转的恒星。他对“回历”，“木、火、土”三星的运行规律，也都有深入地研究和精辟的见解。在天文理论的研究中，采用了当时较为先进的“第谷体系”(第谷·布拉赫1546-1601，丹麦天文学家)。