功率谱和能谱密度是什么关系

功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。

功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。

功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析),所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。

上文链接：

信号处理的功率谱分析（一）

       现在，事情就变得简单了，我们将属于时域信号进行傅立叶变换，得到频域分内，然后平方积分即可以得到功率谱密度。

但是我们在上面章节分析过，当信号为功率信号时，傅立叶变换不存在。 既然为什么随机信号的一次 FFT 没有意义却还能( 傅立叶变换的平方)/( 区间长度) 得到功率谱？

因为对随机信号直接做FFT的做法其实就是截断成能量信号进行处理，这种处理不符合随机信号定义，但之所以这样做，是做短时频域分析下作的近似处理。

（在工程实际中，即便是功率信号，由于持续的时间有限，可以直接对信号进行傅里叶变换，然后对得到的幅度谱的模求平方，再除以持续时间来估计信号的功率谱。）

从理论上来说，功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换。因为功率信号不满足傅里叶变换的条件，其频谱通常不存在，维纳-辛钦定理证明了自相关函数和傅里叶变换之间对应关系。

1）自相关是做什么的

这里我们先看引入的自相关的概念：

对于上面两段话不是很理解的，可以看下面两幅图，分别是白噪声随机信号和随机相位正弦信号及其自相关信号：

2）自相关和功率谱的关系

说了这么多，和我们要进行功率谱分析有什么关系？前面我们分析了，信号的功率在时域和频域都是满足守恒定律的。

而功率被定义成幅值的平方的时间平均分量，而这个过程，也可以看成是去除频域谐波分量的相位信息的过程，因为本质来说，一个简谐信号的相位是不影响其功率的。 而自相关函数，也具有去除信号相位的功能，那自相关函数和功率密度谱是不是有什么深刻的联系呢？答案是肯定的，那就是维纳 - 辛钦定理（Wiener –Khinchin

theorem ），这个定理表明：信号的自相关函数与功率密度谱是一对傅里叶变换对：

实际的功率谱计算中，总是取一个截断，然后根据截断对总体做估计。

功率谱方法可以分为两种，直接法和间接法。直接法也称为周期图法，它是直接对有限个样本数据进行傅里叶变换来得到功率谱。样本数据越长，直接法获得的分辨率越高。间接法则是先对有限个样本数据进行自相关估计，再进行傅里叶变换，最后得到功率谱。

matlab中自功率谱密度直接用psd函数就可以求，按照matlab的说法，psd能实现Welch法估计，即相当于用改进的平均周期图法来求取随机信号的功率谱密度估计。

可以参考资料14里的matlab函数

[1] https://zhuanlanzhihucom/p/22513006     各种谱函数的区别是什么，何时用何种函数？

[2] https://blogcsdnnet/scuthanman/article/details/5588138utm_medium=distributepc_relevant_t0none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1nonecase&depth_1-utm_source=distributepc_relevant_t0none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1nonecase   自相关与互相关在matlab中实现

[3] https://zhuanlanzhihucom/p/40481049    如何理解随机振动的功率谱密度？

[4] https://wwwzhihucom/question/39592966/answer/875419230   如何理解功率信号和能量信号

[5] https://zhuanlanzhihucom/p/22571798    谱线是怎样影响随机信号和周期信号的PSD或自谱的

[6] https://blogcsdnnet/fengzhuqiaoqiu/article/details/101153157     能量信号和功率信号的分别

[7] https://wwwcnblogscom/l20902/p/10610962html     能量谱密度功率谱密度

[8] https://myoschinanet/wangsifangyuan/blog/875891    功率谱和频谱的区别、联系

[9] https://blogcsdnnet/FPGADesigner/article/details/88532027     MATLAB数字信号处理（1）四种经典功率谱估计方法比较

[10] https://zhuanlanzhihucom/p/143545782     数字信号处理：功率谱估计的对比分析

[11] https://blogcsdnnet/dujiahei/article/details/80233999     功率谱密度函数估计

[12]《概率论与数理统计》第四版——第十四章平稳随机过程

[13] https://wwwzhihucom/question/68698069/answer/275980099    为什么随机信号不能用频谱表示？而必须用功率谱、密度表示呢？

[14] https://wenkubaiducom/view/7703fc5f951ea76e58fafab069dc5022abea46f0htmlfr=search    matlab实现功率谱密度分析psd及详细解说

解释1对于具有连续频谱和有限平均功率的信号或噪声，表示其频谱分量的单位带宽功率的频率函数。注：1通常信号或噪声的瞬时功率等于其瞬时值的平方，如该特征量为一场量，则此平方与物理功率成比例。2功率谱密度是该信号或噪声的自相关函数的傅里叶变换。如某一确定信号平均功率为有限的，则该信号的自相关函数存在。如随机信号或随机噪声是由二阶随机平稳函数表示的，则其自相关函数存在。（来源于GB/T

147337-1993）

解释2

对于具有连续频谱和有限平均功率的信号或噪声，表示其频谱分量的单位带宽功率的频率函数。

clear all;

close all;

warning off all;

Fs = 1000;

nfft=1024;

idx = 0:round(nfft/2-1);

k = idxFs/nfft;

t = 0:1/Fs:1;

x1 = rand(1,1001);

[cor1 lag1] = xcorr(x1,'unbiased');

figure(1);

subplot(211),plot(lag1/Fs,cor1),title('(0,1)均匀分布自相关函数');

Xk1 = fft(cor1,nfft);

Px1 = abs(Xk1);

subplot(212),plot(k,10log10(Px1(idx+1))),title('(0,1)均匀分布功率谱密度');