证明对拉氏量的一阶变分等于零取的是极小值

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。 欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 简称E-L方程，在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说，变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。

值得指出的是，E-L方程只是泛函有极值的必要条件，并不是充分条件。就是说，当泛函有极值时，E-L方程成立。在应用中，外界给定的条件可以使得E-L方程在大多数情况下满足我们的需求。所以尽管下面我们要在比较强的条件下推导，并且这种推导在某些意义上有些不太严谨，完全可以在较弱的情况下予以完全严谨的证明，但是就我们所要用的层面而言，也是足够的了。 对于泛函

固定两个端点，在泛函S取到极值时的函数记作g(x)，定义与这个函数“靠近”的一个函数，h(x)=g(x)+δg(x)，其中δg(x)在从x1到x2上都是小量，同时也满足，

这里δg(x)称为函数g(x)的变分。

因为在从任何函数代替g(x)都会使得泛函S取不到极值，所以用h(x)代替g(x)使得作用量产生了增量，为，

将第一项 按照δg(x)和δg'(x)幂级数打开，并且注意到δg(x)和δg'(x)永远是小量，舍弃掉二次项及以上高次项，可得关于δg(x)和δg'(x)一次项的和。则S取到极值的必要条件就是这些项的和的值为0这些和称之为S的一阶变分（或者简称变分），变分为0记作，

按照幂级数打开后，可以得到，

将第二项分部积分得：

由于 ，于是第一项等于0，换而言之，就是这个等式成立，

于是对任何小的函数δg(x)该积分都等于0，于是只有被积函数等于0的时候才有可能。（这个论断是不严谨的，这里应该由Du Bois Reymond 引理给出）于是我们得到方程，

这就是E-L方程。

如果是题主是在物理遇到的问题，那么想要得到的结论应该是这样的：如果调和函数在边界上取值为零，则在整个区域内处处为零。

数学上解释，这实际上是复变函数的一个结果：最大模原理，我个人理解这是解析函数平均值定理的一个推论，可以在任何一本复变函数或是复分析的教材中找到证明。当然这一结论的证明也可以不依赖于复变函数。利用微积分的知识也可以证明这一结论。基本思想也是先利用Gauss公式证明平均值定理，题主可以参考相关的教科书。

物理上解释，这里可以提供一种看法。把调和场看作一个给定区域内的静电场，区域内没有静电荷（否则就不是调和场了）。我们断言电势极值不能在区域内取到。以极大值为例，如果存在一点是电势极大值，那么在这一点附近电场都是离开该点方向的。在这一点附近取一个Gauss面，根据Gauss定理可知内必然存在正电荷，与区域内没有静电荷的假设相违背。

另外binjie li指出无源的稳态热传导方程也会退化为Laplace方程，因此调和函数也对应一个稳态且区域内部没有热源的温度分布。从物理上看，似乎比较显然显然在区域内部不可能达到极值。所在边界上取值都为零，那么在区域内部显然也应为零。

当然，有几位同学的答案“如果调和函数在很小的区域内恒为0，它必在整个区域上恒为0”结论也是对的，但这实际上不是调和函数特有的性质而是一般解析函数所具有的性质。而且在物理上这个结论似乎也并不重要，只是偶尔出现在唯一性定理的证明中。

作者：andrew shen

链接：http://wwwzhihucom/question/20889241/answer/21368149

来源：知乎

著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

作者：andrew shen

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数学物理方法作者：王明新、石佩虎 图书详细信息：

ISBN：9787302307730

定价：20元

印次：1-1

装帧：平装

印刷日期：2013-1-23

图书简介：　　内 容 简 介　　本书紧密结合工科数学教学实际，系统介绍了偏微分方程模型的建立、求解三类典型方程的几种常用方法、特殊函数、线性偏微分方程定解问题的几种简单的特殊解法和一些简单的非线性偏微分方程的特殊解．本书叙述简明，条理清晰，强调数学概念和数学方法的实际背景，在注意介绍必要的理论的同时，突出解题方法．书中内容深入浅出，方法多样，文字通俗易懂，并配有大量难易兼顾的例题与习题．　　本书可作为物理、力学及工科类本科生和研究生教材，也可作为信息和计算数学专业本科生教材和教学参考书．此外，也可供数学工作者、物理工作者和工程技术人员参考．

目录　　第1章典型方程的导出和定解问题 1

11典型方程的导出 1

111弦振动方程 2

112热传导方程

113传输线方程 6

114电磁场方程 7

12定解条件和定解问题 8

121定解条件8

122定解问题

13二阶线性偏微分方程的分类 11　　习题1 12

第2章傅里叶级数方法 ——特征展开法和分离变量法 14

21预备知识

211正交函数系 15

212线性方程的叠加原理 16

22齐次化原理 16

221常系数二阶线性常微分方程的齐次化原理 17

222弦振动方程和热传导方程初边值问题的齐次化原理 19

23特征值问题

231问题的提出 20

232施图姆-刘维尔问题 21

233例子 22

24特征展开法

241热传导方程的初边值问题 25

242弦振动方程的初边值问题 27

25分离变量法 29

251有界弦的自由振动问题

· iv ·目录　　252有界杆上的热传导问题 33

253拉普拉斯方程的定解问题 34

26非齐次边界条件的处理 38

27物理意义，驻波法与共振 41　　习题2 43

第3章积分变换及其应用 47

31傅里叶变换 47

32傅里叶变换的应用 50

321热传导方程的初值问题 50

322弦振动方程的初值问题 53

323积分方程 56

33半无界问题：对称延拓法 57

34拉普拉斯变换 58

341拉普拉斯变换的概念 58

342拉普拉斯变换的性质 59

343拉普拉斯变换的应用 61　　习题3 65

第4章双曲型方程的初值问题 ——行波法、球面平均法和降维法 68

41弦振动方程的初值问题的行波法 68

42达朗贝尔公式的物理意义 70

43三维波动方程的初值问题的球面平均法 72

431三维波动方程的球对称解 72

432三维波动方程的泊松公式 73

44二维波动方程的初值问题的降维法 75

45泊松公式的物理意义、惠更斯原理 77　　习题4 78

第5章位势方程的格林函数方法 81

51 δ-函数 81

511 δ-函数的概念 81

512 δ-函数的性质 82

52格林公式与基本解 83

目录 · v ·　　521格林公式 83

522基本解 83

53调和函数的基本积分公式及一些基本性质 85

54格林函数 86

55特殊区域上的格林函数及狄利克雷边值问题的解 88

551上半空间的格林函数、泊松公式 88

552球上的格林函数、泊松公式 90

56保角变换及其应用 92

561解析函数的保角性 92

562常用的保角变换 94

563利用保角变换求解二维稳定场问题 99　　习题5 101

第6章特殊函数及其应用 104

61问题的导出 104

62贝塞尔函数 106

621贝塞尔方程的级数解法 106

622贝塞尔函数的性质 109

623其他类型的贝塞尔函数 114

63贝塞尔函数的应用 116

64勒让德函数 119

641勒让德方程的幂级数解 119

642勒让德多项式的性质 121

643连带勒让德方程 123

65勒让德多项式的应用 124　　习题6 125

第7章特殊解法和特殊解 128

71线性发展方程初值问题的幂级数解 128

72输运方程 132

73 Hopf–Cole变换 134

731伯格方程的Hopf–Cole变换 134

732 KdV方程的广义Hopf–Cole变换 136

74自相似解 138

· vi ·目录　　75行波解 141

751直接积分法 142

752待定导数法 143

753待定系数法 145　　习题7 147　　附录 A双曲函数 149　　附录 B积分变换表 150　　附录 C贝塞尔函数的零点表 152　　附录 D部分习题参考答案 153　　参考文献 161

书名:数学物理方法：普通高等教育[十五]国家级规划教材

图书编号:2159044

出版社:科学

定价:400

ISBN:703012173

作者:邵惠民 编著

出版日期:

版次:1

开本:16

简介:

本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材、普通高等教育“十五”国家级规划教材。

本书系统地阐述了数学物理方法的基础理论及其在物理学、工程技术上的应用。重点不是一味追求数学的严格性和逻辑性，即纯粹数学理论的完整性，而是尽量为读者提供与数学物理方法有关的基本概念、基本定理和解题的各种方法和技巧。本书涉及的尽管是一些传统的内容，但在取材的深度和广度上都比以往教科书有所加强；同时书中也增添了不少反映学科前沿的内容，从而使学生不仅能获得相关学科的比较系统的科学知识，也能引导学生进入当代科学的前沿。此外，本书的另一特色是:读者不仅可以从本书的逻辑结构中获得简化和统一的数学基础知识，而且可以从书内的例题上看到独特的、简洁的、实用性很强的解题方法。

本书可作为高等学校理工科非数学专业的本科教材，也可供有关专业的研究生、教师和广大科技人员参考。

目录:

第一章 复变函数

11 复数的概念

12 复数的几何表示法

13 复数的运算

14 复变函数

15 复变函数的极限

16 复变函数的连续

习题

第二章 解析函数

21 复变函数的导数

22 柯西-黎曼条件

23 解析函数

24 解析函数与调和函数的关系

25 初等解析函数

26 解析函数的应用——平面场的复势

习题

第三章 复变函数的积分

31 基本概念

32 复变函数和积分

33 柯西定理

34 柯西积分公式

35 柯西积分公式的几个推论

习题

第四章 解析函数的幂级数表示法

41 复数项级数

42 复变函数项级数

43 幂级数

44 解析函数的幂级数展开

45 解析函数的孤立奇点

46 解析函数在无穷远点的性质

47 解析开拓

48 应用

习题

第五章 留数理论及其应用

51 留数的基本理论

52 用留数定理计算实积分

53 对数留数和辐角原理

习题

第六章 广义函数

61 δ函数

62 广义函数的引入

63 广义函数的基本运算

64 广义函数的傅里叶变换

65 广义解

习题

第七章 完备正交函数系展开法

71 正交性

72 零函数

73 完备性

74 推广

第八章 斯特姆-刘维本征值问题

81 本征值问题的提法

82 本征值问题的主要结论

83 其他型的本征值问题

第九章 傅里叶级数和傅里叶变换

91 周期函数和傅里叶级数

92 完备正交函数系

93 傅里叶级数的性质

94 傅里叶级数的应用

95 有限区间上的函数的傅里叶级数

96 复指数形式的傅里叶级数

97 傅里叶展开与罗朗展开的联系

98 傅里叶积分与变换

99 傅里叶变换的性质

910 小波变换的引荐

911 三种定义式

习题

第十章 拉普拉斯变换

101 拉普拉斯变换的概念

102 基本函数的拉氏变换

103 拉氏变换的性质

104 拉普拉斯逆变换

105 应用

习题

第十一章 二阶线性常微分方程的级数解法

111 常点邻域的级数解法

112 正则奇点邻域的级数解法

113 求第二个解的方法

114 非正则奇点的渐近解

115 渐近展开和最陡下降法

习题

第十二章 数学模型——定解问题

121 引言

122 数学模型的建立

123 定解条件

124 定解问题

125 求解途径

习题

第十三章 二阶线性偏微分方程的分类

131 基本概念

132 二阶线性偏微分方程的分类及标准化

133 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简

134 三类方程的物理内涵

135 二阶线性偏微分方程的特征

习题

第十四章 行波法

141 通解

142 行波解

143 达朗贝尔公式

144 半无限长弦的自由振动

145 两端固定的弦的自由振动

146 齐次化原理(Duhamel原理)

147 非线性偏微分方程

习题

第十五章 分离变量法

151 分离变量

152 直角坐标系中的分离变量法

153 圆柱坐标系中的分离变量法

154 球坐标系中的分离变量法

习题

第十六章 勒让德函数

161 勒让德多项式的定义及表示

162 勒让德多项式的性质

163 第二类勒让德函数Q1(x)

164 勒让德方程的本征值问题

165 连带勒让德方程及其解

166 球谐函数

167 应用

习题

第十七章 贝塞尔函数

171 贝塞尔方程及其解

172 整数阶(第一类)贝塞尔函数

173 修正贝塞尔方程及其解

174 球贝塞尔方程及球贝塞尔函数

175 广义贝塞尔函数

176 应用

习题

第十八章 积分变换法

181 傅里叶变换

182 拉普拉斯变换

183 傅氏正弦变换

184 傅氏余弦变换

185 汉克尔变换

186 应用于有界区域的问题

习题

第十九章 变分法

191 基本概念

192 泛函的极值

193 泛函极值与数学物理问题的关系

194 求泛函极值的直接方法——里茨法

习题

第二十章 格林函数法

201 格林公式

202 稳态边值问题的格林函数法

203 热传导问题的格林函数法

204 波动问题的格林函数法

205 格林函数的确定

206 应用

习题

第二十一章 保角变换法

211 保角变换及其基本问题

212 常用的几种保角变换

213 多角形的变换

214 应用

习题

主要参考书目

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径r1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径r2，用

r1与r2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△p=

p1-

p2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：

　　在数理方程中，拉普拉斯方程为：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ

：

　　上面的方程常常简写作：

　　或

　　其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：

　　其中δ称为拉普拉斯算子

　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。

　　如果等号右边是一个给定的函数f(x,

y,

z)，即：

　　则该方程称为泊松方程。

拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是

laplace

operator

或简称作

laplacian。

　　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域d内定义的函数φ，使得在d的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

　　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域d边界处的温度函数φ本身，而是φ沿d的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。

　　拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。

在流场中的应用

　　设u、v

分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x

和y

方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：

　　无旋条件为：

　　若定义一个标量函数ψ，使其微分满足：

　　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为：

　　无旋条件即令

ψ

满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。

柯西-黎曼方程要求

　　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。

数学 分类参考

◆ 数学史

中国数学史

外国数学史：巴比伦数学，埃及古代数学，希腊古代数学，印度古代数学，玛雅数学，阿拉伯数学，欧洲中世纪数学，十六、十七世纪数学，十八世纪数学，十九世纪数学。

中国数学家：刘徽　祖冲之　祖暅　王孝通　李冶　秦九韶　杨辉　王恂　郭守敬　朱世杰　程大位　徐光启　梅文鼎　年希尧　明安图　汪莱　李锐　项名达　戴煦　李善兰　华蘅芳　姜立夫　钱宝琮　李俨　陈建功　熊庆来　苏步青　江泽涵　许宝騄　华罗庚　陈省身　林家翘　吴文俊　陈景润　丘成桐　

国外数字家：泰勒斯　毕达哥拉斯　欧多克索斯　欧几里得　阿基米德　阿波罗尼奥斯　丢番图　帕普斯　许帕提娅　阿耶波多第一　博伊西斯,AMS　婆罗摩笈多　花拉子米　巴塔尼　阿布·瓦法　奥马·海亚姆　婆什迦罗第二　斐波那契,L　纳西尔丁·图西　布雷德沃丁,T　奥尔斯姆,N　卡西　雷格蒙塔努斯,J　塔尔塔利亚,N　卡尔达诺,G　费拉里,L　邦贝利,R　韦达,F　斯蒂文,S　纳皮尔,J　德扎格,G　笛卡尔,R　卡瓦列里,(F)B　费马,Pde　沃利斯,J　帕斯卡,B　巴罗,I　格雷果里,J　関孝和　牛顿,I　莱布尼茨,GW　洛必达,G-F-Ade　伯努利家族　棣莫弗,A　泰勒,B　马克劳林,C　欧拉,L　克莱罗,A-C　达朗贝尔,Jle R　蒙蒂克拉,JE　朗伯,JH　贝祖,E　拉格朗日,J-L　蒙日,G　拉普拉斯,P-S　勒让德,A-M　傅里叶,J-B-J　热尔岗,J-D　高斯,CF　泊松,S-D　波尔查诺,B　贝塞尔,FW　彭赛列,J-V　柯西,A-L　麦比乌斯,AF　皮科克,G　罗巴切夫斯基　格林,G　沙勒,M　拉梅,G　施泰纳,J　施陶特,KGCvon普吕克,J　奥斯特罗格拉茨基,MB　阿贝尔,NH　波尔约,J　斯图姆,C-F　雅可比,CGJ　狄利克雷,PGL　哈密顿,WR　德·摩根,A　刘维尔,J　格拉斯曼,HG　库默尔,EE　伽罗瓦,E　西尔维斯特,JJ　外尔斯特拉斯,K(TW)　布尔,G　斯托克斯,GG　切比雪夫　凯莱,A　埃尔米特,C　艾森斯坦,FGM　贝蒂,E　克罗内克,L　黎曼,(GF)B　康托尔,MB　克里斯托费尔,EB　戴德金(JW)R　杜布瓦-雷PDG　诺伊曼,CGvon　李普希茨,R(OS)　克莱布什,RFA　富克斯,IL　贝尔特拉米,E　哥尔丹,PA　若尔当,C　韦伯,H　达布,(J-)G　李,MS　施瓦兹,HA　诺特,M　康托尔,G(FP)　克利福德,WK　米塔-列夫勒,(M)G　弗雷格,(FL)G　克莱因,(C)F　弗罗贝尼乌斯,FG　柯瓦列夫斯卡娅,CB　亥维赛,O　里奇,G　庞加莱,(J-)H　马尔可夫,AA　皮卡,(C-)E　斯蒂尔杰斯,T(J)　李亚普诺夫,AM　皮亚诺,G　胡尔维茨,A　沃尔泰拉,V　亨泽尔,K　希尔伯特,D　班勒卫,P　闵科夫斯基,H　阿达尔,J(-S)　弗雷德霍姆,(E)I　豪斯多夫,F　嘉当,E(-J)　波莱尔,(F-E-J-E)　策梅洛,EFF　罗素,BAW　列维-齐维塔,T　卡拉西奥多里,C　高木贞治　勒贝格,HL　哈代,GH　弗雷歇,M-R　富比尼,G　里斯,F(F)　伯恩施坦,CH　布劳威尔,LEJ　诺特,(A)E　米泽斯,Rvon　卢津,HH　伯克霍夫,GD　莱夫谢茨,S　李特尔伍德,JE　外尔,(CH)H　莱维,P　赫克,E　拉马努金,SA　费希尔,RA　维诺克拉多夫　莫尔斯　巴拿赫,S　辛钦　霍普夫,H　维纳,N　奈望林纳,R　西格尔,CL　阿廷,E　哈塞,H　扎里斯基,O　博赫纳,S　布饶尔,R(D)　塔尔斯基,A　瓦尔德,A　柯尔莫哥洛夫,AH　冯·诺伊曼,J　嘉当,H　卢伊,H　哥德尔,K　韦伊,A　勒雷,J　惠特尼,H　克列因　阿尔福斯,LV　庞特里亚金　谢瓦莱,C　坎托罗维奇　盖尔范德　爱尔特希　施瓦尔茨　小平邦彦。

数字著作：《算数书》《算经十书》《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》《五曹算经》《五经算术》《缀术》《数术记遗》《夏侯阳算经》《缉古算经》《数理精蕴》《畴人传》《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《四元玉鉴》《算法统宗》《则古昔斋算学》《几何原本》《自然哲学的数学原理》《几何基础》

中国古代数学计算方法：筹算，珠算，孙子剩余定理，增乘开方法，贾宪三角，招差法，盈不足术，百鸡术。

其他：纵横图，记数法，黄金分割，希腊几何三大问题，计算工具，和算，费尔兹奖，沃尔夫奖，希尔伯特数学问题，国际数学教育委员会，国际数学联合会，国际数学家大会，数学刊物，中国数学教育，中国数学研究机构，中国数学会。

◆ 数学基础：逻辑主义，形式主义，直觉主义。

◆ 数理逻辑

逻辑演算：命题、一阶、高阶、无穷、多值-模糊、模态、构造逻辑等。

模型论：模态模型论，非标准模型等。

公理集合论：集合论公理系统，力迫方法，选择公理，连续统假设等。

逆归论：算法，递归函数，递归可枚举集，不可解度，广义递归论，判断问题，分层理论等。

证明论：数学无矛盾性，哥德尔不完备性定理，构造性数学，希尔伯计划等。

◆ 集合论：集合，映射，序数，基数，超限归纳法，悖论，数系（实数，虚数），组合数学，图论（四色问题）、算术等。

◆ 代数学

多项式：代数方程等。

线性代数：行列式，线性方程组，矩阵，自向量空间，欧几里得空间，线性变换，线性型，二次性，多重线性代数等。

群：有限群、多面群体、置换群、群表示论、有限单群等。

无限群：交换群，典型群，线性代数群，拓扑群，李群，变换群，算术群，半群等。

环：交换环，交换代数，结合代数，非结合代数-李代数，模，格-布尔代数等。

乏代数 范畴

同调代数-代数理论

域：代数扩张，超越扩张，伽罗瓦理论-代数基本定理，序域，赋值，代数函数域，有限域，p进数域等。

◆ 数论

初等数论：整除，同余，二次剩余，连分数，完全数，费马数，梅森数，伯努利数，数论函数，抽屉原理等。

不定方程：费马大定理等。

解析数论：筛法，素分布法，黎曼ζ函数，狄利克雷特征，狄利克雷L函数，堆垒数论-整数分拆，格点问题，欧拉常数等。

代数数论：库默尔扩张，分圆域，类域论等。

数的几何 丢番图逼近 一致分布 超越数论 概率数论 模型式论 二次型的算术理论 代数几何

◆ 几何学

欧几里得几何学-希尔伯特公理系统：欧里几得空间，坐标系，圆周率，多边形，多面体等。

解析几何学：直线，平面，二次曲线，二次曲面，二次曲线束，二次曲面束，初等几何变换，几何度量等。

三角学

综合几何学：尺规作图-希腊几何三大问题等。

仿射几何学：仿射变换等。

射影几何学：对偶原理，射影坐标，射影测度，绝对形，交比-圆点，直线几何等。

埃尔朗根纲领 百欧几里得几何学

微分几何学：曲线，曲面-直纹面-可展曲面-极小曲面等。

微分流形：张量，张量分析，外微分形式，流形上的偏微分算子，复流形，辛流形，黎曼几何学，常曲率黎曼空间-齐性空间-黎曼流形的变换群-闵科夫斯基空间，广义相对论，联络论，杨-米尔斯理论，射影微分几何学，仿射微分几何学，一般空间微分几何学，线汇论，积分几何学等。

◆ 拓扑学

一般拓扑学（拓扑空间，度量空间，维数，多值映射

代数拓扑学（同调论，同伦论-CW复形，纤维丛-复叠空间，不动点理论-闭曲面的分类-庞加莱猜想

微分拓扑学（流形-横截性

纽结理论 可微映射的奇点理论 突变理论 莫尔斯理论

◆ 分析学

微积分学

函数：初等函数，隐函数等。

极限：函数的连续性等。

级数

微分学：导数，微分，中值定理，极值等。

积分学：积分，原函数，积分法，广义积分，含参变量积分等。

多元微积分学：偏导数，全微分，方向导数，雅可比矩阵，雅可比行列式，向量，向量分析，场论等。

复变函数论：复变函数（解析函数，柯西积分定理，解析函数项级数，幂级数，泰勒级数，洛朗级数，留数，调和函数，最大模原理，共形映射，特殊函数，整函数，亚纯函数，解析开拓，椭圆函数，代数函数，模函数，函数值分布论，黎曼曲线，单叶函数，正规族，拟共形映射，解析函数边值问题，狄利克雷级数，解析函数边界性质，拉普拉斯变换，积分变换，泰希米勒空间，广义解析几何等）。

多复变函数论

实变函数论：勒贝格积分，有界变差函数，测度论，黎曼-斯蒂尔杰斯积分，赫尔德不等式，施瓦兹不等式，闵科夫斯基不等式，延森不等式等。

泛函分析：泛函数，函数空间，索伯列夫空间，拓扑线性空间，巴拿赫空间，半序线性空间，希尔伯特空间，谱论，向量值积分，线性算子，全连续算子，谱算子，线性算子扰动理论，赋范代数，广义函数，非线性算子（泛函积分，算子半群，遍历理论，不变子空间问题）等。

变分法：变分法，大范围变分法等。

函数逼近论：函数构造论，复变函数逼近（外尔斯特拉斯-斯通定理，拉格朗日插值多项式逼近，埃尔米特插值多项式逼近，三角多项式，连续模，强迫逼近，有理函数逼近，正交多项式，帕德逼近，沃外尔什逼近，联合逼近，抽象逼近，宽度，熵，线性正算子逼近，傅里叶和）等

傅里叶分析：三角函数，傅里叶级数，傅里叶变换-积分（傅里叶积分算子，乘子，共轭函数，卢津问题，李特尔伍德-佩利理论，正交系，极大函数，面积积分，奇异积分，算子内插，BMO空间，Hp空间，奇异积分的变换子，佩利-维纳定理，卷积，Ap权），概周期函数，群上调和分析（哈尔测度，正定函数，谱综合）等。

流形上的分析：霍奇理论，几何测度论，位势论等。

凸分析 非标准分析

◆ 微分方程

常微分方程（初等常数微分方程,线性常微分方程,常微分方程初值问题,常微分方程边值问题,常微分方程解析理论,常微分方程变换群理论,常微分方程定性理论,常微分方程运动稳定性理论,哈密顿系统,概周期微分方程,抽象空间微分方程,泛函数分方程-微分差分方程,常微分方程摄动方法,常微分方程近似解似解,动力系统-拓扑动力系统-微分动力系统

偏微分方程（数学物理方程,一阶偏微分方程,哈密顿-雅可比理论,偏微分方程特征理论,椭圆型偏微分方程-拉普拉斯方程,双曲型偏微分方程-波动方程,双曲守恒律的间断解,抛物型偏微分方程-热传导方程,混合型偏微分方程,孤立子,索伯列夫空间,偏微分方程的基本解,局部可解性,偏微分算子的特征值与特征函数,数学物理中的反问题,自由边界问题,分歧理论,发展方程,不适定问题

积分方程：弗雷德霍姆积分方程,沃尔泰拉积分方程,对称核积分方程,奇异积分方程,维纳-霍普夫方程,维纳-霍普夫方法等。

◆ 计算数学

数值分析：数值微分等。

数值逼近：插值，曲线拟合等。

计算几何：样条函数值积分-数论网格求积分法，有限差演算，有限差方程等。

常微分方程初值问题数值解法：单步法，多步法，龙格-库塔法，亚当斯法等。

常微分方程边值问题数值解法：打靶法等。

高次代数方程求根 超越方程数值解法

非线性方程组数值解法：迭代法，牛顿法等。

最优化

线性规划：单纯形方法等。

无约束优化方法 约束优化方法 概率统计计算

蒙特卡罗达：伪随机数等。

代数特征值问题数值解法：广义特征值问题数值解法等。

线性代数方程组数值解法：稀疏矩阵，广义逆矩阵，对角优势矩阵，病态矩阵，消元法-高斯消去法，松驰法，共轭梯度法等。

偏微分方程边值问题差分方法

偏微分方程初值问题差分方法：计算流体力学，特片线法，守恒格式，分步法（局部一维方法、交替方向隐式法、显式差分方法、隐式差分方法），有限差分方法，有限元方法，里茨-加廖金方法（里茨法、加廖金法），玻耳兹曼方程数值解法，算图-诺模图等。

数值软件：并行算法，误差，最小二乘法，外推极限法，快速傅里叶变换-快速数论变换，数值稳定性，区间分析，计算复杂性等。

◆ 概率论

概率分布（数学期望，方差，矩，正态分布，二项分布，泊松分布

随机过程（马尔可夫过程，平稳过程，鞅，独立增量过程，点过程，布朗运动，泊松过程，分支过程，随机积分，随机微分方程，随机过程的极限定理，随机过程统计，滤波，无穷粒子随机系统等。

概率，随机变量 概率论中的收敛 大数律 中心极限定理 条件期望

◆ 数理统计学

参数估计：点估计，区间估计等。

假设检验：列联表等。

线性统计模型：回归分析，方差分析等。

多元统计分析：相关分析等。

统计质量管理：控制图，抽样检验，寿命数据统计分析，概率纸等。

总体 样本 统计量 实验设计法 抽样调查 统计推断 大样本统计 统计决策理论 序贯分析

非参数统计 稳健统计 贝叶斯统计 时间序列分析 随机逼近 数据分析

◆ 运筹学

数学规则：线性规划，非线性规划，无约束优化方法，约束优化方法，几何规划，整数规划，多目标规划，动态规划-策略迭代法，不动点算法，组合最优化-网络流，投入产出分析等。

军事运筹学：彻斯特方程，对抗模拟，对策论，最优化等。

马尔可夫决策过程 搜索论 排队论 库存论 决策分析 可靠性数学理论 计算机模拟 统筹学 优选学

◆ 数学物理

◆ 控制理论

◆ 信息论

◆ 理论计算机科学

◆ 模糊性数学