二元函数极值的充分条件:ac-b^2=0时,怎样判断?

ac-b^2=0时，该驻点可能是极大值点，极小值点，不是极值点。一般教材到此

为止，如果要进一步研究，可以看二元函数泰勒展开的更高阶项，这些内容

可以在 数学专业用的 数学分析 教材中找到。

1如果没有限制条件的话，以二元函数为例，第一步求出该函数的一阶偏导数都为零时的点，记为P0点，此时P0点是稳定点，然后验证Heesen矩阵的的正定性，若正定，在P0点取得极小值，若负定，在P0点取得极大值，若不定，不取得极值。

(具体还有判断公式)

2如果有限制条件，例如限制条件为ψ（x,y）=0，那么有两种方法：

1。升维：构造拉格朗日函数，利用拉格朗日乘数法作为必要条件求解，然后在验证是否取得极值。

2。降维：这种方法多种多样，比如利用参数化求解又或者例如u（x,y,z）=0，限制条件为ψ(x,y,z)=0那么就会得出一个关于z的表达式为：z（x，y）=0，将其带入u(x,y,z)中，这样的话，原函数就由3维降到了2维，就比较方便了。

首先，a=0了，ac=0ac-b2一定小于零了，没有极值啊。而且讨论a=0很没有意义的，因为x要存在二阶偏导数，导出零只能说明fxx只有一阶导数或没有。

关于等于零的，只能自己验证了，而且一般等于零的函数都是很好验证的函数，比如fab：a2+b4和a2+b3之类的。公式不是常有的，在处理1与2时我们用了二元泰勒公式，而它只能帮你从符号上处理掉极值yes或no的问题，原因是，它是不等式。而第三个是等式，很明显，那种有放缩性质的公式都没法使用了。也就是说，很难通过公式判断了。这就是为啥大多数教材没有解释的原因，不是不想解释，是实在没得解释。

首先，定义域是必须求出来的。然后，

分别求一阶二阶偏导数，一阶偏导数为0的点是驻点，根据二阶导数判断驻点处是否极值点以及是极大值还是极小值，驻点坐标代入，求出极值。

如果是求条件极值，用拉格朗日法。

f(x)在x0二级可导，且f'(x0)=0

1)当f''(x0)<0，则f(x0)为极大值；

2)当f''(x0)>0，则f(x0)为极大值；

3)当f''(x0)=0，失效待定；

根据德尔塔进行判断。

设：二元函数 f(x，y)的稳定点为：(x0，y0)，

即：∂f(x0，y0)/∂x = ∂f(x0，y0)/∂y = 0；

记：：A=∂²f(x0，y0)/∂x²

B=∂²f(x0，y0)/∂x∂y

C=∂²f(x0，y0)/∂y²

∆=AC-B²

如果：∆>0

(1) A<0，f(x0，y0) 为极大值；

(2) A>0，f(x0，y0) 为极小值；

如果：∆<0 不是极值；

如果：∆=0 需进一步判断。

举一例：f(x，y)=x²+y²，其稳定点为：(0，0)。A=2，B=0，C=2 ∆=4>0

f(0，0)=0 为最小值！

对于多元函数，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。

计算步骤

求极大极小值步骤

（1）求导数f'(x)；

（2）求方程f'(x)=0的根；

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求极值点步骤

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。