溶质迁移迟后方程

在包气带及含水层中，由于固液相间（水岩间）的各种作用，使水中溶质的迁移与水的迁移产生差异，出现前者比后者迟后的现象。这种现象可用迟后方程描述。其方程如下：

水文地球化学基础

式中：Vc为溶质迁移速度（m/d）；V为地下水实际流速（m/d）R为迟后因子，无量纲；n为孔隙度，无量纲；ρb为岩土容重（g/cm3）Kd为分配系数（cm3/g）。

如若我们通过实验，测得Kd、n及ρb值，即可求得R值。R值越大，说明该溶质迁移性能越差。例如，某含水层：ρb=2g/cm3,n=0.2，氯仿及DDT的Kd值分别为0.567和3654（cm3/g）。代入（1.174）式，算得R值分别为6.67和36541。把R值代入（1.173）式，求得其Ve值分别为0.15V和2.710-5V。结果说明，氯仿比地下水速移慢，而DDT的迁移速度比地下水流速慢得多，水迁移10000m时，DDT只迁移了0.27m，所以说，DDT基本上是不迁移的。

迟后方程是定量评价溶质迁移的有用方法，它也是地下水水质模型的重要参数。

1.水动力弥散系数

在研究地下水物质运移问题时，水动力弥散系数D具有非常重要的意义。水动力弥散由分子扩散和机械弥散引起，分子扩散服从Fick定律，通过实验和理想模型研究证实机械弥散也能用这个定律描述。故对于分子扩散，可以表示为：

I〞=—D〞·gradc （6—32）

对于机械弥散有：

I＇=—D＇·gradc （6—33）

式中：c为该溶质在溶液中的浓度；I〞和I＇分别表示由于分子扩散和机械弥散在单位时间内通过单位面积的溶质质量；D〞和D＇分别表示分子扩散系数和机械弥散系数，两者量纲相同，为[L2T—1]。由此定义水动力弥散系数D：

D=D＇+D〞 （6—34）

D为二秩张量，若选择x方向与该点处平均流速方向一致，y轴和z轴与平均流速方向垂直，则水动力弥散系数张量为：

水文地球化学基础

坐标轴方向称为弥散主轴，Dxx称为纵向弥散系数；Dyy和Dzz称为横向弥散系数。

2.对流弥散方程

影响溶质运移的主要因素包括：对流、机械弥散、分子扩散、固相—溶质间的相互作用（如溶解、吸附等）、溶液内部的化学反应、溶质其他的源汇作用（如放射性元素的衰减，作物根系对某些溶质的吸收等）等。为达到研究弥散问题的目的，这些因素都需要设法予以定量考虑和描述。

考虑溶质和溶剂组成的二元体系，以充满液体的渗流区内任一点P为中心，取平衡单元体研究其中溶质的质量守恒。选择x轴与P点处的平均流速方向一致，可得描述饱和带溶质运移的对流—弥散方程为：

水文地球化学基础

式中：c为溶液中某种组分的浓度；u为实际平均流速；D为水动力弥散系数。该式右端前三项表示水动力弥散所造成的溶质运移，后三项表示水流运动（对流）所造成的溶质运移，故称之为对流—弥散方程。

若存在化学反应或其他原因所引起的溶质质量变化，且单位时间单位体积含水层内引起的溶质质量变化为N，则在式（6—35）右端相应的加上N，方程表示为：

水文地球化学基础

N存在多种形式，如果示踪剂有放射性衰变，放射性衰变系数为Kf，则：N=—Kfc （6—37）

如果有水井注水，则有：

水文地球化学基础

式中：W为单位时间单位体积含水层中的注水量；c*为注入水的溶质浓度；n为孔隙度。

3.定解条件

边界条件和初始条件合称为定解条件。一个或一组数学方程与其定解条件加在一起，构成一个描述某实际问题的数学模型。给定了方程或方程组和相应定解条件的数学物理问题又称为定解问题。

（1）初始条件

初始条件是描述地下水溶质浓度非稳定变化的数学模型的一部分，说明了研究对象初始时刻的状态。初始条件的通用形式记为：

c（x，y，z，0）=c0（x，y，z）（x，y，z）∈Ω （6—39）

其中，c0（x，y，z）为已知浓度条件；Ω为模型的范围。

（2）边界条件

边界条件描述了研究对象在边界上受到的约束情况，反映了其与周围环境相互制约的关系。迁移模型的边界条件主要有三种类型：①指定边界浓度，即Dirichlet条件；②指定边界上的浓度梯度，即Neumann条件；③同时指定边界浓度与边界上的浓度梯度，称为Cauchy条件。

在Dirichlet条件里，某段边界Γ1上浓度的变化规律c1（x，y，z，t）已知，则此边界上有：

c（x，y，z，t）∣Γ1=c1（x，y，z，t）（x，y，z）∈Γ1（6—40）

Neumann条件指定正交于边界的浓度梯度，即指定穿越边界的弥散通量，记为：

水文地球化学基础

Cauchy条件同时指定了边界浓度与穿越边界的浓度梯度，表示既给定了边界的弥散通量，又给定了对流通量。一般形式可以记为：

水文地球化学基础

4.数学模型的解

溶质迁移的数学模型，由偏微分方程、初始条件和边界条件构成，并且包括了水流与迁移参数、源汇的信息，必须通过求解后才能得到研究区域及时间范围的浓度分布。数学模型的公式化及求解过程称为数学模拟。

获得数学模型解的方法可以分为两类：解析法与数值法。解析法能够给出微分方程的精确解。一般来说，解析解会受到许多简化条件的限制，如具有均匀的迁移参数、水流模型的区域要有简单的几何形状以及简单的源汇分布形式等。数值法采用一组代数方程近似处理微分方程。由于其能对更一般的情况作近似处理，故而在实际工作中得到了广泛的应用。目前已经有多种求解溶质迁移问题的数值方法和计算程序，可以有效地解决野外问题。

污染物随水进入包气带，进而进入含水层水动力场的过程中，由于产生各种物理、化学及生物作用，使污染物迁移与其周围地下水运动产生差异，出现前者比后者滞后的现象。这种现象可用滞后因子R来定量描述。其方程如下：

vc=v/R

R=1+（pb/n）Kd

式中：vc为溶质迁移速度，m/d；v为地下水实际流速，m/d；R为滞后因子，量纲为一；n为孔隙度，量纲为一；pb为岩土密度，g/cm3；Kd为分配系数，cm3/g。

如果通过实验测得pb、n和Kd值，即可求得R。例如，实测某含水层的pb=2g/cm3，n=0.2，氯仿及DDT的Kd值分别为0.567cm3/g和3654cm3/g，代入上式可求得R值分别为6.67及36541。此例说明，前者迁移速度约为地下水流速的1/7；后者的迁移速度仅为地下水流速的1/36541，几乎不迁移。

复习思考题

1.掌握组分的水文地球化学特征。

2.论述地下水系统中的氮循环机理。

3.设用含NH4—N50mg/L、Ca2+60mg/L、Mg2+12mg/L的污水灌溉，灌区潜水埋深2m，包气带土的CEC为7.2meq/100g，连续灌溉稻田100d，灌溉面积为100m2，共灌溉污水1000m3，包气带土的密度pb=1.5g/cm3。假设污水中的 全部被包气带土层吸附，100m2灌区下包气带土层的 吸附容量是多少？地下水是否受 污染？

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