date: 2019-08-21 12:0:00
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这一部分是《Data Analysis for the life sciences》的第8章统计模型的第2小节，这一部分的主要内容涉及MDS和PCA，相应的Rmarkdown文档可以参考作者的 Github 。
MDS的全称为multi-dimensional scaling，即多维数据缩放。在这 一部分中，我们会使用基因表达的数据来作为案例讲解一下。为了简化说明，我们仅考虑3个组织：
结果如下所示：
现在我们要研究一下这个数据集，我们想知道，储存在 mat 列中的基因表达谱的数据在不同的组织间的相似性如何。由于数据很大，无法直接画出相应的多维点图。我们通常只能绘制出二维图形，如果我们要绘制出每两个样本之间的基因表达情况不现实。而MDS图形就是为了解决这个问题而提出来的。
前面我们已经知道了SVD和矩阵代数，那么我们理解MDS就相对清楚了。为了说明MDS，我们先来看一下SVD分解，如下所示：
我们假设的前两列的平方和剩余列的平方和。因此它们可以写为 其中是 是第i列（原文是i-th entry）。当出现这种情况时，我们就会得到如下公式：
这就表明，第 列近似等于：
如果我们们定义下面的二维向量：
那么：
上面的这个推导告诉我们，在样本 和样本 之最的距离近拟等于下面二维数据点的距离：
因为 是一个二维向量，因此我们可以通过绘制 和 来发展示这两个样本的距离。现在我们绘制出它们的距离：
从图片上我们可以看出，数据点按照相应的组织区分开来了。上面的这种分开的精确近似取决于前两个主成分解释变异的程度。像上面那样所示，我们可以绘制出每个主成分可以解释的变异程度：
虽然前两个主成分解释了超过50%的变异，不过前面的图形还是没有展示出大量的信息。但是这种图已经足够用于进行可视化大量的数据了。此外，我们还可以注意到，我们能够绘制其它的主成分来研究这些数据点，例如我们绘制第3个和第4个主成分：
从上面图形中我们可以看到，第4个主成分能够将肾脏组织的样本强烈分开。在后面的部分中，我们会讲到批次效应(batch effects)会解释这种情况。
我们在上面使用了 svd() 函数来进行计算，不过R中有一个专门的函数用于计算MDS，生成MDS图。这个函数就是 cmdscale() 函数，这个函数将距离对象作为参数，然后使用主成分分析来对这些距离进行近似计算。这个函数比使用 svd() 函数更高效（因为不可能实现完全的 svd() 函数计算，那样比较花时间）。此函数默认返回二维的数据，不过我们通过设定参数 k （默认情况下， k=2 ）可以改变结果中的维度：
再看另外一个：
SVD并非是唯一的，只要我们用 -1 乘以 的样本列，我们就能使用 -1 乘以 的任意列，通过下面的转换我们就能看出来（这一段不懂）：
在所有的计算中，当我们计算SVD时，都会扣除行(row)的均值。如果我们要试图计算两列之间的近似距离，那么在 和 之间的距离就与 和 之间的距离相同，因为当我们过计算时，中间的 就会被消去：
因为扣除行均值可以降低总的变异，它可以使得SVD的结果近更为逼近。
P357
PCA的相关资料可以参考作者的 Github 。
前面我们已经提到了PCA，这里继续深入一步，讲一下PCA背后的数学原理。
我们先使用模拟数据的案例展示一个旋转，这个旋转与PCA有着很大的有关系：
这里我们专门来解释一下什么是什么成分（principla components）。
我们使用这个矩阵来表示我们的数据。这个类似于我们检测了两组基因的信息，每列表示1个样本。现在我们的任何就是，找到一个 向量，使其满足 ，它能使最大。这个过程可以被视为每个样本，或 向子空间的投影。因此，我们需要将坐标系进行置换，使新的坐标系能够显示出最大变异。
我先试一下 。这个投影公仅能够给出双胞胎1的身高（橘黄色）。图片标题中显示的是平方和。
我们能否找到一个方向，使得坐标系旋转后，能够表示更高的变异？例如
这个怎么样？它不满足，因此我们可以使用另外一个向量，即
这个图形与双胞胎的差异有关，我们知道这个差异很少的。通常平方和我们可以确实这一点，最后我们试一下这个向量：
这个图形与重新缩放(re-scaled)后的平均高度有关，它有着最大的平方和。这是一个数学计算程序，它能够计算出一个，能够使平方和最大，SVD就是这样的一个程序。
正交向量能够使平方和最大：
指的就是第1PC。e用于获得PC的加权(weights)指的就是因子载荷(loadings)。使用旋转这种操作，它指的就是第1PC的旋转方向。
为了获得第2PC，我们可以重复上述操作，但是残差如下：
第2PC的向量含有以下性质：
它能使最大，
当是时，我们可以重复地找到第3，第4，第5，等主成分。
我们已经介绍了如何使用SVD来计算PC。介理，R中有一个专门的函数可以用于找到主成分，即 prcomp() ，在这个案例中，数据默认中心化的，这个函数的使用如下所示：
计算出的结果与SVD相同，直到符号翻转（produces the same results as the SVD up to arbitrary sign flips，实在没理解这句话什么意思）
因子载荷可以通过下面方式计算：
计算结果如下所示：
它就相当于 (up to a sign flip？这个不懂) :
计算结果如下所示：
解释的方差等价于：
计算结果如下所示：
现在我们将 Y 转置一下，因为 prcomp() 函数与我们平时所用的高通量数据储存有点不太一样，平时我们的数据是列为样本，行为特征值，而 prcomp() 函数则是正好相反，它处理的数据列是特征值，行是样本名。
肝肾不足在中医领域主要就是指肝肾阴虚，常会引起脱发、视力听力下降、女性月经不调、男性遗精早泄等疾病。调理肝肾不足以补益肝肾为主要原则，比如平时可以多吃益肝血、固肾精的食物，保持充足的睡眠和愉悦的心情，另外还可配合一些中医按摩的方法来巩固功效。1、多吃益肝血、固肾精的食物。
中医认为青色入肝、黑色入肾，因此许多绿叶蔬菜对肝脏有很好的养护功效，比如菠菜、青菜、西蓝花、芹菜、生菜等而许多黑色的食物比如黑豆、桑葚、黑米等食物则有显著的巩固肾精的功效。而现代医学发现，这些食物中丰富的维生素和氨基酸是促进肝肾组织细胞修复和免受炎性损伤的重要原因，因此调理肝肾不足，可以多吃这些食物。
2、 调整作息，劳逸结合。
肝肾不足的人群多半都是因为作息不规律、过度疲劳等因素所导致，尤其是熬夜对于肝肾的损伤很大。因此，调理肝肾不足，一定要保持充足的睡眠，中医认为最晚的睡眠时间不应超过晚上11点，能够坚持晚上9点多睡觉的人，可以让肝经中的气血得到充分的修养，有利于改善疲乏、头晕等肝肾不足的症状。
3、 按摩曲泉、涌泉等护肝养肾的穴位。
中医认为经常按摩肝经和肾经上的穴位，有助于补益肝肾。比如膝关节内侧的曲泉穴，经常按摩能起到梳理肝气的功效，所以按摩该穴位能起到补肝的作用而按摩脚底心的涌泉穴则可以起到巩固肾精的功效。又因为肝肾同源，因此补肝和补肾，常常可以互相辅助。
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