快速证明8的9次方大于9的8次方

宝宝妈妈2023-03-18  198

先证明函数y=lnx/x在[e,+无穷大)上是减函数(1)

函数定义域为(0,+∞)

函数的导数y' = (lnx/x)' =[(lnx)'*x - lnx*x']/x^2 = (1-lnx)/x^2

令y' = 0,得 (1-lnx)/x^2 = 0

因x≠0,得 x = e

(e为自然常数。e=2.718281828459045…)

当0<x<e 时

y' = (1-lnx)/x^2 >0

即在区间(0,e]函数单调递增

当x>e时

y' = (1-lnx)/x^2 <0

即函数y=lnx/x在区间[e,+∞)函数单调递减

(点(e,1/e)为函数极大值点)

lnx/x在[e,+无穷大)上是减函数(2)

ln8/8>ln9/9       (3)

8×9ln8/8>8×9ln9/9  (4)

9ln8>8ln9          (5)

ln89>ln98                (6)

eln8^9>eln9^8      (7)

8^9>9^8                           (8)          

同理,

2.8^2.81>2.81^2.8,3^4>4^3,4.6^4.7>4.7^4.6,99^100>100^99

注意y=lnx/x在区间(0,e]单调递增,注意应用。

用y=lnx/x搜索,会找到它的很多有用的性质,记住和利用这些性质会提高我们解题的速度和正确率。

对于f(x)=a^x/x^a,与1的关系,然后求导,得出单调性即可得到答案,这个要大学知识

8的90次方大

当底数和指数都大于e时,指数大的数大所以,

8的9次方>9的8次方

所以8的90次方>9的80次方


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